适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练46平面向量的数量积新人教A版

课时规范练46平面对量的数量积基础巩固练1.(2024·湖北武汉模拟)平面对量a=(-2,k),b=(2,4),若a⊥b,则|a-b|=()A.6 B.5 C.26 D.252.(2024·全国乙,理3)已知向量a,b满意|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=()A.-2 B.-1 C.1 D.23.(2024·新高考Ⅱ,4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则实数t=()A.-6 B.-5 C.5 D.64.(2024·广东广州模拟)设两个单位向量a,b的夹角为θ,若a在b上的投影向量为13b,则cosθ=(A.-13 B.1C.-223 D5.(2024·福建厦门模拟)平面上的三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知F1=(1,0),|F2|=2,<F1,F2>=120°,则|F3|=()A.12 B.1 C.3 D.6.(2024·河北唐山模拟)正方形ABCD边长为4,M为CD中点,点N在AD上,BM·BN=20,则|BN|=(A.5 B.25 C.5 D.107.(多选题)(2024·山东济南模拟)已知平面对量a=(1,3),b=(-2,1),则()A.|a|=10B.(2a-b)⊥bC.a与b的夹角为钝角D.a在b上的投影向量的模为58.(2024·山东威海模拟)已知向量a=(2,1),b=(0,1),c=a+tb,若a·c=6,则t=.

9.(2024·全国甲,理13)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.10.(2024·浙江宁波模拟)已知|a|=1,|a-b|=2,a⊥b,则a+b与a-b的夹角为.

综合提升练11.(2024·安徽淮南模拟)在△ABC中,已知∠ACB=2π3,BC=4,AC=3,D是边AB的中点,点E满意AE=34ABA.-58 B.-1 C.12 D12.(多选题)(2024·广东梅州模拟)已知向量a=(2,1),b=(cosθ,sinθ),c=(0,1),则下列命题正确的是()A.当且仅当tanθ=12时,a∥B.a在c上的投影向量为cC.存在θ,使得b=a-cD.存在θ,使得|a+b|=|a-b|13.已知|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为45°,若向量(2a-λb)与(λa-3b)的夹角是锐角,则实数λ的取值范围是.

创新应用练14.(2024·安徽合肥模拟)哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格,它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃,如图所示的几何图形,在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见,它是由线段AB和两个圆弧AC,BC围成,其中一个圆弧的圆心为A,另一个圆弧的圆心为B,圆O与线段AB及两个圆弧均相切,若AB=2,则OA·OB=(A.-716 B.-2C.-43 D.-

课时规范练46平面对量的数量积1.B解析因为a=(-2,k),b=(2,4),a⊥b,所以a·b=-2×2+4k=0,解得k=1,所以a-b=(-2-2,1-4)=(-4,-3),因此|a-b|=(-4)22.C解析由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.3.C解析由题意得c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,故9+3t+16|c|×4.B解析因为a在b上的投影向量为13b,所以a·又a,b是两个单位向量,即|a|=|b|=1,所以a·b=13所以cosθ=a5.C解析由已知,可得F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2).因为F1=(1,0),所以|F1|=1,所以F1·F2=|F1|·|F2|cos<F1,F2>=1×2×(-12)=-1,所以|F3|2=F32=(F1+F2)2=|F1|2+|6.C解析设AN=λAD(λ∈R),因为BM=BC+CM=BC+12BA,BN=BA+AN=BA+λBC.因为正方形ABCD边长为4,BA·BC=0,所以BM·BN=7.AD解析A选项,|a|=12+32=10,A正确;B选项,2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),故(2a-b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,故2a-b与b不垂直,B错误;C选项,cos<a,b>=a·b|a||b|=(8.1解析由题意知,c=a+tb=(2,1+t),因为a·c=6,所以a·c=2×2+(1+t)=6,解得t=1.9.11解析设a与b的夹角为θ,因为a与b的夹角的余弦值为13,即cosθ=13,又|a|=1,|b|=3,所以a·b=|a|·|b|cosθ=1×3×13=1,所以(2a+b)·b=2a·b+b2=2a·b+|b|2=2×1+310.2π3解析由|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=4,又|a|=1,a⊥b,所以a·b=0,则b2=3,而|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4,则|a+b|=2,又a+b与a-b的夹角θ∈[0,π],则cosθ=(a+11.C解析∵D为AB的中点,∴CD=12(CA+CB),∵∴DE=DC+CE=-12(CA+CB)+34CB=14CB-12CA,∴CD12.ABD解析向量a=(2,1),b=(cosθ,sinθ),c=(0,1),对于A,a∥b⇔2sinθ=cosθ⇔tanθ=12,A正确;对于B,因为a·c=1,则a在c上的投影向量为a·c|c|·c|c|=c,B正确;对于C,a-c=(2,0),假定存在θ,使得b=a-c,则有cosθ=2,sinθ=0,而cosθ∈[-1,1],即cosθ=2不成立,因此不存在θ,使得b=a-c,C错误;对于D,|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0,即2cosθ+sinθ=0,解得tanθ=-2,因此存在θ,使得|a13.(1,6)∪(6,6)解析当(2a-λb)与(λa-3b)夹角为锐角时,(2a-λb)·(λa-3b)=2λa2-(6+λ2)a·b+3λb2=4λ-(6+λ2)+3λ>0,解得1<λ<6.但当λ=6时,(2a-λb)与(λa-3b)共线,不合题意,舍去,故λ的取值范围为(1,6)∪(6,6).14.A解析若AB=2,则圆弧AC