高中数学B版4.4幂函数教学设计

高中数学B版4.4幂函数教学设计教学课时：第1课时教学目标：1、通过具体实例，引导学生了解幂函数模型的实际背景，认识数学与生活之间的联系；2、结合的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数；3、通过研究幂函数的图像和性质，使学生经历观察发现、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步体验从特殊到一般、数形结合思想在解决数学问题中的作用。4、通过合作探究与交流，激发学生学习的热情，培养他们手脑并用、勤于思考、乐于交流的学习习惯和勇于探索的治学精神。教学重点：幂函数的图像和性质。教学难点：指数不同引起的幂函数图像的位置和形状变化。教学过程：一、设置情境【问题1】填空：（1）如果一个正方体的棱长是a，那么该正方体的体积_______；（2）如果一个正方形的面积是s，那么该正方形的边长_______。预设答案：（1）V=a3；（2）l=√s【问题2】如果我们抛开实际问题，将这两个表达式分别写成y=x3，y=√x，你能发现这两个表达式具有统一的形式吗？你熟悉的函数中还有哪些函数具有这种形式特征？预设答案：统一形式为y=xm（m是常数），具有这种形式特征的其它函数有正比例函数y=x，反比例函数y=x-1，二次函数y=x2。建议：如果学生不能发现统一的形式，可把y=√x写成y=x1/2，再问学生。【设计意图】引导学生感知幂函数是普遍存在的，有研究的必要性。同时，进一步培养学生的分析和归纳能力。二、幂函数的定义一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中a是常数。上面提到的函数y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x1/2都是幂函数。【问题3】给出下列函数，其中是幂函数的为_____________。预设答案：（1）（2）。【设计意图】学生既熟悉了幂函数的基本形式，尤其是与指数函数的不同，又复习了有理指数幂运算。三.幂函数的图像和性质【探究1】我们最熟悉的幂函数就是y=x，y=x-1，，右图中展示了它们的图像，结合这些图像，你观察到了什么？所得到的结论能否推广到其它的幂函数？如果是所有幂函数都具有的结论，请证明；如果仅适用于一些幂函数，就要至少举出两个符合的幂函数例子。请相邻的两位同学合作填写下表：【设计意图】这个问题完全是开放式的，学生的回答一定是多种多样的。研究幂函数的图像和性质的途径很多，而数学解决问题的一个重要思想方法就是把未知向已知转化，把陌生问题向熟悉问题转化。既然有一些幂函数的图像和性质学生已经很熟悉了，为什么不从熟悉的幂函数入手呢？希望学生通过观察特殊幂函数的图像概括得到相应的性质，再推广到某一类（或全部）的幂函数，经历观察发现、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步体验从特殊到一般、数形结合思想在解决数学问题中的作用。另外用小组合作的形式，便于启发对方，开拓思路。【探寻结果展示】教师巡视课堂，收集学生填写的不同的信息，由几组学生分别回答一条，老师随之写在黑板上，对叙述不准确的要及时更正，对学生未提及的可追问，比如所给图像中未出现不具有奇偶性的幂函数，如果学生没有提到就可提醒学生，有没有既不是奇函数也不是偶函数的幂函数呢？如果学生想不到的话，可提醒学生回忆，什么样的函数一定不具有奇偶性.。这样就能从定义域不关于原点对称的函数思考，给出具体函数，比如y=x1/2。如果学生注意到了幂函数在第一象限的单调性情况，但未提及y=x0，可提醒学生有没有在（0，+∞）上不增不减的幂函数？将学生的回答和老师的补充汇总成下面内容：【概括总结】1.观察图像的时候，应该有意识地去关注什么？要研究性质，应该有意识地去研究哪些方面？所以实际上，前面的表格我们仍然没有填全，比如说渐近线，比如说值域。2.对于幂函数只需关注其在第一象限的图像即可，其它象限的图像由奇偶性的结论得到.而奇偶性的判断不需要去记什么结论，只要会用定义判断即可。其中，遇到分数指数幂时先化成根式，以便于求出定义域，之后再判断奇偶性。3.以上的结论有些可以证明，有些不好证明，比如第4条结论，可以说我们是用几何直观代替了逻辑推理.那么第4条结论到底对不对呢？继续研究。【探究2】将全体学生分成两组，组1的相邻两个同学合作填写表1，并作出y=x3的图像；组2的相邻两个同学合作填写表2，并作出y=x1/2的图像。【探究结果展示】（略），不过在学生展示的过程中，可提问学生为什么选取这些x值？【设计意图】希望学生用较为陌生的函数图像来应用和验证上面的结论.在求出定义域后，判断函数的奇偶性，重点是画出第一象限的图像，所以x值可不取负数。同时，呼应了问题1中的两个函数。【探究3】请自己举几个幂函数的例子，利用作图软件作出这些函数的图像，验证前面的结论，并且你有没有新的发现？【设计意图】借助信息技术强大的作图功能，甚至可以有幂函数图像变化的动态演示，如下图：使学生很方便地观察幂函数的整体变化情况，包括对细节的把握，可以进一步培养学生归纳概括的能力。至于为什么前面要有探究2而不是直接进行探究3，是希望学生在不方便运用信息技术的时候，要具备先分析性质、再进行描点、作图的能力。【概括总结】幂函数的图像与性质：（1）所有幂函数在区间（0，+∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点（1,1）。（2）如果a＞0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数.（3）如果a＜0，则幂函数在区间（0，+∞）上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴。（4）幂函数y=xa在第一象限内，当a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1时的图像如图所示，可用熟悉的幂函数图像来记忆。四、应用练习例1.已知幂函数f(x)分别满足下列条件，按要求回答问题：（1）若图像过点(9,3)，则这个幂函数的解析式为f(x)=____________；（2）若定义域和值域都是R，则这个幂函数的解析式可以为f(x)=____________；（3）若值域为[0，+∞），则这个幂函数的解析式可以为f(x)=____________。【设计意图】使学生进一步明确幂函数的定义、图像和性质。尤其是（2）和（3），答案不唯一，培养学生的逆向思维和发散思维。例2.比较下列各题中两个值的大小：（1）2.31.1和2.51.1；（2）（a2+2）-1/3和2-1/3；机动：（3）0.40.5和0.50.4；（4）已知x1/3＞y1/3，比较x,y的大小。【设计意图】引导学生抓住每题中两个实数指数幂的共性或联系，构建幂函数或指数函数，进一步熟悉利用函数的单调性比较大小的方法。五、课堂小结今天我们学习了幂函数的定义、图像、性质及简单应用，又一次感受到了函数的图像和性质之间的关系，即：函数的性质可以指导我们作图，反过来又可以通过观察函数的图像进一步研究函数的性质。希望同学们可以总结幂函数、指数函数、对数函数三种不同的函数在研究图像和性质时解决方法的共性