高考物理专题训练：万有引力与航天（两套 附详细答案解析）

Page1高考物理专题训练：万有引力与航天（基础卷）一、(本题共13小题，每小题4分，共52分。在每小题给出的四个选项中，第1～8题只有一项符合题目要求，第9～13题有多项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．人类对天体运动的认识有着漫长艰难的过程，如日心说和地心说。下列说法不正确的是()A．地心说认为地球处于宇宙的中心静止不动，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动B．日心说认为太阳是宇宙的中心且静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动C．在天文学史上，虽然日心说最终战胜了地心说，但地心说更符合人们的直接经验D．哥白尼经过长期观测和研究，提出了地心说，开普勒在总结前人大量观测资料的基础上，提出了日心说【答案】D【解析】托勒密提出的是地心说，哥白尼提出的是日心说，选项D不正确。2．德国天文学家开普勒用了20年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星研究资料，提出了开普勒行星运动定律。下列说法中正确的是()A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上B．对任意一个行星来说，在其轨道上运动时，离太阳越近的，其运动速度越慢C．水星绕太阳运动的半长轴比金星的小，所以水星绕太阳运动的周期长D．所有绕不同中心天体运行的天体的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等【答案】A【解析】根据开普勒第一定律得知，选项A正确；开普勒第二定律得知，选项B错误；据开普勒第三定律可知选项C错误；中心天体不同，绕中心天体运动的天体的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值是不相同的，选项D错误。3．随着科学技术的不断发展，宇宙中飞行的卫星也越来越多。技术更先进、性能更优越的卫星不断地替代落后的卫星。一颗报废的卫星由于失去了动力，在空气阻力作用下，其运行高度逐渐降低，在还没有进入大气层烧毁之前，其()A．周期逐渐增大B．动能逐渐增大C．速度逐渐减小D．加速度逐渐减小【答案】B【解析】由＝mr可知，随着卫星高度的逐渐降低，其轨道半径越来越小，周期逐渐减小，选项A错误；由＝m得v＝，线速度逐渐增大，选项B正确、C错误；因为加速度a＝，选项D错误。4．木星是绕太阳公转的行星之一，而木星的周围又有卫星绕其公转。如果已知下列物理量，能求得木星质量的是()A．卫星的公转周期和木星的轨道半径B．木星的公转周期和卫星的轨道半径C．卫星的公转周期和轨道半径D．木星的公转周期和轨道半径【答案】C【解析】卫星受到木星的万有引力作用绕木星做匀速圆周运动，有＝mr成立，式中m为卫星的质量、M为木星的质量、r为卫星的轨道半径、T为卫星的公转周期，解得M＝，选项C正确，其他选项错误。5．通过实验精确测得两个半径都为R的相同实心小铜球紧靠在一起时，它们之间的万有引力大小为F。若把两个半径都是2R的实心大铜球紧靠在一起，则它们之间的万有引力的大小为()A．16FB．8FC．4FD．2F【答案】A【解析】小铜球之间的万有引力F＝，若半径变为2R，则大铜球的体积是小铜球体积的8倍，大铜球的质量也是小铜球质量的8倍，因此万有引力应为16倍，选项A正确。6．2019年1月3日，“嫦娥四号”成功软着陆在月球背面，并通过“鹊桥”中继星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱。飞船在月球表面软着陆之前，在靠近月球表面的轨道上运行，若要估算月球的平均密度，唯一要测量的物理量是()A．飞船的轨道半径B．月球的半径C．飞船的飞行周期D．飞船的线速度【答案】C【解析】飞船在靠近月球表面的轨道上运行时，其轨道半径近似等于月球半径，飞船受到月球的万有引力充当其做匀速圆周运动的向心力，则＝mR，又因为M＝ρV＝，解得平均密度ρ＝，选项C正确。7．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定A．a金＞a地＞a火B．a火＞a地＞a金C．v地＞v火＞v金D．v火＞v地＞v金【答案】A【解析】由万有引力提供向心力Geq\f(Mm,R2)＝ma可知轨道半径越小，向心加速度越大，故知A项正确，B错误；由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,r))可知轨道半径越小，运行速率越大，故C、D都错误。8．宇航员乘坐飞船到达某个天体，发现在该天体上以某一初速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度是在地球上以相同初速度竖直上抛达到的最大高度的k倍，已知该天体的半径是地球半径的m倍，若不计空气阻力，则该天体的质量是地球质量的()A．km2B．C．D．【答案】B【解析】由公式G＝mg和H＝得M＝，选项B正确。9．关于地球同步卫星，下列说法中正确的是()A．同步卫星的周期与地球的公转周期相等B．同步卫星的周期与地球的自转周期相等C．同步卫星的高度是唯一的D．同步卫星可以定点在地球上空的任意位置【答案】BC【解析】同步卫星指的是与地球自转同步，即同步卫星的周期也是24小时，选项A错误、B正确；同步卫星是由地球对其的万有引力提供向心力，即＝m(R+h)，解得h＝－R，选项C正确；同步卫星只能定点在赤道上空，选项D错误。10．环绕地球做匀速圆周运动的卫星，离地越高，则卫星的()A．运行速度越大 B．周期越大C．向心加速度越大D．发射速度越大【答案】BD【解析】由＝m得运行速度v＝，选项A错误；＝m(R+h)得运行周期T＝，选项B正确；a＝，选项C错误；卫星越高，需要的发射速度越大，选项D正确。11．在远离其他天体的宇宙空间里，存在着两个天体，它们始终绕着其连线上的某点做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()A．这两个天体的周期一定相等B．这两个天体的运行速度大小一定相等C．这两个天体的向心加速度大小一定相等D．这两个天体的质量与运行速度的乘积一定相等【答案】AD【解析】在远离其他天体的宇宙空间里的两个天体，它们做匀速圆周运动的向心力来源于它们之间的万有引力，这两个天体的周期一定相等，选项A正确；因为它们的质量不一定相等，其轨道半径也不一定相等，运行速度不一定相等，向心加速度大小不一定相等，选项B、C错误；＝m1＝m2，又因为，m1v1＝m2v2，选项D正确。12．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若绕地球做匀速圆周运动的空间站离地面的高度也等于R，则()A．空间站的运行速度为B．空间站的加速度为C．空间站的周期为D．空间站里的人和物都处于完全失重状态，没有重力【答案】AB【解析】＝mg，＝m，解得v＝，选项A正确；空间站的加速度a＝，选项B正确；＝m(R+R)，解得T＝4π，选项C错误；空间站里的人和物所受到的万有引力都用来充当其做匀速圆周运动所需要的向心力，处于完全失重状态，但重力并没有消失，选项D错误。13．在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则()A．M与N的密度相等B．Q的质量是P的3倍C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍【答案】AC【解析】由a－x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有mg－kx＝ma，变形式为，该图象的斜率为，纵轴截距为重力加速度g。根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即，即该星球的质量。又因为，联立得。故两星球的密度之比为，故A正确；当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，mg＝kx，即；结合a－x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：，故物体P和物体Q的质量之比为，故B错误；物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（a＝0）时，它们的动能最大；根据v2＝2ax，结合a－x图象面积的物理意义可知：物体P的最大速度满足，物体Q的最大速度满足，则两物体的最大动能之比，C正确；物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a＝0）可知，物体P和Q振动的振幅A分别为x0和2x0，即物体P所在弹簧最大压缩量为2x0，物体Q所在弹簧最大压缩量为4x0，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误。二、(本题共4小题，共48分。把答案填在题中的横线上或按题目要求作答。解答题应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)14．(10分)2019年1月3日，“嫦娥四号”成功软着陆在月球背面。知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，在地面上的发射速度为第一宇宙速度的倍时，物体将脱离地球的引力。(1)求月球的第一宇宙速度。(2)类比法是科学研究的重要方法之一，如果把月球与地球相类比的话，则“嫦娥四号”在月球表面的起飞速度至少多大才能离开月球返回地球？【解析】(1)卫星在天体表面附近运行的速度称为第一宇宙速度，＝m(3分)解得第一宇宙速度v＝(2分)即月球的第一宇宙速度v月＝v＝1.76km/s。(2分)(2)类比地球，“嫦娥四号”要返回地球，在月面起飞速度至少为：v2＝×1.76km/s＝2.49km/s。(3分)15．(10分)北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星定位与通信系统(BDS)，是继美全球定位系统(GPS)和俄GLONASS之后的第三个成熟的卫星导航系统。导航系统中的地球同步卫星可用来传送电话信号。地球半径约为6.4×106m，无线电信号的传播速度为3.0×108m/s，地球表面附近的重力加速度为10m/s2。(＝4.26，＝2.1，结果保留两位有效数字)(1)求同步卫星距地的高度。(2)如果你与同学在地面上用同步卫星电话通话，则从你发出信号至收到对方发出的信号所需的最短时间约为多少？【解析】(1)万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，则：＝m(R+h)(2分)＝mg(2分)解得同步卫星距地面的高度h＝3.6×107m。(2分)(2)发出信号至接收到对方的信号所需的最短时间t＝(2分)解得t＝0.48s。(2分)16．(13分)A、B是地球的两颗卫星，其轨道半径分别为RA和RB，某时刻B卫星正好位于A卫星的正上方，如图所示。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。(1)求这两颗卫星的周期。(2)至少经过多长时间，B卫星再次运动到A卫星的正上方?【解析】(1)万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有＝mARA(2分)＝mg(2分)可得A卫星的周期TA＝(2分)同理可得，B卫星的周期TB＝。(2分)(2)要B卫星再次运动到A卫星的正上方，则A卫星至少要比B卫星多转过2π的角度，设时间为t，则()t＝2π(3分)解得：t＝。(2分)17．(15分)在不久的将来，我国科学家乘坐“嫦娥N号”飞上月球(可认为是均匀球体)，为了研究月球，科学家在月球的“赤道”上以大小为v0的初速度竖直上抛一物体，经过时间t1，物体回到抛出点；在月球的“两极”处仍以大小为v0的初速度竖直上抛同一物体，经过时间t2，物体回到抛出点。已知月球的半径为R，求：(1)月球的质量。(2)月球的自转周期。【解析】(1)科学家在“两极”处竖直上抛物体时，由匀变速直线运动的公式得：－v0＝v－g2t2(2分)解得月球“两极”处的重力加速度g2＝(2分)同理可得月球“赤道”处的重力加速度g1＝(2分)在“两极”没有月球自转的影响下，万有引力等于重力，＝mg2(2分)解得月球的质量M＝。(2分)(2)由于月球自转的影响，在“赤道”上，有－mR＝mg1(3分)解得：T＝2π。(2分)高考物理专题训练：万有引力与航天（提高卷）一、(本题共13小题，每小题4分，共52分。在每小题给出的四个选项中，第1～8题只有一项符合题目要求，第9～13题有多项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．2018年10月2日，美法加三名科学家获得了诺贝尔物理学奖，以表彰他们在激光物理领域的突破性发明。许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程，下列说法正确的是()A．牛顿首次在实验室里测出了引力常量并发现了万有引力定律B．牛顿在发现万有定律的过程中应用了牛顿第三定律C．开普勒通过研究、观测和记录发现行星绕太阳做匀速圆周运动D．开普勒发现了行星运动定律并认为“在高山上水平抛出一物体，只要速度足够大就不会再落在地球上”【答案】B【解析】牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许在实验室里测出了引力常量，A项错误；在发现万有引力定律的过程中，牛顿应用了牛顿第二定律、第三定律以及开普勒定律，B项正确；开普勒通过研究、观测和记录发现了行星运动定律，根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳的运动都是椭圆，C项错误；“在高山上水平抛出一物体，只要速度足够大就不会再落在地球上”是牛顿的观点，D项错误。2．2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描F随h变化关系的图象是()【答案】D【解析】根据万有引力定律可得：F＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，h越大，F越大，故选项D符合题意。3．对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)()A．eq\f(4π2a,Gb)B．eq\f(4π2b,Ga)C．eq\f(Ga,4π2b)D．eq\f(Gb,4π2a)【答案】A【解析】由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)·r，可得eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，结合题图图线可得，eq\f(a,b)＝eq\f(GM,4π2)，故M＝eq\f(4π2a,Gb)。4．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭发动机的航天飞机A在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接．已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R。下列判断正确的是()A．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须加速B．图中的航天飞机正在减速飞向B处C．月球的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)D．月球的第一宇宙速度v＝eq\f(2πr,T)【答案】C【解析】航天飞机到达B处时速度比较大，如果不减速，此时万有引力不足以提供向心力，这时航天飞机将做离心运动，故A错误；因为航天飞机越接近月球，受到的万有引力越大，加速度越大，所以航天飞机正在加速飞向B处，B错误；由万有引力提供空间站做圆周运动的向心力，则Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，整理得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，故C正确；速度v＝eq\f(2πr,T)是空间站在轨道r上的线速度，而不是围绕月球表面运动的第一宇宙速度，故D错误。5．2019年4月10日，包括中国在内，全球多地天文学家同步公布人类史上首张黑洞照片，照片中是室女座巨椭圆星系M87的黑洞照片，这是黑洞存在最直接的视觉证据。黑洞的发现是由全球200多位科学家，历时十年、从全球四大洲8个观测点共同合作完成的成果，这也表明当今世界合作才会共贏，单边主义只会越走越窄。黑洞是一个非常致密的天体，会形成强大的引力场，连光也无法逃脱。某黑洞中心天体的质量是太阳的50亿倍，太阳质量为2×1030kg，光在真空中的传播速度c＝3×108m/s，引力常量G＝6.67×10-11N∙m2/kg2，请估算该黑洞最大半径的数量级为()A．109mB．1010mC．1011mD．1012m【答案】D【解析】设“黑洞”的可能半径为R，质量为M，根据逃逸速度（第二宇宙速度）的定义，结合第一宇宙速度可知，须满足，即有m，故选项D正确。6．2018年1月31日，天空上演152年一遇的“超级月亮＋蓝月亮＋红月亮”三合一的月全食天文奇观，超级月亮的首要条件是月球距地球最近，月球绕地球运动实际是沿椭圆轨道，距离地球的距离在近地点时为36.3万千米，而位于远地点时距离为40.6万千米，运行周期为27.3天，那么以下说法正确的是()A．月球在远地点时绕行的线速度最大B．每次月球在近地点时，地球上同一位置的人都将看到月食C．有一种说法，月球的近地点离地球越来越远，如果一旦变成半径大小等于40.6万千米的圆轨道，那么月球绕地球运动的周期将变大D．月球是地球的卫星，它在远地点时的机械能大于在近地点时的机械能【答案】C【解析】月球在远地点时线速度最小，故A错误；由于地球在自转，则地球同一位置的人不一定都能看到月食，故B错误；由椭圆轨道变成圆轨道后轨道长半轴变大，根据开普勒第三定律可知周期变大，所以C正确；卫星在同一轨道上（不论是圆轨道还是椭圆轨道），机械能守恒，故D错误。7．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定()A．a金＞a地＞a火B．a火＞a地＞a金C．v地＞v火＞v金D．v火＞v地＞v金【答案】A【解析】由万有引力提供向心力Geq\f(Mm,R2)＝ma可知轨道半径越小，向心加速度越大，故知A项正确，B错误；由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,r))可知轨道半径越小，运行速率越大，故C、D都错误。8．科幻电影《流浪地球》中讲述了人类想方设法让地球脱离太阳系的故事。地球流浪途中在接近木星时被木星吸引，当地球快要撞击木星的危险时刻，点燃木星产生强大气流推开地球拯救了地球。若逃逸前，地球、木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，且航天器在地球表面的重力为G1，在木星表面的重力为G2；地球与木星均可视为球体，其半径分别为R1、R2，则下列说法正确的是()A．地球逃逸前，发射的航天器逃出太阳系的最小速度为11.2km/sB．木星与地球的第一宇宙速度之比为C．地球与木星绕太阳公转周期之比的立方等于它们轨道半长轴之比的平方D．地球与木星的质量之比为【答案】D【解析】在地球的表面发射飞出太阳系的最小发射速度，叫做第三宇宙速度v3＝16.7km/s，故A错误；根据重力提供向心力得，解得地球上的第一宇宙速度，同理可得木星上的第一宇宙速度，故木星与地球的第一宇宙速度之比，故B错误；根据开普勒第三定律得，故，即地球与木星绕太阳公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方，故C错误；根据重力与万有引力相等，，解得，同理可得木星质量，故，故D正确。9．我国计划在2020年左右，由“长征五号”运载火箭发射火星探测器，直接送入地火转移轨道，一次实现“环绕、着陆、巡视”3个工程目标。若地球质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，地球的第一宇宙速度为v，地球表面的重力加速度g，在把探测器发射到火星上的过程中，下列说法正确的是()A．探测器的发射速度大小必须介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B．单从发射速度与节省燃料方面考虑，最佳发射地是在地球的赤道上发射C．探测器进入火星的引力范围后，做贴近火星表面飞行的速度为D．探测器进入火星的引力范围后，做贴近火星表面飞行的加速度为【答案】BD【解析】由于发射的探测器要脱离地球的束缚，因此发射速度必须大于第二宇宙速度，A项错误；为节省燃料，应利用地球的自转，因此探测器必须在地球的赤道上向东发射，B项正确；由G＝m＝ma可知，v＝，a＝，因此探测器在做贴近火星表面飞行时的速度大小为v，加速度大小为g，C项错误，D项正确。10．如图所示，A为地球同步卫星，B为在地球赤道平面内运动的圆轨道卫星，A、B绕地心转动方向相同，已知B卫星轨道运行周期为2小时，图示时刻A在B正上方，则()A．B的运动速度大于A的运动速度B．B运动的周期大于A运动的周期C．B运动的加速度大于A运动的加速度D．B卫星一天内12次看到日出日落【答案】ACD【解析】由于A为地球同步卫星，周期为TA＝24h，所以B运动的周期小于A运动的周期，根据开普勒第三定律可得B运动的轨道半径小于A运动的轨道半径；根据可得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以B的运动速度大于A的运动速度；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma可得，所以B的运动加速度大于A的运动加速度；由于B卫星轨道运行周期为2小时，是地球自转周期的，B卫星一天内12次看到日出日落，故选项A、C、D正确，B错误。11．如图所示，A是地球的同步卫星，B是地球的近地卫星，C是地面上的物体，A、B、C质量相等，均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设A、B与地心连线在单位时间内扫过的面积分别为SA、SB，周期分别为TA、TB、TC，A、B、C做圆周运动的动能分别为EkA、EkB、EkC。不计A、B、C之间的相互作用力，下列关系式正确的是()A．SA＝SBB．SA＞SBC．TC＝TA＞TBD．EkA＜EkB＝EkC【答案】BC【解析】赤道上的物体C与同步卫星A转动周期相同，即TA＝TC，根据v＝，物体C的轨道半径小于同步卫星A的轨道半径，vC<vA，根据动能Ek＝mv2，A与C的质量相等，故EkC<EkA；A、B是围绕地球公转的卫星，根据G＝m＝mr，得线速度v＝，周期T＝2π，因A的轨道半径大于B的轨道半径，则有vA<vB，TA>TB，根据Ek＝mv2，A与B的质量相等，而vA<vB，故EkA<EkB人造卫星与地心连线在单位时间内所扫过的面积为，因A的轨道半径大于B的轨道半径，则有SA>SB，综上分析可得TA＝TC>TB，EkC<EkA<EkB，SA>SB，故A、D两项错误，B、C两项正确。12．脉冲星的本质是中子星，具有在地面实验室无法实现的极端物理性质，是理想的天体物理实验室，对其进行研究，有希望得到许多重大物理学问题的答案，譬如：脉冲星的自转周期极其稳定，准确的时钟信号为引力波探测、航天器导航等重大科学技术应用提供了理想工具。2017年8月我国FAST天文望远镜首次发现了两颗太空脉冲星，其中一颗星的自转周期为T(实际测量为1.83s)，该星距离地球1.6万光年，假设该星球恰好能维持自转不瓦解．地球可视为球体，其自转周期为T0，用弹簧测力计测得同一物体在地球赤道上的重力为两极处的k倍，已知引力常量为G，则下列关于该脉冲星的平均密度ρ及其与地球的平均密度ρ0之比正确的是()A．ρ＝eq\f(3π,GT2)B．ρ＝eq\f(3π,GT)C．eq\f(ρ,ρ0)＝eq\f(（1－k）Teq\o\al(2,0),T2)D．eq\f(ρ,ρ0)＝eq\f(Teq\o\al(2,0),（1－k）T2)【答案】AC【解析】星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力恰好能提供其表面物体做圆周运动所需的向心力，设该星球的质量为M，半径为R，表面一物体质量为m，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，又M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，式中ρ为该星球密度，联立解得ρ＝eq\f(3π,GT2)，选项A正确，B错误；设地球质量为M0，半径为R0，地球表面一物体质量为m′，重力为P，该物体位于地球两极时，有P＝Geq\f(M0m′,Req\o\al(2,0))，在赤道上，地球对物体的万有引力和弹簧测力计对物体的拉力的合力提供该物体做圆周运动所需的向心力，则有Geq\f(M0m′,Req\o\al(2,0))－kP＝m′R0eq\f(4π2,Teq\o\al(2,0))，联立解得M0＝eq\f(4π2Req\o\al(3,0),G（1－k）Teq\o\al(2,0))，地球平均密度ρ0＝eq\f(M0,V)＝eq\f(\f(4π2Req\o\al(3,0),G（1－k）Teq\o\al(2,0)),\f(4πReq\o\al(3,0),3))＝eq\f(3π,G（1－k）Teq\o\al(2,0))，故eq\f(ρ,ρ0)＝eq\f(（1－k）Teq\o\al(2,0),T2)，选项C正确，D错误。13．在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则()A．M与N的密度相等B．Q的质量是P的3倍C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍【答案】AC【解析】由a－x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有mg－kx＝ma，变形式为，该图象的斜率为，纵轴截距为重力加速度g。根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即，即该星球的质量。又因为，联立得。故两星球的密度之比为，故A正确；当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，mg＝kx，即；结合a－x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：，故物体P和物体Q的质量之比为，故B错误；物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（a＝0）时，它们的动能最大；根据v2＝2ax，结合a－x图象面积的物理意义可知：物体P的最大速度满足，物体Q的最大速度满足，则两物体的最大动能之比，C正确；物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a＝0）可知，物体P和Q振动的振幅A分别为x0和2x0，即物体P所在弹簧最大压缩量为2x0，物体Q所在弹簧最大压缩量为4x0，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误。二、(本题共4小题，共48分。把答案填在题中的横线上或按题目要求作答。解答题应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)14．(8分)人造地球卫星P绕地球球心作匀速圆周运动，已知P卫星质量为m，距地球球心的距离为r，地球的质量为M，引力常量为G。(1)求卫星P与地球间的万有引力；(2)现有另一地球卫星Q，Q绕地球运行的周期是卫星P绕地球运行周期的8倍，且P、Q的运行轨迹位于同一平面内，如图所示，求卫星P、Q在绕地球运行过程中，两星间相距最远时的距离多大？【解析】(1)由万有引力定律得：卫星P与地球间的万有引力为F＝Geq\f(Mm,r2)(2分)(2)根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r(2分)得(1分)卫星Q的周期是卫星P周期的8倍，则卫星Q的轨道半径是卫星P轨道半径的4倍，即rʹ＝4r(1分)当

P、Q、地球共线且P、Q位于地球两侧时最远，最远距离d＝4r＋r＝5r。(2分)15．(12分)开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T。月球的半径为R，引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求：(1)月球的密度；(2)在轨道Ⅱ上运行的时间。【解析】(1)由万有引力充当向心力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r(2分)月球的密度：ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)(2分)解得：ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(2分)(2)椭圆轨道的半长轴：a＝eq\f(R＋r