新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第3课时余弦定理正弦定理习题课学生用书新人教A版必修第二册

第3课时余弦定理、正弦定理习题课学习任务1．熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的几何度量问题．(数学运算)2．能依据条件，推断三角形解的个数．(逻辑推理)3．能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为困难的三角形问题．(数学运算)类型1三角形解的个数的推断【例1】不解三角形，推断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)a＝9，b＝10，A＝60°；[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(3)b＝72，c＝50，C＝135°．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________已知两边及其中一边的对角推断三角形解的个数的方法(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域推断解的个数．(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a＝b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a＝bsinA一解a<bsinA无解[跟进训练]1．(多选)依据下列条件，推断三角形解的状况，其中正确的是()A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解类型2三角形的面积【例2】在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝3132且AD＝BD，求△ABC[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsin[跟进训练]2．(1)在△ABC中，若a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝(2)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________．类型3正、余弦定理的综合应用【例3】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB．(1)求B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________应用正、余弦定理解决三角形问题，关键是依据已知条件对边和角进行相互转化，化简表达式，通过代数变形或三角恒等变换解决问题．[跟进训练]3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB．(1)求B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，C＝π6，则△ABC的面积为(A．23B．3C．13D．392．已知在△ABC中，b＝43，c＝2，C＝30°，那么此三角形()A．有一解 B．有两解C．无解 D．解的个数不确定3．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sinB的值为()A．12 B．C．714 D．4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosA(bcosC＋ccosB)＝a＝13，△ABC的面积为33，则A＝______，b＋c＝________．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．正弦定理有哪些常见变形？2．三角形的面积公式有哪些？3．如何推断三角形解的个数？第3课时余弦定理、正弦定理习题课[关键实力·合作探究释疑难]例1解：(1)sinB＝basin120°＝45×32(2)sinB＝basin60°＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B为锐角时，满意sinB＝539的角B当B为钝角时，满意sinB＝539的角B的取值范围是90°<B<120°，也满意A＋B(3)sinB＝sinCc＝7250sinC>sinC所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解．跟进训练1．ABD[A中，∵asinA＝bsinB，∴sinB＝16×sin30°8＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵sinC＝20sin60°18＝539，且c>b，∴C>B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝a2-c2＝25-4＝21，有解；D中，∵例2解：设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理的推论可知：cos∠CAD＝5-x2解得x＝1．在△CAD中，由正弦定理可知：sinC＝ADCD·1-cos2∠∴S△ABC＝12AC·BC·sin＝12×4×5×378∴△ABC的面积为157跟进训练2．(1)23(2)32或34[(1)∵cosC＝∴C∈(0°，90°)，∴sinC＝1-13又S△ABC＝12absinC＝12×32×b×223∴b＝23．(2)由正弦定理得sinC＝AB·sinBAC＝3×121＝32，∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝12例3解：(1)∵bsinA＝3acosB，∴由正弦定理，得sinBsinA＝3sinAcosB．在△ABC中，sinA≠0，∴sinB＝3cosB，即得tanB＝3，∴B＝π3(2)∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acosπ3解得a＝3，∴c＝2a＝23．跟进训练3．解：(1)由正弦定理，得a2＋c2－2ac＝b2，即a2＋c2－b2＝2ac．由余弦定理的推论，得cosB＝a2+c又0°＜B＜180°，因此B＝45°．(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°·sin45°＝2+由正弦定理，得a＝b·sinAsinB＝1由(1)得，C＝180°－45°－75°＝60°，故c＝b·sinCsinB＝2×sin[学习效果·课堂评估夯基础]1．B[由题意可知，a＝3，b＝4，C＝π6所以S△ABC＝12absinC＝12×3×4×2．C[由正弦定理和已知条件，得43sinB∴sinB＝3>1，∴此三角形无解．]3．D[由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠ADB，即AB＝27，由正弦定理，得ADsinB＝ABsin∠ADB，则sinB4．π32cosA(sinBcosC＋sinCcosB)＝sinA，可得2cosAsin(B＋C)＝sinA，即2cosAsinA＝sinA，又sinA≠0，∴cosA＝12∵A∈(0，π)，∴A＝π3由三角形的面积公式可得，33＝12bcsinA＝34bc，即由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，解得b＋c＝7．]课堂小结1．提示：①sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c．②asinA＝bsinB＝csin③a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．④sinA＝a2R，sinB＝b2R，