2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二上学期10月素质检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二上学期10月素质检测数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.5 B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗由复数，则复数的虚部为.故选：B.2.若，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，，，，故选：B.3.中，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理，得，因为BC>AC，所以．故选：D4.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设直线的倾斜角为，，则，.故选：D.5.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是（）A.lα，mβ，且l⊥mB.lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥nC.mα，nβ，m//n，且l⊥mD.lα，l//m，且m⊥β〖答案〗D〖解析〗对A．lα，mβ，且l⊥m，如下图，α、β不垂直；对B．lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥n，如下图，α、β不垂直；对C．mα，nβ，m//n，且l⊥m，直线l没有确定，则α、β的关系也不能确定；对D．lα，l//m，且m⊥β，则必有l⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β.6.在平面直角坐标系内有两个点，，若在轴上存在点，使，则点的坐标是（）A. B. C.D.或〖答案〗D〖解析〗设，则，，则则，解得：或点坐标为：或故选：D.7.如图，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，连接、、、，因为、为、的中点，易知且，所以四边形为平行四边形，所以，所以或其补角为异面直线与所成的角，在中，，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.8.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗半径为的半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为，底面圆周长为，所以底面圆的半径为，圆锥的高为,所以圆锥的体积为.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为，事件为“抽取的两个小球标号之和大于4”，事件为“抽取的两个小球标号之积小于5”，则下列结论正确的是（）A.与是互斥事件 B.与不是对立事件C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由题意知，事件中包含的基本事件有：，，，共个基本事件；事件中包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件；包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件，当甲罐抽到标号为的小球，乙罐中抽到标号为的小球时，与同时发生，与不是互斥事件，与也不是对立事件，故A错，B正确；根据事件和事件所包含的基本事件及样本空间包含的基本事件，可知，故C正确；，故D正确.故选：BCD.10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系结论中，正确的是（）A.两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B.两个不同的平面，的法向量分别是，，则C.直线的方向向量，平面的法向量是，则D.直线的方向向量，平面的法向量是，则〖答案〗AB〖解析〗A项，因为，，即，且直线，不重合，所以，故A项正确；B项，因为，，即，所以，所以，故B项正确；C项，因为，，即，所以，所以，故C项错误；D项，因为，，即，所以，所以，故D项错误.故选：AB.11.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（）A.2x-y=0 B.x+y-3=0 C.x-y+1=0 D.x+y-1=0〖答案〗AB〖解析〗因为横纵截距相等，所以直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，令，得到，令，得到，所以，解得或2，所以直线方程为或.故选：AB.12.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（）A.当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变B.当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，]C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为D.若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是〖答案〗ABC〖解析〗A选项，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥P－的体积不变，A选项正确；B选项，与所成角即与所成角，当P在端点A，C时，所成角最小，为，当P在AC中点时，所成角最大，为，故B选项正确；C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线AB1，AD1，以及以A1为圆心2为半径的圆弧如图，故P的轨迹长度为，C正确；D选项，FP所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为，D选项错误.故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.过点且与直线垂直的直线方程为_____.〖答案〗〖解析〗直线斜率为，故与之垂直的直线斜率为，故过点且与直线垂直的直线方程为，即.故〖答案〗为：14.在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．〖答案〗〖解析〗如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，故，则，所以所求体积为.故〖答案〗为：15.如图，已知四棱锥的各棱长均为，则________．〖答案〗2〖解析〗因为四棱锥的各棱长均为2，则四棱锥为正四棱锥，所以底面四边形ABCD为正方形，为边长为2的正三角形，所以，且，故，因为，所以，故〖答案〗为：2.16.已知，则________．〖答案〗〖解析〗因为，而，因此，则，所以.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平行四边形中，，点E是线段的中点．（1）求直线的方程；（2）求过点A且与直线垂直的直线．解：（1）由中点坐标公式得，∴，∴直线的方程为，即．（2）设点，∵平行四边形的对角线互相平分，即BD中点和AC中点重合，∴，解得，即D(1，－2)，∴，则过点A且与直线垂直的直线斜率为：，方程为：，即．18.某班名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（1）求这次数学考试学生成绩的众数和平均数；（2）从成绩在的学生中任选人，求此人的成绩都在中的概率.解：（1），；由频率分布直方图可知：这次数学考试学生成绩的众数为；平均数为.（2）由（1）得：成绩在的人数为，记为；成绩在的人数为，记为；从上述人中，任选人，则有，，，，，，，，，，共种情况；其中人的成绩都在中的情况有：，，，共种；人的成绩都在中的概率.19.在正四棱柱中，，，E在线段上，且.（1）求证：平面DBE；（2）求直线与平面DBE所成角的正弦值.解：（1）在正四棱柱中，两两垂直，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，，于是，，即且，而平面DBE，所以平面DBE.（2）由（1）得，为平面DBE的一个法向量，因此，所以直线与平面DBE所成角的正弦值为.20.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角B；（2）若，求面积的最大值．解：（1）因为，由正弦定理得，又因为，可得，则，即，可得，因为，所以.（2）因为，且，由余弦定理知，即，可得，又由，所以，当且仅当时，等号成立，所以的面积，即的面积的最大值为.21.如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离．解：（1）取线段的中点，连接，记，连接，因为，分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，由题意可知四边形是矩形，则是的中点，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，且，所以平面平面，因为平面，所以平面；（2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，，，，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，故点到平面的距离．22.如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．（1）求二面角的大小；（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．解：（1）由题意得平面ABCD，且，以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示所以，所以，设平面PAB的法向量，则，即，令，可得，所以，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，，平面PAC，所以平面，所以即为平面法向量，所以，又，由图象可得二面角为锐二面角，所以二面角的大小为（2）假设线段AD上存在一点Q，满足题意，设，因为，所以，解得，所以，则，因为平面PAB的法向量，设得PQ与平面APB所成角为所以，解得或（舍）所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点.湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二上学期10月素质检测数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.5 B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗由复数，则复数的虚部为.故选：B.2.若，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，，，，故选：B.3.中，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理，得，因为BC>AC，所以．故选：D4.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设直线的倾斜角为，，则，.故选：D.5.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是（）A.lα，mβ，且l⊥mB.lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥nC.mα，nβ，m//n，且l⊥mD.lα，l//m，且m⊥β〖答案〗D〖解析〗对A．lα，mβ，且l⊥m，如下图，α、β不垂直；对B．lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥n，如下图，α、β不垂直；对C．mα，nβ，m//n，且l⊥m，直线l没有确定，则α、β的关系也不能确定；对D．lα，l//m，且m⊥β，则必有l⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β.6.在平面直角坐标系内有两个点，，若在轴上存在点，使，则点的坐标是（）A. B. C.D.或〖答案〗D〖解析〗设，则，，则则，解得：或点坐标为：或故选：D.7.如图，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，连接、、、，因为、为、的中点，易知且，所以四边形为平行四边形，所以，所以或其补角为异面直线与所成的角，在中，，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.8.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗半径为的半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为，底面圆周长为，所以底面圆的半径为，圆锥的高为,所以圆锥的体积为.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为，事件为“抽取的两个小球标号之和大于4”，事件为“抽取的两个小球标号之积小于5”，则下列结论正确的是（）A.与是互斥事件 B.与不是对立事件C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由题意知，事件中包含的基本事件有：，，，共个基本事件；事件中包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件；包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件，当甲罐抽到标号为的小球，乙罐中抽到标号为的小球时，与同时发生，与不是互斥事件，与也不是对立事件，故A错，B正确；根据事件和事件所包含的基本事件及样本空间包含的基本事件，可知，故C正确；，故D正确.故选：BCD.10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系结论中，正确的是（）A.两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B.两个不同的平面，的法向量分别是，，则C.直线的方向向量，平面的法向量是，则D.直线的方向向量，平面的法向量是，则〖答案〗AB〖解析〗A项，因为，，即，且直线，不重合，所以，故A项正确；B项，因为，，即，所以，所以，故B项正确；C项，因为，，即，所以，所以，故C项错误；D项，因为，，即，所以，所以，故D项错误.故选：AB.11.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（）A.2x-y=0 B.x+y-3=0 C.x-y+1=0 D.x+y-1=0〖答案〗AB〖解析〗因为横纵截距相等，所以直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，令，得到，令，得到，所以，解得或2，所以直线方程为或.故选：AB.12.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（）A.当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变B.当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，]C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为D.若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是〖答案〗ABC〖解析〗A选项，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥P－的体积不变，A选项正确；B选项，与所成角即与所成角，当P在端点A，C时，所成角最小，为，当P在AC中点时，所成角最大，为，故B选项正确；C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线AB1，AD1，以及以A1为圆心2为半径的圆弧如图，故P的轨迹长度为，C正确；D选项，FP所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为，D选项错误.故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.过点且与直线垂直的直线方程为_____.〖答案〗〖解析〗直线斜率为，故与之垂直的直线斜率为，故过点且与直线垂直的直线方程为，即.故〖答案〗为：14.在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．〖答案〗〖解析〗如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，故，则，所以所求体积为.故〖答案〗为：15.如图，已知四棱锥的各棱长均为，则________．〖答案〗2〖解析〗因为四棱锥的各棱长均为2，则四棱锥为正四棱锥，所以底面四边形ABCD为正方形，为边长为2的正三角形，所以，且，故，因为，所以，故〖答案〗为：2.16.已知，则________．〖答案〗〖解析〗因为，而，因此，则，所以.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平行四边形中，，点E是线段的中点．（1）求直线的方程；（2）求过点A且与直线垂直的直线．解：（1）由中点坐标公式得，∴，∴直线的方程为，即．（2）设点，∵平行四边形的对角线互相平分，即BD中点和AC中点重合，∴，解得，即D(1，－2)，∴，则过点A且与直线垂直的直线斜率为：，方程为：，即．18.某班名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（1）求这次数学考试学生成绩的众数和平均数；（2）从成绩在的学生中任选人，求此人的成绩都在中的概率.解：（1），；由频率分布直方图可知：这次数学考试学生成绩的众数为；平均数为.（2）由（1）得：成绩在的人数为，记为；成绩在的人数为，记为；从上述人中，任选人，则有，，，，，，，，，，共种情况；其中人的成绩都在中的情况有：，，，共种；人的成绩都在中的概率.19.在正四棱柱中，，，E在线段上，且.（1）求证：平面DBE；（2）求直线与平面DBE所成角的正弦值.解：（1）在正四棱柱中，两两垂直，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，，于是，，即且，而平面DBE，所以平面DBE.（2）由（1）得，为平面DBE的一个法向量，因此，所以直线与平面DBE所成角