备考2025届高考数学一轮复习讲义第九章统计与成对数据的统计分析第1讲随机抽样统计图表

第1讲随机抽样、统计图表课标要求命题点五年考情命题分析预料1.了解简洁随机抽样的含义及其解决问题的过程，驾驭两种简洁随机抽样方法：抽签法与随机数法.会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系.2.了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，驾驭各层样本量比例支配的方法.驾驭分层随机抽样的样本均值和样本方差.3.能依据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题.4.能依据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理运用统计图表的重要性.随机抽样2024新高考卷ⅡT3；2024全国卷ⅡT18本讲为高考的命题热点，主要考查：（1）分层随机抽样，题型以选择题和填空题为主，属于中低档题；（2）统计图表的应用，着重考查频率分布表、频率分布直方图、条形图、折线图等，单独命题时以小题形式出现，与其他学问综合命题时常作为问题情境出现在解答题中.预料2025年高考命题趋势变更不大，重点在情境的创新.统计图表2024新高考卷ⅡT19；2024新高考卷ⅡT19；2024新高考卷ⅡT9；2024全国卷ⅢT171.简洁随机抽样（1）分类：放回简洁随机抽样和不放回简洁随机抽样.除非特别说明，本章所称的简洁随机抽样指不放回简洁随机抽样.（2）常用方法：①抽签法和②随机数法.辨析比较1.抽签法和随机数法的异同：（1）都是逐个、不放回抽样；（2）总体中个体数不多时选择抽签法，总体量较大，样本量较小时选择随机数法.2.能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否便利；二是号签是否易搅匀.2.分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简洁随机抽样，再把全部子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为③分层随机抽样，每一个子总体称为④层.在分层随机抽样中，假如每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的支配方式为⑤比例支配.辨析比较简洁随机抽样与分层随机抽样的辨析抽样方法共同点各自特点相互联系适用范围简洁随机抽样（1）抽样过程中每个个体被抽到的机会均等；（2）都是不放回抽样.从总体中逐个抽取.分层随机抽样在各层抽样时可接受简洁随机抽样.样本容量较小.分层随机抽样将总体分成互不交叉的层，分层进行抽取.总体可以分层，层与层之间有明显区分，而层内个体间差异较小.3.统计图表（1）常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布表、频率分布直方图等.（2）频率分布直方图的制作步骤a.求极差.极差为一组数据中最大值与最小值的⑥差.b.确定组距与组数.当样本量不超过100时，常分成5～12组.为便利起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.c.将数据分组.使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最终一组的右端点略大于数据中的最大值.d.列频率分布表.计算各小组的频率，作出频率分布表.e.画频率分布直方图.在频率分布直方图中，纵轴表示⑦频率组距1.下列说法正确的是（D）A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本是简洁随机抽样B.某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参与学校组织的篮球赛是简洁随机抽样C.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验，可用抽签法D.某校有2000名学生，其中高一年级700人，高二年级600人，高三年级700人，现从中抽取20人了解学生在校学习压力的状况，可用分层随机抽样的方法抽取解析A选项，不是简洁随机抽样，因为题中被抽取的总体中的个体数是无限的，而不是有限的；B选项，不是简洁随机抽样，个子最高的5名同学是确定的，不是等可能抽样；C选项是简洁随机抽样，但总体中的个体数太多，不宜接受抽签法；D选项，三个年级的学生个体差异比较明显，所以适用分层随机抽样.2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆.为检验该公司这三种型号轿车的质量，公司质检部要抽取57辆进行检验，则下列说法错误的是（B）A.应接受分层随机抽样的方法抽取B.应接受简洁随机抽样抽取C.三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相等解析由题知，该公司质检部要对三种型号的轿车抽取57辆进行检验，所以该检验应接受分层随机抽样的方法，故选项A正确，选项B错误.对于选项C，1500＋6000＋2000＝9500（辆），所以三种型号的轿车依次应抽取57×15009500＝9（辆），57×60009500＝36（辆），57×20009500＝12（辆），故选项C正确.对于选项D，分层随机抽样中每一辆轿车被抽到的可能性相等，故选项D正确3.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按11∶7∶2的比例录用，若某年会试录用人数为100，则中卷录用人数为（A）A.10 B.35 C.55 D.75解析由题意知，会试录用人数为100，则中卷录用人数为100×211+7+2＝4.[教材改编]某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图所示），由图中数据可知a＝0.030.若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参与一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3.解析因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1，所以有10×（0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010）＝1，解得a＝0.030.（求频率之和时，切勿遗忘乘以组距）由频率分布直方图可知，身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生总数为100×10×（0.030＋0.020＋0.010）＝60，其中身高在[140，150]内的学生人数为100×10×0.010＝10.所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为1060×18＝3.（抽样比＝身高在研透高考明确方向命题点1随机抽样角度1简洁随机抽样例1（1）下列抽取样本的方式属于简洁随机抽样的是（B）A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B.盒子里共有80个零件，从中抽取5个零件进行质量检验.在抽样时，从中随意拿出一个零件进行质量检验后不再把它放回盒子里C.从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验D.某班有50名学生，指定数学成果排名前三的3名学生参与学校组织的数学竞赛解析A不是简洁随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的.B是简洁随机抽样.C不是简洁随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取.D不是简洁随机抽样，因为不是等可能抽样.（2）设某总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从下面随机数表第1行第5列的数字起先，从左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为03.18180792454417165807798386196216765003105523640505266238解析由题意得，选出来的这5个个体的编号依次是07，17，16，19，03，所以选出来的第5个个体编号为03.方法技巧（1）简洁随机抽样需满意：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取.（2）用随机数法选取样本时，要剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所须要个数.角度2分层随机抽样例2（1）某中学有中学生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，接受分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中中学生有24人，那么n等于（D）A.12 B.18 C.24 D.36解析依据分层随机抽样方法知n960+480＝24960，解得n（2）某口罩厂的三个车间在一个小时内共生产3600个口罩，在出厂前要检查这批口罩的质量，现确定接受分层随机抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的口罩个数分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，则其次车间生产的口罩个数为（C）A.800 B.1000 C.1200 D.1500解析因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，则其次车间生产的口罩个数为3600×ba＋b＋c＝3600×方法技巧（1）在比例支配的分层随机抽样中，抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本容量（2）总体中各层的个体数之比等于样本中相应的各层抽取的样本量之比.训练1（1）“夸父一号”的胜利放射，实现了我国天基太阳探测卫星跨越式突破，某中学为此实行了“讲好航天故事”演讲竞赛.若将报名的30位同学按01，02，…，30进行编号，利用下面的随机数表来确定他们的出场依次，选取方法是从随机数表第1行的第3列的数字起先，由左到右依次选取两个数字，则选取的第5位同学的编号为（C）4567321212310701085213200112512932049234493582003623486969387481A.23 B.20 C.13 D.12解析依次从随机数表中选取的有效编号为12，07，01，08，13，故选取的第5位同学的编号为13.故选C.（2）[多选]已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，中学生55000人，当地教化部门为了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、中学生进行分层随机抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生、初中生、中学生的近视率分别为30％，70％，80％.下列说法中正确的有（ABD）A.从中学生中抽取了440人B.每名学生被抽到的概率为1C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60％D.估计中学生的近视人数为44000命题点2统计图表角度1条形图、扇形（饼）图、折线图例3（1）[2024四川南充模拟]下图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成果的折线图，则下列说法错误的是（C）A.甲的数学成果最终3次渐渐上升B.甲的数学成果在130分及以上的次数多于乙的数学成果在130分及以上的次数C.甲有5次考试成果比乙高D.甲数学成果的极差小于乙数学成果的极差解析对于A，由题图可知甲的最终三次数学成果渐渐上升，故A说法正确.对于B，甲的数学成果在130分及以上的次数为6，乙的数学成果在130分及以上的次数为5，故B说法正确.对于C，甲有7次考试成果比乙高，故C说法错误.对于D，由题图可知，甲、乙两人的数学成果的最高成果相同，甲的最低成果为120分，乙的最低成果为110分，因此甲的数学成果的极差小于乙的数学成果的极差，D说法正确.故选C.（2）[多选/2024济南市模拟]某学校组建了辩论、英文剧场、民族舞、无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参与，且每位学生只能参与一个社团.学校依据学生参与状况绘制如下统计图，已知参与无人机社团和参与数学建模社团的学生人数相等，下列说法正确的是（AC）A.高一年级学生人数为120B.参与无人机社团的学生人数为17C.若按比例分层随机抽样从各社团抽取20人，则从无人机社团抽取的学生人数为3D.若甲、乙、丙三人报名参与社团，则共有60种不同的报名方法解析由题中统计图可知，参与民族舞社团的学生人数为12，占高一年级学生人数的10％，所以高一年级学生人数为12÷10％＝120，所以参与英文剧场社团的学生人数为120×35％＝42，又参与辩论社团的学生人数为30，所以参与无人机社团的学生人数等于参与数学建模社团的学生人数等于（120－42－30－12）÷2＝18，故A正确，B不正确.若按分层随机抽样从各社团抽取20人，则从无人机社团抽取的学生人数为20×18120＝3，C正确.若甲、乙、丙三人报名参与社团，则每人有5种选法，共有53＝125（种）不同的报名方法，故D不正确.综上所述，选方法技巧统计图表的主要应用（1）扇形图：直观描述各类数据占总数的比例.（2）折线图：描述数据随时间的变更趋势.（3）条形图和频率分布直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.角度2频率分布直方图例4[2024长沙雅礼中学模拟]某学校为了调查学生一周在生活方面的支出（单位：元）状况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法不正确的是（A）A.样本中支出在[50，60]内的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数为132C.n的值为200D.若该校有2000名学生，则约有600人支出在[50，60]内解析设[50，60]对应小长方形的高为x，则（0.01＋0.024＋0.036＋x）×10＝1，解得x＝0.03，所以样本中支出在[50，60]内的频率为0.03×10＝0.3，A选项错误.n＝600.3＝200，样本中支出不少于40元的人数为200×（0.036＋0.03）×10＝132，B选项正确.该校有2000名学生，则约有2000×0.3＝600（人）支出在[50，60]内，D选项正确.故选A.方法技巧与频率分布直方图相关的结论（1）频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.（2）频率分布直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距（3）频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数.训练2（1）[2024陕西省宝鸡市质检]某市教化局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的身高都在A，B，C，D，E五个层次内，分男、女生统计得到如下图所示的样本分布统计图，则（B）A.样本中A层次的女生比相应层次的男生人数多B.估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大C.D层次的女生和E层次的男生在整个样本中的频率相等D.样本中B层次的学生人数和C层次的学生人数一样多解析设样本中女生有y人，则男生有（1000－y）人，设女生身高频率分布直方图中的组距为t，由（a＋1.5a＋2a＋2.5a＋3a）t＝1，所以at＝0.1，所以女生身高频率分布直方图中A层次频率为0.2，B层次频率为0.3，C层次频率为0.25，D层次频率为0.15，E层次频率为0.1，所以样本中A层次的女生人数为0.2y，男生人数为0.1（1000－y），由于y的取值未知，所以无法比较A层次中男、女生人数，A错误；D层次女生在女生样本中频率为0.15，所以在整个样本中频率为0.15y1000，E层次男生在男生样本中频率为0.15，所以在整个样本中频率为0.15（1000－样本中B层次的学生数为0.3y＋0.25（1000－y）＝250＋0.05y，样本中C层次的学生数为0.25y