专题04 完全平方公式七种压轴题型全攻略（解析版） 四川成都七年级数学下册-

专题04完全平方公式七种压轴题型全攻略【知识点梳理】完全平方和（差）公式：注：=1\*GB3①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；=2\*GB3②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式拓展：利用可推导除一些变式=1\*GB3①=2\*GB3②注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。类型一、公式的变形与逆运用例1．（2023下·四川成都·七年级成都市树德实验中学校考期中）若．则．【答案】【分析】先利用完全平方公式求出，再由进行代值计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，正确得到是解题的关键．例2．运用乘法公式计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）本题考查整式的乘法公式，把看成一个整体，然后根据乘法公式：，即可；（2）本题考查整式的乘法公式，把看成一个整体，然后根据乘法公式：，即可．【详解】（1）；（2）．【变式训练1】．已知，则代数式的值是．【答案】【分析】本题考查了完全平方公式、代数式求值，先将原式根据完全平方公式变形，再整体代入即可得出答案．【详解】，故答案为：．【变式训练2】计算(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，（2）．类型二、知二求二例．（2023下·四川成都·七年级成都七中校考期中）若，，则的值为．【答案】90【分析】将变形得到，再把，代入进行计算求解．【详解】解：∵，，∴．故答案为：90．【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．【变式训练1】．已知，，则．【答案】【分析】本题考查完全平方公式的展开，两式相加消去两字母积即可得到答案；【详解】解：∵，，∴，，两式相加得，，∴，故答案为：．【变式训练2】．已知,,则．【答案】5【分析】本题考查完全平方公式的应用,利用公式,将本题条件代入公式即可求得结果．【详解】∵,,∴,∴．答案：5．【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．【变式训练3】．已知，，则的值是．【答案】1或/或1【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．由已知条件入手，把两边同时平方，就可以出现的形式，再结合，求出的值后，再求的值即可;【详解】解：∵，，∴，∴，当时：，当时：．故答案为：1或．类型三、求参数值例．（2023下·四川成都·七年级校考期中）若关于x的多项式是完全平方式，则a的值是．【答案】5或/或5【分析】根据完全平方公式的变形进行求解即可．【详解】∵，∴，解得或，故答案为：5或．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式训练1】．若关于的二次三项式是完全平方式，则常数的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的形式即可求解，熟记完全平方式的形式：“”是解题的关键．【详解】解：依题意得：，解得：，故选C．【变式训练2】．若是完全平方式，则（

）A．2 B．7 C． D．或7【答案】D【分析】本题主要考查了完全平方公式，完全平方公式的特征为：两数的平方和再加上或减去它们积的2倍．根据解答即可．【详解】解：∵多项式是完全平方式，∴，∴，解得：或，故选：D．【变式训练3】．如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是.【答案】【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式(完全平方和、差公式)乘积二倍项即可确定m的值.【详解】解：∵是完全平方式，∴，∴，故答案为：．【变式训练4】．已知是一个完全平方式，则【答案】【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据题意可得，求k的值即可．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴故答案为．类型四、与几何图形综合例．（2023下·四川成都·七年级校考期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．方法1：_________；方法2：__________．(2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知，，求和的值．②已知，求的值．【答案】(1)；(2)(3)①15；②16【分析】（1）利用阴影两部分直接求和与用总面积减去空白部分面积两种方法即可求解；（2）由图2中阴影部分面积的表示即可得到答案；（3）①由（2）的关系可得，进而求解即可；②设，则，，依题意，得，∴，利用整体思想求解即可．【详解】（1）阴影两部分求和为：；用总面积减去空白部分面积为：，故答案为：；；（2）由题意得，；（3）①由（2）得，∴，解得，∴，②设，则，，依题意，得，∴，可求得.由整体思想，得．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题．【变式训练1】．（2023下·四川成都·七年级成都市树德实验中学校考期中）（1）已知a﹣b＝4，ab＝5，求a2+b2和（a+b）2的值；（2）若x满足（x﹣2023）2+（x﹣2010）2＝189，求（x﹣2023）（x﹣2010）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝11cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝6cm，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为80cm2，求图中阴影部分的面积和．

【答案】（1）26，36；（2）10；（3）129【分析】先把完全平方公式进行变形，再整体代入求解，设，，再把完全平方公式进行变形，再整体代入求解，设，，再把完全平方公式进行变形，再整体代入求解．【详解】（1），，，；（2）设，，则：，，；（3）设，，则：，，，，∴阴影部分的面积和为：．【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练2】．（2023下·四川成都·七年级成都实外校考期中）许多数学定理都是从图形的面积关系中发现的．

(1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，可以得到一个等量关系为；(2)若数m，n满足，，求与的值；(3)如图2，点E、G分别是正方形的边上的点，分别以为边作正方形和正方形，若线段的长度为，长方形的面积为，求阴影部分的面积．【答案】(1)；(2)，；(3)【分析】（1）分别用代数式表示图1中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系即可得出答案；（2）利用（1）中的结论直接进行计算即可；（3）设正方形和正方形的边长分别为x、y，由题意得出，，求出x、y的值，再代入进行计算即可．【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积和，即，也可以看作从边长为的正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即，因此有，故答案为：；（2）由（1）可得，∵，，∴，即，∴，∴或，答：，；（3）设正方形和正方形的边长分别为x、y，∵的长度为，长方形的面积为，∴，，解得，，∴阴影部分的面积为．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．【变式训练3】．（2022下·四川成都·七年级校考期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：（1）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______；（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．（3）根据图，写出一个代数恒等式：______；（4）已知，，利用上面的规律求的值．【答案】[知识生成]（1）；[知识迁移]（2）14（3）（4）9【分析】[知识生成]（1）观察图大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积；（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．[知识迁移]（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案．【详解】解：[知识生成]（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：，（2）由题（1）知：，．[知识迁移]（3）根据题意得：．（4）由（3）可知，把，代入得：．．【点睛】考查了完全平方式的应用，以及对完全平方式进行了知识扩展，考查了学生灵活应变得能力．类型五、配凑完全平方式例．（2022下·四川成都·七年级四川省成都市第七中学初中学校校考期中）已知，则=．【答案】-2【分析】本题利用拆常数项凑完全平方的方法进行求解．【详解】解：即根据非负数的非负性可得：解得:所以故答案为：-2【变式训练1】．若，则．【答案】9【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，求代数式的值．先利用完全平方公式分解因式，再利用非负数的性质求出a，b的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：9．【变式训练2】．已知，求的值．【答案】4【分析】本题考查了运用完全平方公式进行计算、求代数式的值，将式子变形为，根据偶次方非负的性质得出，求出的值，代入进行计算即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．【详解】解：，，，，，．【变式训练3】．已知，满足，则．【答案】0【分析】本题主要考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．先将转化为，再根据偶次方的非负性求解即可得．【详解】解：，，，又，，故答案为：0．类型六、负指数幂形式例．若，则的值为．【答案】【分析】本题看考查了负整数指数幂，完全平方公式的应用，根据完全平方公式进行计算即可求解．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【变式训练1】．若正数满足，则的值是．【答案】8【分析】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．先根据完全平方公式进行变形，求出，再求出答案即可．【详解】解：，，，为正数，，故答案为：8．【变式训练2】．已知，那么．【答案】32【分析】本题考查了求代数式的值、利用完全平方公式的变形进行计算，由题意可得：，两边同时除以并整理得，再利用完全平方公式的变形将式子变为，代入数值进行计算即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．【详解】解：由题意可得：，，，，，故答案为：．类型七、整体法求值例．若x满足，求的值．解：设，，则，．∴．(1)若x满足，求的值．(2)若x满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成．(3)若x满足，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了完全平方公式的运用．（1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答；（2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答；（3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答．【详解】（1）解：设，则，，；（2）解：，，即，设，则，，；（3）解：设，则，，，．【变式训练1】．已知，则代数式的值为______．【答案】【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【变式训练2】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）(1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______；(2)根据（1）中的结论，若，，则______；(3)拓展应用：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，即．故答案为：；（2）解：∵，，∴．故答案为：；（3）解：∵，又∵，∴，∴．【课后训练】1．已知，则的值为（

）A．10 B．14 C．16 D．18【答案】A【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．将所求式子利用完全平方公式转化为，代入计算即可得．【详解】解：，．故选：A．2．若多项式是一个完全平方式，那么．【答案】【分析】本题主要考查了完全平方式，根据首末两项是和3的平方可得，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，据此可得答案．【详解】解：∵多项式是一个完全平方式，∴，∴，故答案为：．3．已，，求与的值．【答案】，【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．先利用完全平方公式变形求得，再利用完全平方公式求得即可．【详解】解：，，即，，，，．4．（1）已知，则的值为．（2）已知，则的值为．（3）已知满足，则代数式的值为．【答案】395【分析】本题主要考查了完全平方公式整体思想，灵活应用即可解题，【详解】解：（1）∵∴；故答案为：39．（2）∵，∴，即：，∴，∴故答案为：5．（3）设为a，为b，则，，∴，，故答案为：．5．（2022下·四川成都·七年级四川省成都市第七中学初中学校校考期中）两个边长分别为和的正方形如图放置，已知，．(1)求图中阴影部分的面积；(2)求图中阴影部分的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，再代入计算即可；（2）图中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，求出的值，再利用平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，即，∵，，∴；（2）图中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，∵，，∴，∴或（不舍题意，舍去），∴．【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，用代数式表示阴影部分的面积是解决问题的前提，理解图形中各个部分面积之间的关系是得出正确答案的关键．6．利用我们学过的知识解决以下问题：(1)计算：(2)若，，，你能很快求出的值吗？【答案】(1)(2)3【分析】本题主要考查完全平方公式与整式运算的综合，掌握完全平方公式的运用，整式混合运算法则是解题的关键．（1）根据完全平方公式展开，整式的加减混合运算即可求解；（2）将变形为，再将式子的值代入，根据整式的混合运算即可求解．【详解】（1