湖北省咸宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

咸宁市2023—2024学年度下学期高中期末考试高二数学试卷本试卷共6页，时长120分钟，满分150分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，若，则（）A．B．C．2D．2．已知随机变量X服从正态分布,则（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.73．已知向量满足．若,则实数（）A．B．C．3D．4．已知函数,则不等式的解集为（）A．B．C．D．5．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2，3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,则该组数据的的上四分位数为（）A．5B．5.5C．14D．14.56．在平面直角坐标系中，已知向量与关于x轴对称，向量若满足的点A的轨迹为E,则（）A．E是一条垂直于x轴的直线B．E是一个半径为1的圆C．E是两条平行直线D．E是椭圆7．由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为,即,若,则（）A．34B．33C．32D．308．已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的直线与双曲线E的右支交于A,B两点，若,且双曲线E的离心率为，则（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知A,B为随机事件，,则下列结论正确的有（）A．若A,B为互斥事件，则B．若,则C．若A,B为互斥事件，则D．若A,B相互独立，则10．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种数值解法——牛顿法，用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为;用代替重复上面的过程得到;一直下去，得到数列,叫作牛顿数列．若函数且,数列的前n项和为，则下列说法正确的是（）A．B．数列是递减数列C．数列是等比数列D．11．把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中椭圆长轴,短轴为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为线段上的动点，E为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合），则下列选项正确的是（）A．当平面时，P为的中点B．三棱锥外接球的表面积为C．若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且与下底面所成的角分别为,则的最大值为D．三棱锥体积的最大值为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为__________．13．已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为__________．14．2024年奥运会将于7月26日~8月11日在法国巴黎举行，而承办2024巴黎奥运会足球项目的是著名的巴黎王子公园球场（如图），足球场的B底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P,使得最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处时，根据场上形势判断，有两条进攻线路可供选择，若选择线路,则甲带球__________码时，到达最佳射门位置；若选择线路,则甲带球__________码时，到达最佳射门位置．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，角A,B,C所对的边为,角A的平分线交边于点D,且．（1）求A的值；（2）若，求的面积．16．（本小题满分15分）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，．（1）证明：平面;（2）若平面,求二面角的正弦值．17．（本小题满分15分）三月“与辉同行”携手湖北文旅，云游湖北省博物馆、赏东湖樱花园、夜上黄鹤楼……一路走来，讲述关于湖北的历史人文、诗词歌赋，为广大网友带来一场荆楚文化的饕餮盛宴．湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相继迎来了旅游热潮．咸宁的大幕东源花谷，向阳湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客纷至沓来，现对3月中下旬至4月上旬的大幕东源花谷赏花节会部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览大幕东源花谷，另外25%的游客计划既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会．每位游客若只游览大幕东源花谷，则得到1份文旅纪念品；若既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，则获得2份文旅纪念品．假设每位来大幕东源花谷游览的游客与是否参加“向阳花田”音乐会是相互独立的，用频率估计概率．（1）从大幕东源花谷的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X,求X的分布列及数学期望；（2）记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为,求的前n项和．18．（本小题满分17分）已知为平面上的一个动点．设直线的斜率分别为，且满足．记P的轨迹为曲线．（1）求的轨迹方程；（2）直线分别交动直线于点C、D,过点C作的垂线交x轴于点是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且,那么在区间内至少存在一点m,使得．（1）运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在,使得；（2）已知函数,若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数b的取值范围；（3）证明：当时，有．

咸宁市2023—2024学年度下学期高中期末考试高二数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CABADBBD8．D【解析】因为双曲线E的离心率为，所以,因为,所以,由双曲线的定义可得,所以,在中，由余弦定理得，在中，,设,则，由得,解得,所以，所以．故选D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号91011答案ABDACACD10．AC【解析】，所以在点处的切线方程，令,得，故A正确．，故，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，所以,故D错误．故选AC．11．ACD【解析】方法1：对于A:由题设，长轴长,短轴长，则,得分别是中点，而柱体中为矩形，连接,由,∴四边形为平行四边形，,当平面时，平面,平面平面,则,有,中，是中点，则P为的中点，A选项正确；对于B:,则中，，外接圆半径为,,则平面,三棱锥外接球的半径为,所以外接球的表面积为，B选项错误；对于C:点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且与下底面所成的角分别为,令,则,又,则，，由椭圆性质知，则当或时，的最大值为，C选项正确；对于D:由,要使三棱锥体积最大，只需的面积和M,N到平面距离之和都最大，,令,且，则,，当时，有最大值,在下底面内以O为原点，构建如上图的直角坐标系，且,则椭圆方程为，设,联立椭圆得，，令，由对勾函教性质可知在上递增，，综上，三棱锥体积的最大值为,D选项正确．故选ACD．方法2：对于A:连接,因为平面平面,平面平面,所以,因为,所以,因为为中点，所以P为中点，故A正确；对于B:设球心为Q,则,所以,所以,故B错误；对于C:，所以，故C正确；对于D,设，则，所以，设,所以（时），所以，当时取等号，故D正确，故选ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1013．【解析】方法1：法一：换元法令．方法2：目标函数+伸缩变换令．14．【解析】方法1：米勒圆选择线路,以为弦的圆与相切于,连最大．所以甲带球至时，到达最佳射门位置．由切割线定理，得,即,所以甲带球码时，到达最佳射门位置．选择线路,以为弦的圆与相切于,连最大．所以甲带球至时，到达最佳射门位置，由切割线定理，得,即，所以甲带球码时，到达最佳射门位置．方法2：代数方法若选择线路，设，其中,则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，此时,所以，若选择线路,则甲带球码时，到达最佳射门位置；若选择线路,以线段的中点N为坐标原点，的方向分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则,直线的方程为，设点，其中，所以，，令，则，所以，，当且仅当时，即当，即当时，等号成立，当且仅当时，等号成立，此时，,所以，若选择线路,则甲带球码时，到达最佳射门位置．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）因为,由正弦定理可得,3分，所以,故，5分又．6分（2）由题意可知,7分即,化简得,9分在中，由余弦定理推论得，10分从而，11分解得或（舍）．12分所以．13分16．【解析】方法一：（1）如图，取中点中点N,连接．因为,所以,所以四边形是平行四边形，所以．1分又,所以,所以四边形是平行四边形．2分因为,所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面平面,所以平面．3分同理可得平面．5分又平面平面,所以平面平面．6分又平面,所以平面．7分（2）如图，以A为原点，以的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则,所以．8分设是平面的法向量，则，所以，所以．9分取,则,所以是平面的一个法向量．10分设是平面的法向量，则，所以，所以．11分取，则,所以是平面的一个法向量．12分设二面角的大小为,则，13分．14分所以，即二面角的正弦值为．15分方法二：（1）证明：如图，取中，点M,连接．因为,所以,所以四边形是平行四边形，所以．2分又,所以,所以四边形是平行四边形．3分因为,所以,4分所以四边形是平行四边形，所以．5分又平面平面,6分所以平面,即平面．（2）如图，以A为原点，以的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则,7分所以8分所以，9分所以是平面的一个法向量．10分设是平面的法向量，则,所以，11分取,则,所以是平面的一个法向量．12分设二面角的大小为，则13分，14分所以,即二面角的正弦值为．15分17．【解析】（1）据题意，每位游客只游览大幕东源花谷的概率为，得到1份文旅纪念品；既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会的概率为，获得2份文旅纪念品，则X的可能取值为3,4,5,6，2分其中，3分，4分，5分，6分所以X的分布列为X3456P．7分（2）因为n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个，则只有1人既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，于是,10分则．12分于是，13分两式相减，得，14分所以．15分18．【解析】（1）设点,则，因为，所以，3分整理得，5分所以的方程为．6分（2）方法一：设，则，故直线的斜率存在且不为0，则直线，即，则点．8分又直线，即，则点．10分又直线的斜率为，故直线，令,得．12分又在椭圆上，则，整理得，所以，则．