2023年竞赛中的三角形问题

Y.P.M数学竞赛讲座1竞赛中的三角形问题高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特性--“数形二重性”的考察,需要充足挖掘蕴含的几何本质.一、知识结构存在性定理:在△ABC中,己知cosA、cosB,则△ABC有解cosA+cosB>0.证明:△ABC有解C有解A+B有解0<A+B<π0<A<π-BcosA>cos(π-B)cosA>-cosBcosA+cosB>0.解的个数定理:在△ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB∈(0,1),则:(i)△ABC有一解sin2A+cos2B≤1;(ii)△ABC有二解sin2A+cos2B>1.证明:△ABC有解角C有解sinC>0sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+()()=sinAcosB>0.所以当sin2A+cos2B≤1时,只有一解;当sin2A+cos2B>1时,有两解.等价命题:在△ABC中,己知二边a,b(b≤a)及其中一边b的对角B,则△ABC有两解、一解或无解函数f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根).证明:在△ABC中,b2=a2+c2-2accosB,所以,△ABC有两解、一解或无解关于c的方程:b2=a2+c2-2accosB有两正根、一正根或无正根(含无实根)函数f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根).数列命题:在△ABC中,(i)假如a、b、c成等比数列,则B∈(0,];(ii)假如a、b、c成等差数列,则B∈(0,];证明:(i)a、b、c成等比数列ac=b2cosB==≥=B∈(0,];(ii)a、b、c成等差数列a+c=2bcosB===≥=B∈(0,].Stewart定理:若点P是△ABC的边BC上一点,则PC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+PB×PC×BC.A证明:设∠APB=α,则∠APC=π-α,则在△ABP中,AB2=PA2+PB2-2PA×PBcosα,在△APC中,AC2=PA2+PC2-2PA.PCcos(π-α)AC2=PA2+PC2+2PA×PCcosαPC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+BPCPB×PC×BC.由此可求三角形的中线和角平分线.二、典型问题1.正弦定理[例1]:(2023年第十七届希望杯高二数学竞赛试题)△ABC的三个内角为A,B,C,且2C-B=1800,又△ABC的周长与最长边的比值为m,那么m的最大值为.[解析]:[类题]:1.(1997年全国高中数学联赛上海预赛试题)△ABC中,已知(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6,则sinA:sinB:sinC=___.2.(2023年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sin2A-sin2B-sin2C=0,且sinA=2sinBsinC则△(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形3.⑴(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)在△ABC中,若tanA=,tanB=,且最长的边的长为1,则最短边的长等于.2Y.P.M数学竞赛讲座⑵(2023年全国高中数学联赛河南预赛试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanA=,cosB=.若最长的边为1,则△ABC最短边的长为.4.(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)如图,在△ABC中,已知∠B=400,∠BAD=300.A若AB=CD,则∠ACD的大小为(度).BDC5.(2023年全国高中数学联赛四川预赛试题)设△ABC内接于半径为R的⊙O,且AB=AC,AD为底边BC上的高,则AD+BC的最大值为_____.6.(2023年全国高中数学联赛江西预赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则使等式sin2+sin2+sin2=cos2成立的充要条件是()(A)a+b=2c(B)b+c=2a(C)c+a=2b(D)ac=b22.余弦定理[例2]:(2023年全国高中数学联赛安徽预赛试题)边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有____种.[解析]:[类题]:1.(2023年全国高中数学联赛北京预赛试题)设在△ABC中,AB=+,∠ACB=300.则AC+BC的最大值是.2.(2023年全国高中数学联赛湖南预赛试题)一个三角形的三边长恰为m2+m+1,2m+1,m2-1,则这个三角形的最大角为.3.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三边之长a,b,c满足等式=b,则长为b的边所相应的角B的大小是.4.(2023年全国高中数学联赛福建预赛试题)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:4x+5y=20与x轴、y轴分别交于点A、B,直线l2与线段AB、OA分别交于点C、D,且平分三角形AOB的面积,则CD2的最小值为.5.(2023年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)锐角三角形△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+=4cosC,则的最小值是.6.(1997年全国高中数学联赛上海预赛试题)△ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(A−B)=,则△ABC的面积为_____.3.面积公式[例3]:(2023年全国高中数学联赛河南预赛试题)凸四边形ABCD中,AB=,BC=CD=DA=1.设S和T分别为△ABD和△BCD的面积,则S2+T2的最大值是.[解析]:[类题]:1.(2023年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC中,BC=6,BC上的高为4,则AB∙AC的最小值是.2.(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)在△ABC中,已知∠BAC=450.若AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,则△ABC的面积为.3.(2023年全国高中数学联赛上海预赛试题)在△ABC中,已知∠A=300,∠B=1050,过边AC上一点D作直线DE,与边AB或者BC相交于点E,使得∠CDE=600,且DE将△ABC的面积两等分,则()2=.Y.P.M数学竞赛讲座34.(2023年全国高中数学联赛湖北预赛试题)在△ABC中,已知∠B的平分线交AC于K.若BC=2,CK=1,BK=,则△ABC的面积为.5.(2023年全国高中数学联赛福建预赛试题)已知向量=(2cos(+x),-1),=(-sin(-x),cos2x),f(x)=.若a,b,c分别是锐角△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=1,b+c=5+3,a=,则△ABC的面积S=.6.(1986年全国高中数学联赛试题)边长为a,b,c的三角形,其面积等于,而外接圆半径为1,若s=,t=,则s与t的大小关系是(A)s>t(B)s=t(C)s<t(D)不拟定4.边角互换[例4]:(1999年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b219c2=0,则=_______.[解析]:[类题]:1.(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)在△ABC中,假如a2+b2=6c2,则(cotA+cotB)tanC的值等于2.(2023年全国高中数学联赛上海预赛试题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c.若a2+b2=tc2,且cotC=2023(cotA+cotB),则常数t=_____.3.(2023年全国高中数学联赛江苏预赛试题)在△ABC中,若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB,则=.4.⑴(1991年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,已知三个角A,B,C成等差数列,假设他们对的边分别为a,b,c并且c-a等于AC边上的高h,则sin=______.⑵(1993年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若ca等于AC边上的高h,则sin+cos的值是.5.(1992年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b1),且,都是方程=logb(4x4)的根,则△ABC()

(A)是等腰三角形,但不是直角三角形(B)是直角三角形,但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形,也不是直角三角形6.(2023年全国高中数学联赛北京预赛试题)△ABC中,,cos(A-B)+cosC=1-cos2C,则=______.5.内角变换[例5]:(2023年全国高中数学联赛四川预赛试题)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若cosA+sinA-=0,则的值是.[解析]:4Y.P.M数学竞赛讲座[类题]:1.⑴(2023年全国高中数学联赛福建预赛试题)在ΔABC中,若sinA+cosA=-,则cos2A=.⑵(1989年全国高中数学联赛上海预赛试题)在△ABC中,若5tanBtanC=1,则=.2.(2023年全国高中数学联赛湖南预赛试题)ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC,则(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形(B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形(C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形(D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形3.(2023年江西高中女子数学竞赛试题)下面是关于△ABC的两个命题:甲:sinA>sinB,当且仅当A>B;乙:cotA+cotB+cotC恒取正值.()(A)甲对乙错(B)乙对甲错(C)甲乙都对(D)甲乙都错4.(2023年全国高中数学联赛湖南预赛试题)在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,sinAcosA=,则该三角形是()(A)等边三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)等边三角形或直角三角形5.⑴(2023年全国高中数学联赛山西预赛试题)在锐角三角形ABC中,设tanA,tanB,tanC成等差数列,且函数f(x)满足f(cos2C)=cos(B+C-A),则f(x)的解析式为⑵(2023年全国高中数学联赛试题)若△ABC的角A、C满足5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,那么tantan=.6.(2023年全国高中数学联赛福建预赛试题)一个三角形的最短边长度是1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为.6.特例问题[例7]:(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所相应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限[解析]:[类题]:1.⑴(1998年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在锐角三角形ABC中,一定有()(A)cosA<sinB(B)cosA>sinB(C)tanA>sinB(D)cosA与sinB的大小关系不拟定⑵(2023年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.⑴(2023年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sinA=,sinB=,则sinC的取值有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个⑵(1983年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,sinA=eq\f(3,5),cosB=eq\f(5,13),那么cosC的值等于.3.(2023年全国高中数学联赛试题)假如满足∠ABC=600,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是()(A)k=8(B)0<k≤12(C)k≥12(D)0<k≤12或k=84.(2023年全国高中数学联赛江苏预赛试题)在ΔABC中,已知tanB=,sinC=,AC=3,则ΔABC的面积为.5.(2023年安徽高考试题)(2023年全国高中数学联赛江苏预赛试题)假如△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,Y.P.M数学竞赛讲座5(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形(B)△A1B1C1和△A2B(C)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形(D)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B6.(1982年全国高中数学联赛上海预赛试题)假如△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',且sinB+sinC<sinB'+sinC',那么()(A)B−C>B'−C'(B)|B−C|>|B'−C'|(C)B−C<|B'−C'|(D)|B−C|<|B'−C'|7.等比性质[例7]:(2023年全国高中数学联赛试题)设△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则的取值范围是()(A)(0,+∞)(B)(0,)(C)(,)(D)(,+∞)[解析]:[类题]:1.(1992年第三届希望杯高二数学竞赛试题)三角形ABC的三边的长度a,b,c成等差数列,则角B的最大值是.2.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三条边的长a,b,c依次成等比数列,则sinB+cosB的取值范围是.3.(2023年全国高中数学联赛吉林预赛试题)在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.假如a、b、c成等比数列,那么,三角方程sin7B=sinB的解集是.4.(1985年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若角A,B,C的大小成等比数列,且b2-a2=ac,则角B的孤度数等于______.5.(1980年全国高中数学联赛上海预赛试题)已知△ABC中,lgtanA+lgtanC=2lgtanB,则角B的范围为.6.(2023年全国高中数学联赛山西预赛试题)三角形ABC三个内角的度数满足:.则T=cosA+cosB+cosC的值为.8.三角形高[例8]:(1988年全国高中数学联赛试题)△ABC中,已知∠A=α,CD,BE分别是AB,AC上的高,则=_______.[解析]:[类题]:1.(2023年全国高中数学联赛四川预赛试题)己知△ABC的三边长分别为3,4,5,点P为△ABC内部(不含边界)一动点,则点P到三边距离之积的最大值等于.2.(2023年全国高中数学联赛四川预赛试题)若△ABC中,BC＝12,BC边上的高ha＝8,hb,hc分别为CA,AB边上的高,则乘积hbhc的最大值为____________.3.(1983年全国高中数学联赛上海预赛试题)已知AD、BE、CF为△ABC的三条高(D、E、F为垂足),∠B=450,∠C=600,则=.4.(2023年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设H为锐角三角形ABC的垂心,己知∠A=300,BC=3,则AH=.5.(1981年全国高中数学联赛上海预赛试题)在△ABC中,∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB>2h.9.内切圆[例9]:(2023年全国高中数学联赛试题)△ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1.则的值为()6Y.P.M数学竞赛讲座(A)2(B)4(C)6(D)8[解析]:[类题]:1.(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)设在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,且c=10,acosA=bcosB,A≠B,则△ABC的内切圆半径等于.2.(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)若D是边长为1的正三角形ABC的边BC上的点,△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,若r1+r2=,则满足条件的点D有两个,分别设D1,d2,则D1,d2之间的距离为_______.3.(2023年全国高中数学联赛江西预赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则比式(b+c-a):(a+c-b):(a+b-c)等于()(A)sin:sin:sin(B)cos:cos:cos(C)tan:tan:tan(D)cot:cot:cot4.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在不等边三角形ABC中,sinA:sinB:sinC=x:y:z,则(x–y)cot+(y–z)cot+(z–x)cot=.5.(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)已知非等腰锐角△ABC的外心、内心和垂心分别为O、I、H,∠A=600.若△ABC的三条高线分别为AD、BE、CF,则△OIH的外接圆半径与△DEF的外接圆半径之比为.10.构三角形[例10]:(1978年全国高考试题)己知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=.[解析]:[类题]:1.⑴(2023年全国高中数学联赛安徽预赛试题)设凸四边形ABCD满足:AB=AD=1,∠A=1600,∠C=1000,则对角线AC的长度的取值范围是.⑵(1987年全国高中数学联赛试题)边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是()(A)10(B)14(C)5(D)122.(2023年四川高考试题)设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,则a2=b(b+c)是A=2B的()(A)充足必要条件(B)充足而不必要条件(C)必要而不充足条件(D)即不充足也不必要条件3.⑴(1991年全国高中数学联赛试题)cos2100+cos2500-sin400sin800=.⑵(1995年全国高考试题)sin2200+cos2500+sin200cos500的值=.4.(1991年三南高考试题)求tan200+4sin200的值.5.⑴(1989年第十五届全俄数学奥林匹克试题)己知x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.⑵(第二十一届全苏数学奥林匹克试题)己知正数a、b、c、A、B、C满足:a+A=b+B+c+C=k.求证:aB+bC+cA<k2.6.(1989年第十五届全俄数学奥林匹克试题)设正数x、y、z满足方程组,求xy+2yz+3zx的值.Y.P.M数学竞赛讲座1竞赛中的三角形问题高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特性--“数形二重性”的考察,需要充足挖掘蕴含的几何本质.一、知识结构存在性定理:在△ABC中,己知cosA、cosB,则△ABC有解cosA+cosB>0.证明:△ABC有解C有解A+B有解0<A+B<π0<A<π-BcosA>cos(π-B)cosA>-cosBcosA+cosB>0.解的个数定理:在△ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB∈(0,1),则:(i)△ABC有一解sin2A+cos2B≤1;(ii)△ABC有二解sin2A+cos2B>1.证明:△ABC有解角C有解sinC>0sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+()()=sinAcosB>0.所以当sin2A+cos2B≤1时,只有一解;当sin2A+cos2B>1时,有两解.等价命题:在△ABC中,己知二边a,b(b≤a)及其中一边b的对角B,则△ABC有两解、一解或无解函数f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根).证明:在△ABC中,b2=a2+c2-2accosB,所以,△ABC有两解、一解或无解关于c的方程:b2=a2+c2-2accosB有两正根、一正根或无正根(含无实根)函数f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根).数列命题:在△ABC中,(i)假如a、b、c成等比数列,则B∈(0,];(ii)假如a、b、c成等差数列,则B∈(0,];证明:(i)a、b、c成等比数列ac=b2cosB==≥=B∈(0,];(ii)a、b、c成等差数列a+c=2bcosB===≥=B∈(0,].Stewart定理:若点P是△ABC的边BC上一点,则PC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+PB×PC×BC.A证明:设∠APB=α,则∠APC=π-α,则在△ABP中,AB2=PA2+PB2-2PA×PBcosα,在△APC中,AC2=PA2+PC2-2PA.PCcos(π-α)AC2=PA2+PC2+2PA×PCcosαPC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+BPCPB×PC×BC.由此可求三角形的中线和角平分线.二、典型问题1.正弦定理[例1]:(2023年第十七届希望杯高二数学竞赛试题)△ABC的三个内角为A,B,C,且2C-B=1800,又△ABC的周长与最长边的比值为m,那么m的最大值为.[解析]:由2C-B=1800,且A+B+C=1800B=2C-1800,A=3600-3C,且900<C<1350,c为最长边,又由正弦定理得:m===4sin2C-2cosC-2=-4cos2-2cosC+2=-4(cosC+)2+;所以当cosC=-时,m取得最大值.[类题]:1.(1997年全国高中数学联赛上海预赛试题)△ABC中,已知(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6,则sinA:sinB:sinC=___.[解析]:(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6a:b:c=7:5:3sinA:sinB:sinC=7:5:3.2.(2023年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sin2A-sin2B-sin2C=0,且sinA=2sinBsinC则△(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形[解析]:sin2A-sin2B-sin2C=0a2=b2+c2A=900,sinA=2sinBsinC2sinBsin(900-B)=1sin2B=1B=450.3.⑴(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)在△ABC中,若tanA=,tanB=,且最长的边的长为1,则最短边的长等于.⑵(2023年全国高中数学联赛河南预赛试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanA=,cosB=.若最长的边为1,则△ABC最短边的长为.[解析]:cosB=tanB=tanC=-tan(A+B)=-=-1c=1,b最短b==.4.(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)如图,在△ABC中,已知∠B=400,∠BAD=300.A若AB=CD,则∠ACD的大小为(度).BDC[解析]:设BD=a,∠ACD=α,则AB=2asin700,AD=2asin400,∠DAC=1100-α,由α=400.5.(2023年全国高中数学联赛四川预赛试题)设△ABC内接于半径为R的⊙O,且AB=AC,AD为底边BC上的高,则AD+BC的最大值为_____.[解析]:设∠BOD=2α,则BC=2BD=2Rsin2α,AD=ABcosα=2RsinCcosα=2Rsin(900-α)cosα=2Rcos2α,则AD+BC=2Rcos2α+2Rsin2α=R(1+cos2α)+2Rsin2α=Rsin(2α+φ)+R,其中tanφ=,取α=-时,AD+BC≤R+R.6.(2023年全国高中数学联赛江西预赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则使等式sin2+sin2+sin2=cos2成立的充要条件是()(A)a+b=2c(B)b+c=2a(C)c+a=2b(D)ac=b2[解析]:sin2+sin2+sin2=cos21-cosA+1-cosB+1-cosC=1+cosBcosA+cosC=2(1-cosB)2coscos=4sin2cos=2sincoscos=2sincoscossin=2sincossinA+sinC=2sinBa+c=2b.2.余弦定理[例2]:(2023年全国高中数学联赛安徽预赛试题)边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有____种.[解析]:设△ABC三边长a,b,c为整数,a+b+c=60,a≥b≥c,a,b,c成等差数列b=20,a+c=40;∠A为钝角b2+c2<a2b2<(a+c)(a-c)a-c>10a-(40-a)>10a>25,又因b+c>a,由a+b+c=60a<30a=26,27,28,29.共有4种.[类题]:1.(2023年全国高中数学联赛北京预赛试题)设在△ABC中,AB=+,∠ACB=300.则AC+BC的最大值是.[解析]:c2=a2+b2-2abcosCa2+b2-ab=(+)2(ab≤()2,a2+b2≥)-()2≤(+)2a+b≤4(2+).2.(2023年全国高中数学联赛湖南预赛试题)一个三角形的三边长恰为m2+m+1,2m+1,m2-1,则这个三角形的最大角为.[解析]:由(m2-1)+(2m+1)>m2+m+1m>1(m2+m+1)-(2m+1)=m(m-1)>0,(m2+m+1)-(m2-1)=m+2>0边长m2+m+1最大,由cosα==-最大角为.3.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三边之长a,b,c满足等式=b,则长为b的边所相应的角B的大小是.[解析]:=b(b+c)c2+(a+b)a2=b(a+b)(b+c)a3+c3+a2b+bc2=b3+ab2+abc+b2c(a+c)(a2+c2-ac)+b(a2+c2)=b3+ab2+abc+b2c,设a2+c2=b2+xac,则(a+c)[b2+(x-1)ac]+b(b2+xac)=b3+ab2+abc+b2cab2+(x-1)a2c+b2c+(x-1)ac2+b+ab2+abc+b2c(x-1)a2c+(x-1)ac2+(x-1)abc=0(x-1)(a+c+b)=0x=1a2+c2=b2+acB=.4.(2023年全国高中数学联赛福建预赛试题)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:4x+5y=20与x轴、y轴分别交于点A、B,直线l2与线段AB、OA分别交于点C、D,且平分三角形AOB的面积,则CD2的最小值为.[解析]:由条件知,OA=5,OB=4,AB=,设∠BAO=α,则sinα=,cosα=,AC×ADcosα=OA×OBAC×AD=,由余弦定理得:CD2=AD2+AC2-2AD×ACcosα≥2AD×AC-2AD×ACcosα=5-25,当AD=AC时等号成立.所以,CD2的最小值为=5-25.5.(2023年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)锐角三角形△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+=4cosC,则的最小值是.[解析]:4cosC=+≥2cosC≥sinC≤;由题设及余弦定理:=4a2+b2=2c2;于=====≥=≥.而上式等号成立当且仅当A=B=C.6.(1997年全国高中数学联赛上海预赛试题)△ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(A−B)=,则△ABC的面积为_____.[解析]:在BC上取点D,使得AD=BD=xCD=4-x,在△ACD中,(4-x)2=9+x2-6xcos(A−B)x=2cosC=sinC=△ABC的面积=.3.面积公式[例3]:(2023年全国高中数学联赛河南预赛试题)凸四边形ABCD中,AB=,BC=CD=DA=1.设S和T分别为△ABD和△BCD的面积,则S2+T2的最大值是.[解析]:设∠BAD=αS=sinα,BD2=4-2cosαT=BDT2=(2-cosα)cosαS2+T2=sin2α+cosα-cos2α=-cos2α+cosα+cosα=时,S2+T2的最大值是.[类题]:1.(2023年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC中,BC=6,BC上的高为4,则AB∙AC的最小值是.[解析]:AB∙ACsinA=24AB∙AC=.又因sinA≤sin2α=2sinαcosα=,其中sinα=,cosα=AB∙AC的最小值是25.2.(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)在△ABC中,已知∠BAC=450.若AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,则△ABC的面积为.[解析]:由tanB=,tanC=tanC=tanB,∠BAC=450tan(B+C)=-1=-1tanB=2(-舍去)AD=4△ABC的面积为12.3.(2023年全国高中数学联赛上海预赛试题)在△ABC中,已知∠A=300,∠B=1050,过边AC上一点D作直线DE,与边AB或者BC相交于点E,使得∠CDE=600,且DE将△ABC的面积两等分,则()2=.[解析]:在△ABC中,已知A,B,c,则S△ABC=bcsinA=csinA=.若点E在BC上,则S△ABC=AC2S△CDE=CD2()2=.4.(2023年全国高中数学联赛湖北预赛试题)在△ABC中,已知∠B的平分线交AC于K.若BC=2,CK=1,BK=,则△ABC的面积为.[解析]:cosC=,cos=cosB=sinB=,sinC=sinA=AC=2=△ABC的面积=.5.(2023年全国高中数学联赛福建预赛试题)已知向量=(2cos(+x),-1),=(-sin(-x),cos2x),f(x)=.若a,b,c分别是锐角△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=1,b+c=5+3,a=,则△ABC的面积S=.[解析]:f(x)==-2cos(+x)sin(-x)-cos2x=2sinxcosx-cos2x=sin(2x-),f(A)=1sin(2A-)=2A-=2kπ+,或2A-=2kπ+π-A=kπ+,或A=kπ+A=.由a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2(1+cosA)bc13=43+30-(2+)bcbc=15S=.6.(1986年全国高中数学联赛试题)边长为a,b,c的三角形,其面积等于,而外接圆半径为1,若s=,t=,则s与t的大小关系是(A)s>t(B)s=t(C)s<t(D)不拟定[解析]:c=2RsinC=2sinC,absinC=abc=1,t==()+()+()≥++==s,且其中档号成立,则a=b=c=R=1,这不成立.4.边角互换[例4]:(1999年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b219c2=0,则=_______.[解析]:==cosC==.[类题]:1.(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)在△ABC中,假如a2+b2=6c2,则(cotA+cotB)tanC的值等于[解析]:(cotA+cotB)tanC====.2.(2023年全国高中数学联赛上海预赛试题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c.若a2+b2=tc2,且cotC=2023(cotA+cotB),则常数t=_____.[解析]:cotC=2023(cotA+cotB)=2023cosC=2023=2023t=4009.3.(2023年全国高中数学联赛江苏预赛试题)在△ABC中,若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB,则=.[解析]:tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB=cosC===3.4.⑴(1991年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,已知三个角A,B,C成等差数列,假设他们对的边分别为a,b,c并且c-a等于AC边上的高h,则sin=______.[解析]:三个角A,B,C成等差数列A=600-α,C=600+α,c-a=hc-a=csinAsinC-sinA=sinCsinAsinα=cos2α-sin2αsinα=sin=.⑵(1993年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若ca等于AC边上的高h,则sin+cos的值是.[解析]:sin+cos=+=1.5.(1992年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b1),且,都是方程=logb(4x4)的根,则△ABC()

(A)是等腰三角形,但不是直角三角形(B)是直角三角形,但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形,也不是直角三角形[解析]:方程=logb(4x-4)x2=4x-4x=2=2,=2C=2A,且sinB=2sinAsin(1800-3A)=2sinAsin3A=2sinA3sinA-4sin3A=2sinAsinA=A=300,C=600,B=900,故选(B).6.(2023年全国高中数学联赛北京预赛试题)△ABC中,,cos(A-B)+cosC=1-cos2C,则=______.[解析]:b2-a2=ab=,cos(A-B)+cosC=1-cos2Ccos(A-B)-cos(A+B)=2sin2CsinAsinB=sin2Cab=c2==+.5.内角变换[例5]:(2023年全国高中数学联赛四川预赛试题)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若cosA+sinA-=0,则的值是.[解析]:cosA+sinA-=0(cosA+sinA)(cosB+sinB)=2sin(A+)sin(B+)=1sin(A+)=1,sin(B+)=1A=B=[类题]:1.⑴(2023年全国高中数学联赛福建预赛试题)在ΔABC中,若sinA+cosA=-,则cos2A=.[解析]:sinA+cosA=-cosA<0,sinA-cosA>0,(sinA+cosA)2+(sinA-cosA)2=2sinA-cosA=sinA=cos2A=1-2sin2A=.⑵(1989年全国高中数学联赛上海预赛试题)在△ABC中,若5tanBtanC=1,则=.[解析]:=-=-=-=-.2.(2023年全国高中数学联赛湖南预赛试题)ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC,则(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形(B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形(C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形(D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形[解析]:(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC2sincos×2coscos＝2sin(A+B)cos2=1A=B.3.(2023年江西高中女子数学竞赛试题)下面是关于△ABC的两个命题:甲:sinA>sinB,当且仅当A>B;乙:cotA+cotB+cotC恒取正值.()(A)甲对乙错(B)乙对甲错(C)甲乙都对(D)甲乙都错[解析]:甲:sinA>sinBa>bA>B;乙:cotA+cotB=>0cotA+cotB+cotC>0.4.(2023年全国高中数学联赛湖南预赛试题)在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,sinAcosA=,则该三角形是()(A)等边三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)等边三角形或直角三角形[解析]:在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB=-tan(A+B)=-tanC=C=600;sinAcosA=sin2A=2A=600,或1200A=300,或600等边三角形或直角三角形.5.(2023年全国高中数学联赛山西预赛试题)在锐角三角形ABC中,设tanA,tanB,tanC成等差数列,且函数f(x)满足f(cos2C)=cos(B+C-A),则f(x)的解析式为[解析]:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,由于B为锐角,所以tanB≠0,所以tanAtanC=3,令cos2C=x,则cos2C=,所以tan2A===9,所以f(x)cos(B+C-A)=cos(π-2A)=-cos2A=1-2cos2A=1-2=.⑵(2023年全国高中数学联赛试题)若△ABC的角A、C满足5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,那么tantan=.[解析]:令tan=m,tan=ncosA=,cosC=,由5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=05[(1-m2)(1+n2)+(1+m2)(1-n2)]+4[(1-m2)(1-n2)+(1+m2)(1+n2)]=05(2-2m2n2)+4(2+2m2n2)=0mn=3.6.(2023年全国高中数学联赛福建预赛试题)一个三角形的最短边长度是1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为.[解析]:该三角形不是直角三角形.不妨设A≤B≤C则tanA≤,又tanA∈Z,所以tanA=1;非直角三角形中,有恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,即tanB,tanC是方程1+x+y=xy,即y=1+的一组正整数解,所以tanB=2,tanC=3.易解得最长边为.6.特例问题[例7]:(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所相应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限[解析]:A,B是锐角△ABC的两个内角A+B[类题]:1.⑴(1998年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在锐角三角形ABC中,一定有()(A)cosA<sinB(B)cosA>sinB(C)tanA>sinB(D)cosA与sinB的大小关系不拟定⑵(2023年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.⑴(2023年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sinA=,sinB=,则sinC的取值有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个[解析]:sinB=cosB=.当cosB=时,由sin2A+cos2B>1有两解;当cosB=-时,只有一解.⑵(1983年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,sinA=eq\f(3,5),cosB=eq\f(5,13),那么cosC的值等于.3.(2023年全国高中数学联赛试题)假如满足∠ABC=600,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是()(A)k=8(B)0<k≤12(C)k≥12(D)0<k≤12或k=84.(2023年全国高中数学联赛江苏预赛试题)在ΔABC中,已知tanB=,sinC=,AC=3,则ΔABC的面积为.5.(2023年安徽高考试题)(2023年全国高中数学联赛江苏预赛试题)假如△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形(B)△A1B1C1和△A2B(C)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形(D)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B[解析]:因三角形任一内角的正弦值为正,由题知△A1B1C1的三个内角的余弦值为正,故△A1B1C1是锐角三角形;假如△A2B2C2也是锐角三角形,由cosA1=sinA2A1+A2=,同理可得B1+B2=,C1+C2=(A1+B1+C1)+(A2+B2+C2)=2π=.矛盾,所以△A2B2C2是钝角三角形,故选(D).6.(1982年全国高中数学联赛上海预赛试题)假如△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',且sinB+sinC<sinB'+sinC',那么()(A)B−C>B'−C'(B)|B−C|>|B'−C'|(C)B−C<|B'−C'|(D)|B−C|<|B'−C'|[解析]:∠A=∠A'B+C=B'+C',sinB+sinC<sinB'+sinC'2sincos<2sincoscos<coscos||<cos|||B−C|>|B'−C'|.7.等比性质[例7]:(2023年全国高中数学联赛试题)设△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则的取值范围是()(A)(0,+∞)(B)(0,)(C)(,)(D)(,+∞)[解析]:设等比数列的公比为q,b=aq,c=aq2,由a+b>ca+aq>aq2q∈(,),=====q.[类题]:1.(1992年第三届希望杯高二数学竞赛试题)三角形ABC的三边的长度a,b,c成等差数列,则角B的最大值是.2.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三条边的长a,b,c依次成等比数列,则sinB+cosB的取值范围是.3.(2023年全国高中数学联赛吉林预赛试题)在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.假如a、b、c成等比数列,那么,三角方程sin7B=sinB的解集是.[解析]:a、b、c成等比数列B∈(0,],sin7B=sinB7B=2kπ+B,或7B=2kπ+π-BB=k,或B=B=,.4.(1985年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若角A,B,C的大小成等比数列,且b2-a2=ac,则角B的孤度数等于______.[解析]:角A,B,C的大小成等比数列A=B,C=qB,A+B+C=πB=.b2-a2=ac,b2=a2+c2-2accosBa=c-2acosBsinA=sinC-2sinAcosBsinA=sin(B-A)A=Bq=2B=.5.(1980年全国高中数学联赛上海预赛试题)已知△ABC中,lgtanA+lgtanC=2lgtanB,则角B的范围为.[解析]:lgtanA+lgtanC=2lgtanBB<900,tanAtanC=tan2B,tanB=-tanA+tanC=tan3B-tanB,tanA+tanC≥2=2tanBtan3B-tanB≥2tanBtanB≥B∈[600,900).6.(2023年全国高中数学联赛山西预赛试题)三角形ABC三个内角的度数满足:.求T=cosA+cosB+cosC的值.[解析]:设A=θ,B=3θ,C=9θ,由A+B+C=π得θ=,T=cosA+cosB+cosC=cosθ+cos3θ+cos9θ=cosθ+cos3θ-cos4θ=2cosθcos2θ-2cos22θ+1>2cos22θ-2cos22θ+1=1;T2=(cosθ+cos3θ+cos9θ)2=cos2θ+cos23θ+cos29θ+2cosθcos3θ+2cos3θcos9θ+2cos9θcosθ=(1+cos2θ)+(1+cos6θ)+(1+cos18θ)+(cos2θ+cos4θ)+(cos8θ+cos10θ)+(cos6θ+cos12θ),而T=-cos12θ-cos10θ-cos4θ所以,2T2-T=3+3(cos2θ+cos4θ+cos6θ+cos8θ+cos10θ+cos12θ),又令P=cos2θ+cos4θ+cos6θ+cos8θ+cos10θ+cos12θ,则2sinθP=(sin3θ-sinθ)+(sin5θ-sin3θ)+(sin7θ-sin5θ)+(sin9θ-sin7θ)+(sin11θ-sin9θ)+(sin13θ-sin11θ)=-sinθ,所以,P=-,从而2T2-T=,即T=.8.三角形高[例8]:(1988年全国高中数学联赛试题)△ABC中,已知∠A=α,CD,BE分别是AB,AC上的高,则=_______.[解析]:B,C,D,E四点共圆∠ADE=∠ABC△AED∽△ABC==|cosα|.[类题]:1.(2023年全国高中数学联赛四川预赛试题)己知△ABC的三边长分别为3,4,5,点P为△ABC内部(不含边界)一动点,则点P到三边距离之积的最大值等于.[解析]:设AB=5,BC=3,CA=4,点P到三边AB,BC,CA的距离分别为dc,da,db,则5dc+3da+4db=1212=5dc+3da+4db≥3dadbdc≤,当且仅当5dc=3da=4db=4,即dc=,da=,db=1时.2.(2023年全国高中数学联赛四川预赛试题)若△ABC中,BC＝12,BC边上的高ha＝8,hb,hc分别为CA,AB边上的高,则乘积hbhc的最大值为____________.[解析]:由bhb=chc=aha=96hb=,hc=hbhc====96sinA.设A=α+β,tanα=,tanβ=tanA=tan(α+β)=≤sinA≤hbhc≤96×.3.(1983年全国高中数学联赛上海预赛试题)已知AD、BE、CF为△ABC的三条高(D、E、F为垂足),∠B=450,∠C=600,则=.[解析]:A,B,D,E四点共圆∠CED=∠CBA△CED∽△CBA=cos600=DE=AB;同理可得:DF=AC===.4.(2023年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设H为锐角三角形ABC的垂心,己知∠A=300,BC=3,则AH=.[解析]:∠AHB=1800-C,∠ABH=900-A,在△ABH中,AH=cosA=cosA=acotA.5.(2023年全国高中数学联赛天津预赛试题)已知非等腰锐角△ABC的外心、内心和垂心分别为O、I、H,∠A=600.若△ABC的三条高线分别为AD、BE、CF,则△OIH的外接圆半径与△DEF的外接圆半径之比为.[解析]:因∠BOC=2A=1200,∠BIC=1800-=90+=1200,∠BHC=1800-A=1200∠BOC=∠BIC=∠BHCB,O,I,H,C五点共圆△OIH的外接圆半径=△OBC的外接圆半径=△ABC的外接圆半径R;又因A,E,H,F四点共圆,且直径为AHEF=AHsinA=2RcosAsinA=R,由A,F,D,C四点共圆∠BDF=∠A=600,同理∠CDE=600∠EDF=600△DEF的外接圆半径2r==R△OIH的外接圆半径与△DEF的外接圆半径之比为2.6.(1981年全国高中数学联赛上海预赛试题)在△ABC中,∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB>2h.[解析]:在△ABC中,h=asinB=bsinA,AB=c=acosB+bcosA,∠C为钝角A+B<cosA>sinB,cosB>sinAc=acosB+bcosA>asinA+bsinB>asinB+bsinA=2h.9.内切圆[例9]:(2023年全国高中数学联赛试题)△ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1.则的值为()(A)2(B)4(C)6(D)8[解析]:如图,连BA1,则AA1=2sin(B+)AA1cos=2sin(B+)cos=sin[(B+)+]+sin[(B+)-]=s