2025版新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程题型探究新人教A版选择性必修第一册

3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程题型探究题型一求双曲线的标准方程1．依据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))；(2)与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq\r(2)，2)；(3)过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上.[分析](1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解.(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解.(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解.[解析](1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－eq\f(16,15)×eq\f(160,9)<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,b2)＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)方法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①∵双曲线经过点(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,a2)－eq\f(4,b2)＝1.②由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.方法二：设所求双曲线的方程为eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16).∵双曲线过点(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去).∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.∵点P，Q在双曲线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.[规律方法]用待定系数法求双曲线方程的步骤.(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：依据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行探讨，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.(4)结论：写出双曲线的标准方程.对点训练❶以椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，eq\r(10))的双曲线的标准方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1.[解析]由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2eq\r(2).设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，eq\f(9,a2)－eq\f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1.题型二双曲线标准方程的识别2．给出曲线方程eq\f(x2,4＋k)＋eq\f(y2,1－k)＝1.(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.[解析](1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，即(k＋4)(k－1)>0，解得k>1或k<－4，因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞).(2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k>0，,4＋k<0，))解得k<－4，因此实数k的取值范围是(－∞，－4).[规律方法]方程表示双曲线的条件(1)对于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线.对点训练❷已知方程eq\f(x2,4＋a)＋eq\f(y2,5＋a)＝1.(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；(2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点.[解析](1)方程表示双曲线，则(4＋a)(5＋a)<0.解得－5<a<－4.因此，当－5<a<－4时，方程表示双曲线，且原方程可写为eq\f(y2,5＋a)－eq\f(x2,－4－a)＝1.(2)由(1)可知，双曲线的焦点在y轴上，且c2＝5＋a＋(－4－a)＝1.所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为(0,1)，(0，－1)，明显与方程中的a无关，因此(1)中的双曲线有共同的焦点.题型三双曲线定义的简洁应用3．(1)若双曲线E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(B)A．11 B．9C．5 D．3(2)设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(C)A．4eq\r(2) B．8eq\r(3)C．24 D．48[解析](1)由题意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)，故选B.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2，,3|PF1|＝4|PF2|，))解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，∴△PF1F2为直角三角形，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.[规律方法]双曲线的定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而依据定义求该点到另一焦点的距离.(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以依据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等学问进行运算，在运算中要留意整体思想和一些变形技巧的灵敏运用.对点训练❸已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.[解析]由eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×64×eq\f(\r(3),2)＝16eq\r(3).易错警示4．已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值.[错解]将双曲线方程化为标准方程eq\f(x2,\f(1,k))－eq\f(y2,\f(8,k))＝1.因为焦点在y轴上，所以a2＝eq\f(8,k)，b2＝eq\f(1,k)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(8,k)－\f(1,k))＝3，即eq\f(7,k)＝9，所以k＝eq\f(7,9).[辨析]上述解法有两处错误：一是a2、b2确定错误，应当是a2＝－eq\f(8,k)，b2＝－eq\f(1,k)；二是a、b、c的关系式用错了.在双曲线中应为c2＝a2＋