备考2025届高考数学一轮复习强化训练第三章一元函数的导数及其应用第2讲导数与函数的单调性

第2讲导数与函数的单调性1.[命题点1/多选/2024山东省青岛市检测]若函数g（x）＝exf（x）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数中具有M性质的为（BC）A.f（x）＝5－x B.f（x）＝2－xC.f（x）＝34x2＋1 D.f（x）＝x解析对于A选项，exf（x）＝ex·5－x＝（e5）x，在R上单调递减，故f（x）＝5－x不具有M对于B选项，exf（x）＝ex·2－x＝（e2）x，e2＞1，在R上单调递增，故f（x）＝2－x具有对于C选项，exf（x）＝ex（34x2＋1），则[exf（x）]'＝ex（34x2＋1）＋ex·32x＝ex（34x2＋32x＋1）＝34ex[（x＋1）2＋13]＞0，所以exf（x）＝ex（34x2＋1）在R上单调递增，故f（x）＝对于D选项，f（x）＝x3的定义域为R，则exf（x）＝exx3，[exf（x）]'＝exx3＋3x2ex＝x2ex（x＋3），令ex·x2（x＋3）＜0，解得x＜－3，所以exf（x）在（－∞，－3）上单调递减，故f（x）＝x3不具有M性质.故选BC.2.[命题点2/2024绵阳市一诊]已知函数f（x）＝x2＋12lnx－mx＋m－1（m∈R）（1）探讨函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性；（2）当x∈[12，＋∞）时，f（x）≥0，求m的值解析（1）由题意得f'（x）＝2x＋12x－m，∵x＞0，∴2x＋12x≥22x·12①当m≤2时，不等式f'（x）≥0恒成立（当且仅当x＝12，且m＝2时“＝”∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.②当m＞2时，由f'（x）＞0，得0＜x＜m－m2－44或x＞m＋m2－44；由f'∴函数f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋单调递减.综上，当m≤2时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无单调递减区间；当m＞2时，函数f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋m（2）当x∈[12，＋∞）时，由f（1）＝0知，要使得f（x）≥0恒成立，则f'（1）＝又f'（x）＝2x＋12x－∴f'（1）＝2＋12－m＝0，解得m＝5下证：当m＝52时，f（x）≥0此时f（x）＝x2＋12lnx－52x＋f'（x）＝2x＋12x－52＝4∵x∈[12，＋∞∴由f'（x）＞0，解得x＞1，由f'（x）＜0，解得12≤x＜∴f（x）在[12，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.∴f（x）≥f（1）＝综上，m＝523.[命题点3角度2/2024全国卷乙]设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝1.04－1，则（BA.a＜b＜c B.b＜c＜aC.b＜a＜c D.c＜a＜b解析b－c＝ln1.02－1.04＋1，设f（x）＝ln（x＋1）－1+2x＋1，则bf（0.02），f'（x）＝1x+1－22当x≥0时，x＋1＝（x+1）2≥1+2x，故当x≥0时，f'（x）＝1+2x－（x+1）1+2所以f（x）在[0，＋∞）上单调递减，所以f（0.02）＜f（0）＝0，即b＜c.a－c＝2ln1.01－1.04＋1，设g（x）＝2ln（x＋1）－1+4x＋1，则a－c＝g（0.01），g'（x）＝2x+1当0≤x＜2时，4x+1≥（x+1）故当0≤x＜2时，g'（x）≥0（当且仅当x＝0时“＝”成立），所以g（x）在[0，2）上单调递增，所以g（0.01）＞g（0）＝0，故c＜a，从而有b＜c＜a，故选B.4.[命题点3角度3/2024广州二模]已知偶函数f（x）与其导函数f'（x）的定义域均为R，且f'（x）＋e－x＋x也是偶函数，若f（2a－1）＜f（a＋1），则实数a的取值范围是（B）A.（－∞，2） B.（0，2）C.（2，＋∞） D.（－∞，0）∪（2，＋∞）解析因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（－x），等式两边求导可得f'（x）＝－f'（－x）①，（易错：对等式f（x）＝f（－x）两边同时求导的时候，要留意等式右边是一个复合函数，不要把负号漏掉了）因为函数f'（x）＋e－x＋x为偶函数，所以f'（x）＋e－x＋x＝f'（－x）＋ex－x②，联立①②可得f'（x）＝ex－e令g（x）＝f'（x），则g'（x）＝ex+e－x2－1≥当且仅当x＝0时取等号，所以函数g（x）在R上单调递增，即函数f'（x）在R上单调递增，故当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0