2023-2024学年江苏省无锡市南菁高级中学高一上学期9月阶段性检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省无锡市南菁高级中学2023-2024学年高一上学期9月阶段性检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，B＝{1，2，3}，则A∪B＝（）A.{3} B.{0，1，2，3} C.{1，2，﹣3} D.{1，2，3}〖答案〗B〖解析〗，B＝{1，2，3}，.故选：B.2.若集合M＝{x|x≤3}，a＝2，则下列结论正确的是（）A.{a}⊆M B.a∉M C.a⊆M D.{a}∈M〖答案〗A〖解析〗{2}⊆{x|x≤3}，A正确，D错误；2∈{x|x≤3}，BC错误；故选：A.3.若则是的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为等价于，∴“a>2”是“a<2或a>2”的充分不必要条件．故选A.4.已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立,故选C.5.若存在x使得有正值，则m的取值范围是（）A.或 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗是开口向下的抛物线，若存在使，则，解得：或.故选：A.6.如图中阴影部分所表示的集合是（）A. B.（A∪B）∪（B∪C）C.（A∪C）∩（∁UB） D.〖答案〗A〖解析〗根据韦恩图的意义，阴影部分表示的集合为：集合与在集合中的补集的交集.故可表示为：.故选：A.7.关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式的解集是，即对于，恒成立，即，当时，，当时，，因为，所以，综上所述.故选：A.8.已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（）A.m≥2 B.m≥4 C.m≥6 D.m≥8〖答案〗D〖解析〗不等式可化为，又，，所以，令，则，因为，，所以，当且仅当时等号成立，又已知在上恒成立，所以因为，当且仅当时等号成立，所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，所以m的取值范围是，故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9.已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（）A.-1 B.2 C. D.0〖答案〗C〖解析〗或，当时，，符合题意.当时，，不符合题意.当时，要使集合有且仅有一个元素，则需，解得或（舍去），综上所述，的可能取值为或，C选项符合.故选：C.10.下列命题中，真命题是（）A.若、且，则、至少有一个大于B.，C.“”是“”的必要条件D.“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件〖答案〗AD〖解析〗假设都不大于，即，则，因此不成立，所以假设不成立，故A正确；因为时，，故B错误；因为，但是，则不一定能推出，且，但是，所以不一定能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于方程有一正一负根，所以“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，故D正确；故选：AD.11.关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（）A.不等式的解集可以为B.不等式的解集可以为C.不等式解集可以为D.不等式的解集可以为〖答案〗BD〖解析〗选项A：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故选项A错误；选项B：当，时，不等式恒成立，则解集是，故选项B正确；选项C：当时，不等式，则解集不可能为，故选项C错误；选项D：假设结论成立，则，解得，符合题意，故选项D正确；故选：BD.12.已知，下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由，利用基本不等式，可得，解得，又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故A正确；对于B，由，利用基本不等式，由得，则（当且仅当时，等号成立），解得，即，故B错误；对于C，，又，即，由B选项知，所以，故C正确；对于D，由配方得，则，，可解得，又因题设中，所以，故D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”的否定是___________.〖答案〗，〖解析〗全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“，”是全称量词的命题，所以命题“，”的否定是，.故〖答案〗为：，.14.若，则的取值范围为________．〖答案〗〖解析〗由题意，设，则，解得，因为，可得所以，即的取值范围是.故〖答案〗为：.15.设集合，，把的所有元素的乘积称为的“容积”（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的“容积”，规定空集的“容积”为0）.若的“容积”是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，则的所有偶子集的“容积”之和为___________.〖答案〗16〖解析〗由题意，可能情况有，，，，，，，，则8个集合的“容积”分别为：，其中偶数有，故偶子集有，，，，，则的所有偶子集的“容积”之和为.故〖答案〗为：.16.若对任意，恒成立，则的最大值为_________．〖答案〗〖解析〗令，则，故，对任意，，则恒成立，∴∴，此时，∴，当时取等号，此时成立，∴的最大值为．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设集合，；（1）用列举法表示集合；（2）若是的充分条件，求实数的值.解：（1）即或，；（2）若是的充分条件，则，，解得或，当时，，满足，当时，，同样满足，所以或.18.已知.（1）若不等式的解集为，且，求的值；（2）已知实数，求关于的不等式的解集.解：（1）若不等式的解集为，且，∴，即，此时的解集为，满足题意；所以.（2）当时，不等式，可化为，若，不等式为，此时不等式的解集为；若，则，解得，即不等式的解集为；当，则，解得，即不等式的解集为，综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.19.已知全集.集合，集合；集合.（1）求及；（2）若，求a的取值范围.解：（1）由可得，故，化简集合可得，故，或，则；（2）由（1）知，因为，故当，，解得；当时，，解得，综上所述，20.甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．设甲每次购买这种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数为n．（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元（，，且），甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为．通过比较，的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算．解：（1）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，所以甲两次购买这种物品平均价格为：，乙两次购买这种物品平均价格为：；（2）甲两次购物时购物量均为，则两次购物总花费为，购物总量为，平均价格为．设乙两次购物时用去的钱数均为，则两次购物总花费，购物总量为，平均价格为，，，，故：第二种购物方式比较划算．21.已知关于x不等式的解集为M．（1）当M为空集时，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求的最小值；（3）当M不为空集，且时，求实数m的取值范围．解：（1）因为为空集，所以.所以的取值范围为；（2）由（1）可知，则，所以，当且仅当等号成立，所以的最小值为4.（3）设函数，当不为空集时，由，得.所以实数的取值范围.22.问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数，满足，求的最小值；（2）若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由；（3）若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值.解：（1），，，则，所以，，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值是.（2），又，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当，即同号时等号成立.此时，满足；（3）令，，构造，所以，即，因此，，所以，取等号时，即，结合，解得，，即，.所以时，取得最小值.江苏省无锡市南菁高级中学2023-2024学年高一上学期9月阶段性检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，B＝{1，2，3}，则A∪B＝（）A.{3} B.{0，1，2，3} C.{1，2，﹣3} D.{1，2，3}〖答案〗B〖解析〗，B＝{1，2，3}，.故选：B.2.若集合M＝{x|x≤3}，a＝2，则下列结论正确的是（）A.{a}⊆M B.a∉M C.a⊆M D.{a}∈M〖答案〗A〖解析〗{2}⊆{x|x≤3}，A正确，D错误；2∈{x|x≤3}，BC错误；故选：A.3.若则是的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为等价于，∴“a>2”是“a<2或a>2”的充分不必要条件．故选A.4.已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立,故选C.5.若存在x使得有正值，则m的取值范围是（）A.或 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗是开口向下的抛物线，若存在使，则，解得：或.故选：A.6.如图中阴影部分所表示的集合是（）A. B.（A∪B）∪（B∪C）C.（A∪C）∩（∁UB） D.〖答案〗A〖解析〗根据韦恩图的意义，阴影部分表示的集合为：集合与在集合中的补集的交集.故可表示为：.故选：A.7.关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式的解集是，即对于，恒成立，即，当时，，当时，，因为，所以，综上所述.故选：A.8.已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（）A.m≥2 B.m≥4 C.m≥6 D.m≥8〖答案〗D〖解析〗不等式可化为，又，，所以，令，则，因为，，所以，当且仅当时等号成立，又已知在上恒成立，所以因为，当且仅当时等号成立，所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，所以m的取值范围是，故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9.已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（）A.-1 B.2 C. D.0〖答案〗C〖解析〗或，当时，，符合题意.当时，，不符合题意.当时，要使集合有且仅有一个元素，则需，解得或（舍去），综上所述，的可能取值为或，C选项符合.故选：C.10.下列命题中，真命题是（）A.若、且，则、至少有一个大于B.，C.“”是“”的必要条件D.“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件〖答案〗AD〖解析〗假设都不大于，即，则，因此不成立，所以假设不成立，故A正确；因为时，，故B错误；因为，但是，则不一定能推出，且，但是，所以不一定能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于方程有一正一负根，所以“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，故D正确；故选：AD.11.关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（）A.不等式的解集可以为B.不等式的解集可以为C.不等式解集可以为D.不等式的解集可以为〖答案〗BD〖解析〗选项A：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故选项A错误；选项B：当，时，不等式恒成立，则解集是，故选项B正确；选项C：当时，不等式，则解集不可能为，故选项C错误；选项D：假设结论成立，则，解得，符合题意，故选项D正确；故选：BD.12.已知，下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由，利用基本不等式，可得，解得，又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故A正确；对于B，由，利用基本不等式，由得，则（当且仅当时，等号成立），解得，即，故B错误；对于C，，又，即，由B选项知，所以，故C正确；对于D，由配方得，则，，可解得，又因题设中，所以，故D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”的否定是___________.〖答案〗，〖解析〗全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“，”是全称量词的命题，所以命题“，”的否定是，.故〖答案〗为：，.14.若，则的取值范围为________．〖答案〗〖解析〗由题意，设，则，解得，因为，可得所以，即的取值范围是.故〖答案〗为：.15.设集合，，把的所有元素的乘积称为的“容积”（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的“容积”，规定空集的“容积”为0）.若的“容积”是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，则的所有偶子集的“容积”之和为___________.〖答案〗16〖解析〗由题意，可能情况有，，，，，，，，则8个集合的“容积”分别为：，其中偶数有，故偶子集有，，，，，则的所有偶子集的“容积”之和为.故〖答案〗为：.16.若对任意，恒成立，则的最大值为_________．〖答案〗〖解析〗令，则，故，对任意，，则恒成立，∴∴，此时，∴，当时取等号，此时成立，∴的最大值为．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设集合，；（1）用列举法表示集合；（2）若是的充分条件，求实数的值.解：（1）即或，；（2）若是的充分条件，则，，解得或，当时，，满足，当时，，同样满足，所以或.18.已知.（1）若不等式的解集为，且，求的值；（2）已知实数，求关于的不等式的解集.解：（1）若不等式的解集为，且，∴，即，此时的解集为，满足题意；所以.（2）当时，不等式，可化为，若，不等式为，此时不等式的解集为；若，则，解得，即不等式的解集为；当，则，解得，即不等式的解集为，综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.19.已知全集.集合，集合；集合.（1）求及；（2）若，求a的取值范围.解：（1）由可得，故，化简集合可得，故，或，则；（2）由（1）知，因为，故当，，解得；当时，，解得，综上所述，20.甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．设甲每次购买这种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数为n．（1）若两次购买