高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (53)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（53）

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.体积为史至的三棱锥4-BCD中，BC=AC=BD=AD=3,CD=2V5.AB<2五,则该三棱

3

锥外接球的表面积为（）

A.207rB.C.D.

31212

2.已知棱长为1的正方体ABCD中，下列数学命题不正

确的是（）

A.平面4cBi〃平面&GD,且两平面的距离为日

B.点P在线段AB上运动，则四面体PAiBiG的体积不变

C.M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是4481C外接圆的

圆周上任意一点，则|MN|的最小值是第

D.与所有12条棱都相切的球的体积为在兀

3

3.已知正方体ABC。-&B1GD1的棱长为1,P是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（）

①若P为棱CG中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为苧；

②若P在线段上运动，则AP+PD】的最小值为竽；

③若尸在半圆弧心上运动，当三棱锥P-4BC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2兀；

④若过点P的平面a与正方体每条棱所成角相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为

3V3

4

Di

4.在正四面体ABC。中，P,。分别是棱ASCO的中点，E,F分别是直线A8,CZ）上的动点,

例是EF的中点，则能使点M的轨迹是圆的条件是（）

A.PE+QF=2B.PEQF=2

C.PE=2QFD.PE2+QF2=2

5.二面角a-I一口中，P€l,射线P4PB分别在平面a1内，点4

在平面0内的射影恰好是点B,设二面角a-I-，PA与平面0所

成的角、PB与平面a所成的角的大小分别为6,3,0,则（）

A.9>8>(pB.<p>8>6C.8>(p>0D.8>6><p

6.己知点P,A,B,C在同一个球的球面上，P4_L平面ABC,ABLAC,PA=y[5,BC=遮,则

该球的表面积为

A.4兀B.87rC.167rD.32兀

7.如图，正方体4BCD的棱长为1,点〃在棱A8上，

且AM=号点P是平面ABC。上的动点，且动点尸到直线4必的

距离与点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是（）

A.圆

B.抛物线

C.双曲线

D.直线

8.如图，在正方体48。。一4$16。1中，E、尸分别为BC、CD的中点，/-------------7^

则异面直线AF和所成角的大小为（）./y

A.30°

'1/1

C.600*1

D.90°

二、多项选择题（本大题共4小题，共16.0分）

9.如图，在棱长为1的正方体4BCC-4出（:也中，P为线段BCi上的动点，下列说法正确的是（）

S

B

A.对任意点P,DP〃平面481D1

B.三棱锥P-&DZ）i的体积为:

C.线段分长度的最小值为当

D.存在点尸，使得。尸与平面所成角的大小为W

10.如图，在正四棱柱48C。一4当。［。］中，AB=E,尸分别是棱A8,BC的中点，异面

直线AB1与GF所成角的余弦值为，小则（）

A.m=-B.直线&E与直线GF共面

3

C.m=-D.直线&E与直线B1F异面

3

11.已知正方体ABCD—4BiGDi棱长为2,如图，M为CCi上的动点，AM1平面a.下面说法正确的

是（）

A.直线AB与平面a所成角的正弦值范围为口叵，心.

32

B.点M与点G重合时，平面a截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

C.点M为CG的中点时，若平面a经过点B,则平面a截正方体所得截面图形是等腰梯形

D.己知N为。么中点，当AM+MN的和最小时，M为CG的中点

12.如图，在边长为1的正方体4BC0-A'B'C'D'中，”为BC边的中点，下列结论正确的有（）

A.AM与。夕所成角的余弦值为回

10

B.过三点A、M、D'的正方体4BCD-4'B'C'D’的截面面积为这

4

C.四面体AC'BD的内切球的表面积为合

D.正方体ABCD—A'B'C'。中，点尸在底面AB'C'C'（所在的平面）上运动并且使4cAe'=

/.PAC,那么点P的轨迹是抛物线.

三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

13.已知体积为72的长方体力BCD-4/iGDi的底面ABC。为正方形，且BC=3Ba,点M是线段

BC的中点，点N在矩形DCGDi内运动(含边界)，且满足NANC=NCNM,则点N的轨迹的长

度为.

14.如图所示，正方体ABCD-A/iCiDi的棱长为1,E、尸分别是棱441、CQ的中点，过直线EF

的平面分别与棱BBi，DC1交于M、N两点，设BM=x,xe[0,1],给出以下五个命题：

①截面用EN尸一定是平行四边形；

②平面MENF_L平面

③四边形MENF的周长L=/(x),xe[0,1]是单调函数；

④四边形MENF的面积S=g(x),x6[0,1]是单调函数；

⑤四棱锥的一MENF的体积U=h(x),xG[0,1]是常数函数。

其中真命题的编号为.

15.(1)设a,h是平面加外两条直线，且a〃M,那么a〃匕是b〃M的条件.

(2)已知正四棱锥的底面边长为4cvn,侧面积为24cm2,则该四棱锥的体积是cm3.

(3)如图，在正四面体ABC。中，E是棱A。上靠近点。的一个三等分点，则异面直线AB和CE

所成角的余弦值为.

A

(4)以下四个命题：①设a,beR*,贝lja>b>1是log2a>log2Z)>0的充要条件；②已知命题

p、小r满足“p或q”真,"-1P或r”也真，则“或r"假;③若a6[—1,1],则使

得x2+(a-4)%+4-2a>。恒成立的x的取值范围为｛x|x>3<1｝；④将边长为a的正

方形ABC。沿对角线AC折起，使得8。=a,则三棱锥D-48C的体积为立a3.其中真命题的序

12

号为.

16.我国古代数学名著《九章算术》中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱

柱(直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱).如图，棱柱ABC-AiBiQ为一个“堑堵”,底面ABC

的三边中的最长边与最短边分别为AB,AC,且AB=5,AC=3,点P在棱上，且PC_LPG，则

当回4PG的面积取最小值时，异面直线441与PG所成的角的余弦值为.

17.正方体4BCD-&B1C1D1棱长为3,点E在边BC上，且满足BE=2EC,动点"在正方体表面

上运动，并且总保持ME_LBD]，则动点M的轨迹的周长为.

18.在空间直角坐标系中，正方体ABCD的顶点A的坐标为(3,-1,2),其中心M的坐标

为(0,1,2),则该正方体的棱长等于.

四、解答题(本大题共11小题，共132.0分)

19.如图，已知三棱锥。一ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直，且04=1,OB=OC=2,E是OC

的中点.

(1)求异面直线EB与AC所成角的余弦值；

(2)求直线EB和平面ABC的所成角的正弦值；

⑶求点E到面A8C的距离.

20.如图所示，四棱锥P-ABC。的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2g.点G,E,F,

H分别是棱PB，AB,CD,PC上共面的四点，平面GEFH1平面ABC。，BC〃平面GEFH.

(1)证明：GHUEF-,

(2)若EB=2,求四边形GEF”的面积.

21.如图，在RtUlAOB中，Z-OAB=^,斜边AB=4.Rtm40C可以通过Rt团40B以直线A。为轴旋

O

转得到，且二面角8-4。—C是直二面角.动点。在斜边AB上.

(1)求证：平面CODJ•平面AO8；

(2)当。为A8的中点时，求异面直线4。与CD所成角的正弦;

(3)求CD与平面AOB所成角最大时的正弦值.

22.如图，四棱锥P-ABCD中，P4IJKglABCD,AB//CD,AD=CD=1,^BAD=120°,PA=V3»

乙ACB=90°,M是线段P。上的一点(不包括端点).

(I)求证：BC1平面PAC；

(II)求二面角D-PC-A的正切值；

(ID)试确定点M的位置，使直线MA与平面PCQ所成角。的正弦值为雷.

23.如图，四棱锥P—4BC0的底面ABC。是边长为2的菱形，乙4BC=60。，点M是棱PC的中点,

PA_L平面ABCD.

(1)证明：PA〃平面BMD.

(2)当PA长度为多少时，二面角。-PC-B的正弦值为手?

24.如图，在直三棱柱中BC中，ABLAC,AB=AC=2,AAr=4,点。是BC的中

(1)求异面直线为B与GD所成角的余弦值;

(2)求平面ADG与4B&所成二面角的正弦值.

25.如图1,在平面四边形ABAC中，AB=2,AC=1,CD=V5.=90。，cos^BCD=

图1图2

⑴求sinO；

（2）将团BCO沿BC折起，形成如图2所示的三棱锥。一ABC,AD=2.

（回）三棱锥。-力BC中，证明：点。在平面ABC上的正投影为点4；

（助三棱锥D—4BC中，点E,F,G分别为线段AB,BC,AC的中点，设平面。EF与平面D4c

的交线为/,。为/上的点.求QE与平面QFG所成角的正弦值的取值范围.

26.如图，在半圆柱W中分别为该半圆柱的上、下底面直径，E、尸分别为半圆弧AB、CO上的

点，AD.BC、E尸均为该半圆柱的母线，AB^AD=2.

(1)证明：平面。平面CEF；

(2)设NCOF：),若二面角E—CD-尸的余弦值为，，求。的值.

27.如图，在三棱锥P-ABC中，PALAB,PA1BC,AB=BC,E为尸C的中点，点。在线段AC

上运动.

(1)当BD_LPC,试确定。的位置;

(2)若PB与45c夹角为全乙48。=拳试求二面角E-BA-P的余弦值.

28.如图，四棱锥尸-ABC。的底面为正方形，PZXL底面ABCD设平面PA。与平面PBC的交线为/.

(1)证明：/J■平面PQC；

(2)已知PO=AD=1,。为/上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

29.如图⑴所示，在RM4BC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,分别是4c,48上的点，且

DE//BC.DE=2,将A4DE沿。E折起到4A1OE的位置，使ACLCD,如图(2)所示.

(1)⑵

(1)求证：&。，平面8口)民

(2)若M是&D的中点，求CM与平面&BE所成角的大小；

(3)线段BC(不包括端点)上是否存在点P,使平面4DP与平面&BE垂直？说明理由.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查三棱锥的体积，考查球的表面积，考查锥体的外接球问题，属于难题.

求出AB的长，确定出三棱锥，建立空间直角坐标系，求出半径即可.

解：考虑极限情况，在长方体中，如图所示（AB分别为长方体棱上的中点）,

BC=AC=BD=AD=3,CD=2遮，则4CBDSACAD,

设。为CO中点，易得。。=。0=遍，OB=0A=^32-（V5）2=2-

则在Rt△04B中，AB=V22+22=2企，

而根据题干信息4B<2vL则点8在上图中的Q（不包含端点）上运动，

当运动到三棱锥A-BCO的体积为卓时，此时的三棱锥如图所示（O'B为三棱锥的高）:

由几何关系可得△4CD的面积为S-co=1\CD\\OA\=2V5,

故以-BCD=1x2V5x\B0'\=竽,解得|BO|=痘,

则在RtZ\OBO'中，B0=2,\B0'\=V3>则0。'=1,

而。4=2,则力。'=1,则8为MN中点（M,N分别为对应长方体棱上的中点），

而在△2CD中，AD=AC,。为CD中点，sin^DAO=―，cos^DAO=

33

由二倍角公式可得sin/ZMC=延，

9

设44CD的外接圆半径为r,则利用正弦定理可得2r=

s\nz.DAO

解得r=

4

而4£>=4C,。为CQ中点，所以A/ICD的外接圆圆心一定在0A所在的直线上，

而r=：>04=2,故外接圆圆心在0A的延长线上，

4

设该三棱锥的外接球的球心为P,。1为△ACD的外接圆圆心，则OIA=£

则POi1底面。1C4D,

而0送u底面01C4D,故POi1OXA,

而CD140「

设三棱锥外接球的半径为R,

故建立如图所示的空间直角坐标系（。1为原点，为y轴，POi为z轴，8的平行线为x轴）:

设P(0,0,z)则力(0,3,0),

贝”PB|=\PA\=R,

则交+(z—V3)2=—+z2=/?>

16v716

解得Z=-*(说明P在上图所示的z轴的负半轴上),

则R2=^,

故外接球的表面积S=4nR2=y7T.

故选B.

2.答案：C

解析：

本题主要考查的真假断，涉及空间几何体的结构，面平行的判断，的内切问，涉的识点较多，综性

较，度较大.

所有12条棱都相切球直径R于的对角线B1C的长度出球半径进行计即可.据方体内切球和角形外

接圆的关进判断即可.

解：解：•.•AB"。［。］,且4CD4B1=2,

所以平面ACB"/平面&GD,

长方体的对线BO】=V3,

设8到平面4cBi的距离为/2,

则=-x—xxlxl=—x—xy/2xV2xh,h-

则平面4cBi与平面&C1。的距离d=V3-2/i=V3-2Xy=y,

故4正确，

点户在线段4B上运动，则四面体P4&G的高为1,底面积不变，则体积不变，故B正确；

设与正方体的内切球心为。正的外接球为0',

・••正方体4C0-4当6。1的棱长1,

••・线段M长度最小值是3-三故C错误，

22

•••线段长度的最值是正方体的外的半径方的内切球切的球的半径，

则球的积V=±n7?3=2x兀（底）3=四兀，故。正确，

故选C.

3.答案：C

解析：

本题主要考查立体几何的综合问题，涉及异面直线所成的角，最短距离问题，外接球的表面积计算

和截面的最大面积，属于较难题.

画出正确的图示是解题的关键，依据图示和相关知识逐项判断，即可得出正确命题的个数.

解：对于①，如图，

必

由4B//C。，可知/BAP即为异面直线AP与CD所成的角.

由正方体的棱长为1,连接BP,

贝U在Rt/MBP中，AB=1,CP=号

BP=-VBC2+CP2=Ji?+G)2—

tan/BAP=黑=苧，①正确；

对于②，如图，

将三角形与四边形为BCD1沿展开到同一个平面上，如图所示,

由图可知，线段AD1的长度即为4P+PD］的最小值.

在△力A】Di中，441=1,4=4I。1=135°,

利用余弦定理可得

ADX=JAA：+ArDl-2AAX-A1Dicosz.AA1D1

=Jl2+I2-2x1x1x(-y)=72+V2>②错误；

对于③，如图，

当尸为已中点时，三棱锥P-4BC体积最大,

此时，三棱锥P-4BC的外接球球心是AC中点0,半径为苧，其表面积为2兀，故③正确;

对于④，如图，

平面a与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，只需与过同一顶点的三条棱所成的角相等即可,

由图可知4P=AR=AQ,则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等.

若点E,F,G,H,M,N分别为相应棱的中点，可得平面EFGHMN平行于平面PQR,且六边形

EFGHMN为正六边形.

正方体棱长为1,所以正六边形EFG4MN的边长为它，可得此正六边形的面积为6x更x（立＞=越,

24v274

为截面最大面积，故④正确.

故正确的命题为①③④，有3个.

故选c.

4.答案：D

解析：解：如图所示，

正四面体ABCO中，取BC、BD、AD.AC的中点G、H、K、L,

因为P、。分别是棱AB,CZ）的中点，所以P。的中点。也为定点;

由对称性知，尸。和EF的中点都在中截面GHKL上：

由而'=OP+PE+EM=OQ+QF+FM，

所以两=*屈+而）；

又在正四面体中，对棱垂直，所以而•评=0；

所以4而2=两2+评2,^]4OM2=pE2+QF2.

若点M的轨迹是以。为圆心的圆，则P片+QF2为定值.

故选：D.

先由对称性找到PQ.EF的中点在中截面GHLK上运动，

利用向量的加减运算，得到两=*而+而），

结合正四面体的特征将等式两边平方，得到4两2=万片+评2,

由圆的定义得出结论.

本题考查了正四面体的结构特征与应用问题，也考查了空间向量的计算问题，是难题.

5.答案:C

解析：

本题考查线面角，面面角及其求法，明确平面的斜线与平面内所有直线所成角中的最小角是线面角

是关键，是中档题.

由题意画出图形，分别找出二面角及线面角，结合正切函数的单调性及平面的斜线与平面内所有直

线所成角中的最小角是线面角进行大小比较.

解：当PAI/,PB11时，8=（p=3；

当PA,PB与/均不垂直时，如图:

由已知AB1口，可得48JU,过A作4。IE,连接08,则。BJU,

可得乙40B为5,乙4PB=(p,

在平面A0B内，过B作B/140,则B/JLa,连接P/,则4BP/=6>,

在RtAAB。与RtZ^ZBP中，可得tanb=/OB,tancp=PB由力B=4B,PB>0B,

可得tan6>tan<p,则6><p；

PB为平面a的一条斜线，PB与a内所有直线所成角的最小角为。，即尹>0.

8>(p>9.

综上，8><p>6.

故选C.

6.答案：B

解析：

本题考查了三棱锥外接球的表面积，属于基础题.

本题使用还原长方体的方法求半径，为本题关键.

解：由PA1平面ABC,AB1AC,

可知PA、AB.AC两两垂直，即三棱锥P—ABC为长方体的一个角,

由P4=V51BC=V3，即一条侧棱为石，一条面对角线为百，

则体对角线为50=2VL

即外接球的直径为2低，半径为迎，

则该球的表面积为4兀(或『=8兀，

故选反

7.答案：B

解析:

本题主要考查正方体的结构特征，抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，属于中档题.

作PQ1AD,作QR1PR即为点P到直线4山1的距离，由勾股定理得PR?-PQ2=RQ2=1,

又已知PR2—PM2=i,故PQ=PM,即P到点M的距离等于P到的距离，由此可得点P的轨

迹是抛物线.

解：如图所示：正方体ABCD—AiaGDi中，

作PQLAO,。为垂足，则PQJ■平面4DD1人,

又4也u平面4。。出，所以PQ_L&Oi，

过点Q作QR1D14，因为QRnPQ=Q,PQ,QRu平面尸0?,

所以Di41平面PQR,

PRu平面PQR,

D"i1PR,PR即为点P到直线的距离,

由题意可得PR2_PQ2=RQ2=L

又已知PR2-PM2=1,

•••PM=PQ,

即P到点M的距离等于P到AD的距离，

根据抛物线的定义可得，点尸的轨迹是抛物线,

故选B.

8.答案：D

解析：

本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进

行等价转化.取AB的中点H,再取的中点G,故得到/GED1是异面直线A尸和ED1所成的角，

由此能求出异面直线AF和ED1所成的角的大小.

解：取4B的中点H,再取的中点G,连接GE,

因为E、尸分别为BC、CD的中点，

所以GE//HC//AF,

故NGEA是异面直线AF和ED1所成的角，

设正方体力BCD-4B1C1D1边长为4,

故可得。出2=+ED2=42+42+22=36,

2

D^G=。户+DG2=42+42+32=41,

GE2=BG2+BE2=1+4=5,

故可得。卢2+6£2=。俨，

所以异面直线A尸和D1E所成角的大小为90。，

故选。.

9.答案:ABC

解析：

本题考查正方体的性质，三棱锥的体积，直线与平面所成角，属中档题.

对于A：由平面GOB〃平面力占劣，且。Pu平面JOB,正确；对于以无论点P在哪个位置，三棱

锥P-4的高均为1,底面的面积为;，三棱锥1的体积为:x；x1=g正确；

2oZo

对于C：当点P为BG的中点时，0P最小，此时DPJ.BC1，解得QP的最小值为当，正确；对于。：

设点P的投影为点Q，贝iJ/PDQ为。尸与平面ADD14所成角，OP与平面所成角的正弦值的

范围为怜斗不存在点P,DP与平面4叫公所成角为;，错误.

解：由题可知正方体的面对角线长为企，

对于A：分别连接GD,BD,BIDI，4BQ4DI，

因为。8〃。1当，。1当在平面4当以内，08不在平面内，

所以DB〃平面AB15，同理可得BC"/平面力/。1，

又DB、BG为平面GDB内两条相交直线，

所以平面GOB//平面AB15，

。Pu平面Cl。B,故对任意点P,DP〃平面故正确；

对于8：分别连接尸4PDi，无论点P在哪个位置，三棱锥P-AiDDi的高均为1,底面为。。1的面

积为5

所以三棱锥P-的体积为！X；X1=i故正确；

5Lo

对于C：线段DP在4GBD中，当点P为BG的中点时，OP最小，此时DP1BC1，

此时在RtZXZ5/7。中，DP=y/DB2-PB22_(0=导故DP的最小值为唱故正确;

对于D：点尸在平面上的投影在线段ADi上，设点尸的投影为点Q,则NPDQ为。尸与平面

4DD14所成角，sin乙PDQ=黑PQ=1,

而当《PD(V2,所以QP与平面ADDMi所成角的正弦值的范围为惇闿，

而疝=所以不存在点尸，OP与平面4DD14所成角为;，故错误.

故选A8C.

10.答案：BCD

解析:

本题考查命题真假的判断和两直线的位置关系，考查运算求解能力，是中档题.

以。为原点，OA为x轴，CC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面

直线4%与C/所成角的余弦值；由E,尸分别是棱AB,8C的中点，^AC//EF,从而Aig〃EF,

再得到直线&E与直线GF共面；由异面直线判定定理得，直线&E与直线&F异面.

解：在正四棱柱4BC0-4B1C1D1中，AB=y[2AAr,E,尸分别是棱AB,BC的中点,

以。为原点，D4为x轴，DC为)，轴，DDi为z轴，建立空间直角坐标系,

设力4=1,则力(企,0,0),^(72,72,1),

^(0,72,1)>F*，也0)，丽=(0,企,1),守=(^,0,-1),

••・异面直线与小尸所成角的余弦值为：

UAB1-CjF\1V2

771=---------=-----=-

所卜面后孚3,

故A错误，C正确；

vE,F分别是棱AB,BC的中点，4C〃EF,

♦.♦A1G//4C,&G//EF,.•.四边形EFG&是梯形，

直线4E与直线GF共面，故B正确；

AXEu平面力BBi&,B]Fn平面4BB1&=当，

当任直线&E,.•.由异面直线判定定理得，直线&E与直线&F异面，故。正确.

故选BCD.

11.答案：AC

解析：

本题考查了立体几何的综合问题，考查学生的分析推导能力，计算求解能力，属于困难题.

对于A,建立空间直角坐标系设点M(0,2,a)(04aW2),求出|cos＜南，而＞|从而即可求解.

对于8,结合题意连接40、BD、&B、AC,结合线面垂直的性质定理即可求解.

对于C,设平面a交棱于点E(80,2),从而利用空间向量即可求解.

对于D,将矩形4CG4与矩形CGDiD延展为一个平面即可推导求解.

解：对于A选项，以点。为坐标原点，

D4、OC、0历所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz,

则点4(2,0,0)、B(2,2,0)、

设点M(0,2,a)(0SaS2),

AM1平面a,

则我为平面a的一个法向量，且薪=(-2,2,a)，AB=(0,2,0)-

\AB-AM\

|cos<AB,AM>|—

\AB\-\AM\

4_2e停净，

2xVa2+8Va2+8

所以，直线A8与平面a所成角的正弦值范围为手小

故月选项正确;

对于8选项，当M与CQ重合时，连接&D、BD、48、AC,

在正方体ABCO-48道1/中，CCi，平面ABCD,

•・•BDu平面ABCD,

:.BD1CC],

•.•四边形ABC。是正方形，

则BD>C,

cciciAC=c,cci，acu平面ace1，

•••BDJ"平面ACC1，

VACXu平面acq,

•••ACT1BD,

同理可证4G-LAAD,

AXDC\BD=D,&D,BDu平面&BD,

ACX_L平面&B0,

易知团4/0是边长为2a的等边三角形，

其面积为SA^BD=Tx(2V2)2=2V3'

周长为2/x3=6V2.

设E、F、Q、N、G、H分别为棱45、AB[、BB】、BC、CD、的中点,

易知六边形EFQNGH是边长为近的正六边形，且平面EPQNG，〃平面&BD,

正六边形EFQNGH的周长为6丘,面积为6xgx(&j=38，

则团4津。的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，8选项错误;

对于C选项，设平面a交棱4也于点E(b,0,2),点M(0,2,l),AM=(-2,2,1)-

vAM_L平面a,DEu平面a,

・•・AM1DE,

即京-DE=-2b+2=0，得b=1,

E(l,0,2),

所以，点E为棱久劣的中点，

同理可知，点尸为棱的中点，

则F(2,l,2),EF=(1,1,0)>

而法=(2,2,0),

T1T，

EF=-2DB

：.EF"DBaEF丰DB,

由空间中两点间的距离公式可得DE=V224-024-I2=V5-

BF=J(2—29+(1-2<+(2—0(=后

DE=BF,

所以，四边形BCEF为等腰梯形，C选项正确；

对于。选项，将矩形4CG4与矩形CGDiD延展为一个平面，如下图所示:

若ZM+MN最短，则4、M,N三点共线,

-,-CCiZ/DDr，

MCAC2y[2、p:

••—=—=---------=Z-7乙,

DNAD2V2+2

•••MC=2-近吟CC\,

所以，点M不是棱CG的中点，。选项错误.

故选AC.

12.答案：ACD

解析：

本题考查空间向量的应用，考查截面问题，考查线面角以及四面体的内切球问题，轨迹问题，属于

较难题.

建立空间坐标系，利用向量计算AM与D'B'所成角的余弦值判断A,利用面面平行性质作出过A,M,

D'的截面，再计算截面面积判断8,根据等体积法计算棱锥的内切求半径，计算球的表面积

判断C,计算4C'与平面4'B'C'D'的夹角a,根据a与/M4C'的大小关系判断。.

解：以4为坐标原点，以4'。'，A'B',44为坐标轴建立空间直角坐标系A'-xyz,

则4(0,0,1),1),0),0),

•1•AM=(|,1,0),FB7=(-1,1,0).

的丽珂=靠=票

•••4M与D'B'所成角的余弦值为叵，故A正确；

10

取CC'的中点N,则MN〃8c7/4。'，故梯形MND'A为过4、M、D'的正方体的截面，

「MN=y.AD'=V2.AM=D'N=争二梯形MND%的高为够_净2=表

.••梯形MNDN的面积为:x（鱼+亨）x嘉=£故B错误；

四面体AC'BD的体积为吃防然一4力7心。，=l-4x|x|xlxlxl=|,

又四面体A'C'BD的所有棱长均为迎，四面体AC'BD的表面积为4x^x（V2）2=2痘,

设四面体4CBD的内切球半径为r,则打26xr=/解得r=/,

四面体AC'BD的内切球的表面积为4兀"=；，故C正确；

4SC'=NPAC',二P点在以AC'为轴，以AC为母线的圆锥的侧面上，

P点在平面AB'C'。'上的轨迹是抛物线，故。正确.

故选ACD.

13.答案：y

解析：

本题考查了点的轨迹的长度的求法，考查了圆有关的轨迹问题，由以。C所在直线为x轴，0c的垂

直平分线为y轴建立平面直角坐标系，将问题转化为点N的轨迹是以"5,0）为圆心，4为半径的圆，

故可求得点N的轨迹的长度

解：依题意，AB=BC=6,BB]=2；因为4。JL平面。CCi%,CM1平面。。口劣，4AND=乙CNM；在

Rt回NDA与Rt团NCM中，因为4。=6,则MC=3,故tan〃ND=黑=芸，则白=工即ND=2NC；

NDNCNDNC

在平面DCGDi中，以0c所在直线为x轴，DC的垂直平分线为)，轴建立平面直角坐标系，

则。(一3,0),C(3,0),N(x,y),由ND=2NC得，+3)2+y2=2^/(%-3)2+y2,整理可得：

x2+y2-10x+9=0,即(x-5)2+y2=16,故点N的轨迹是以"5,0)为圆心，4为半径的圆，设

圆与G5的交点为E,

作EK_Lx轴于K,£(5-2V3,2),K(5-2V3,0),则EK=2,KF=2遍,EF=4,

则sinz_EFK=g=:故Z_E尸K=>

EF2o

故点N的轨迹的长度为ar=7x4=V-

63

故答案为与

14.答案：①②⑤

解析：

本题主要考查立体几何相关知识，结合每个命题依据定理逐一判断即可，属中档题.

①利用面面平行的性质定理判断即可；

②利用面面垂直的判定定理去证明EF1平面

③判断周长的变化情况即可.

④四边形MEN尸的对角线EF是固定的，则只需的长度变化即可.

⑤求出四棱锥的体积，进行判断.

解：

①•.•平面2DDW〃平面BCC®,

截面MENFn平面=EN,截面MENFC平面BCC'B'=MF,

EN//MF,

同理：FN//EM,

.••四边形EM/W为平行四边形，故①正确；

②连结BO,DR,则由正方体的性质可知，EFL平面BDDiBi，

所以平面MENF_L平面所以②正确.

③因为EF1MN,所以四边形MENF是菱形，

当尤G［0,1］时，EM的长度由大变小，

当xegl］时，成的长度由小变大.所以函数L=/(x)不单调.所以③错误.

④连结MM因为EF1平面8DD$i，所以EFJLMN,四边形MEN尸的对角线E尸是固定的，所以

x€［。9，削的长度由大变小,x6已1］时，"N的长度由小变大.所以S=g(x),不单调.所以④错误.

⑤连结GE,GM,GN,则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以GE尸为底，

以M,N分别为顶点的两个小棱锥.因为三角形GEF的面积是个常数，M,N到

平面GEF的距离是个常数，所以四棱锥G-MENF的体积V=h(x)为常函数，

所以⑤正确.

故答案为①②⑤.

15.答案：(1)充分不必要；

⑵嗜

⑶多

(4)①③④.

解析:

(1)本题主要考查了充分条件，必要条件的判断，涉及线面平行的性质，属于基础题.

判断由a〃匕能否得到8〃“，再判断由b〃"能否得到a〃b即可.

解：证明充分性：

若a〃儿结合a〃M,且b在平面M外，可得b〃M,即充分性成立；

证明必要性：

若匕〃M,结合a〃M,且a,匕是平面M外，则m匕可以平行，也可以相交或者异面，所以不是

必要条件必要性不成立，

故a〃b是b//M的充分不必要条件.

故答案为充分不必要.

(2)本题主要考查了棱锥体积的求法，涉及正四棱锥结构特征的运用，属于基础题.

作出正四棱锥的结构图形，推导出侧面斜高SE=：X24X2+4=3,设正四棱锥的高为SO,则

0E=2,SO=y/SE2-OE2=V5;由此能求出该四棱锥的体积.

解：由题意，正四棱锥S—ABCD的结构图如下，

取BC的中点E,底面ABC。的中心为0,连接SE,SO,则SE1BC,SOABCD,

•••正四棱锥S-力BCD的底面A8C£＞边长为4cm,侧面积为24cm2,

•,•侧面斜高SE=^x24x2+4=3cm,

4

设正四棱锥的高为SO,则OE=2cm,

：.SO=VSF2-OE2=V32-22=V5cm,

23

二该正四棱锥的体积是V=^SABCD-SO=Ix4xV5=-^^cm,

故答案为鳏.

3

(3)本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识以及余弦定理的运用，属于中档题.

取棱8。上靠近点。的一个三等分点凡EF//AB,从而NCEF是异面直线AB和CE所成的角，由此

能求出异面直线和CE所成的角的余弦值.

解：如图，取棱8。上靠近点。的一个三等分点F,人

•••E是棱AD上靠近点D的一个三等分点，

EF//AB,

.3CEF是异面直线AB和CE所成的角(或其补角),

设正四面体4-BCO的棱长为3,

则DE守D=l,EF=^AB=1,DF^BD=1,

在ACDE中，由余弦定理得:

CE2=DE2+CD2-2OE.e.cos〃OE=M+32-2xlx3x：=7,

•••CE=6

同理，在ACOE中，由余弦定理得CF=V7,

在△的中，由余弦定理得：cECEF=空蓑#=年空4

故答案为今

(4)本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查了分析和运用能力，属于中档题.

根据对数函数单调性可判断①；根据复合命题真假的判断方法可判断②；设f(a)=(x-2)a+x2-

4x+4,ae[-1,1],转化为f(a)>0在ae[—1,1]上恒成立，建立不等式组求出x取值范围即可判断

③；根据几何体结构特征和三棱锥体积公式即可判断④.

解：对于①，当a>b>1时，根据对数函数的单调性可知log2a>log2b>0,若log2a>log2b>0,再

由单调性可知a>b>1,则a>b>1是log2a>log2b>。的充要条件故①正确；

对于②，“p或q”真，贝Up,q至少有一个为真，“"或厂”也真，则"、/•至少有一个为真，则

有可能q为真，则为或r”真，故②错误；

对于③，设/(a)=(x-2)a+--4x+4,aG[-1,1].要使/'(a)>0在a€上恒成立，则

/(-I)=x2-5x+6>0

解得％<1或x>3,

./(I)=x2-3x+2>0

故③正确;

对于④，由题意，取AC的中点0,连接O。，0B,如图:

D

易知△ACD^hABC均为等腰直角三角形，

且。£>=OB=-AC，BD=a,

2=—2a

■■■BD2=BO2+DO2,

BOD也为等腰直角三角形，

OB1OD,OD1AC,

又4cn8。=0,AC,BOU平面ABC,

OD1平面ABC,

•••。£）为三棱锥。-ABC的高，且S/ABC=

23

三棱锥。-ABC的体积为V=—SAABC-OD=-ax—a=—a

36212

故④正确；

故答案为①③④.

16.答案：|

解析：

本题考查异面直线所成角的问题，考查线面垂直的判定，考查基本不等式在求最值方面的应用，题

目较难.

设直三棱柱的高为x,BP=y,则BiP=x-y,由PC1PC.,可得x=号"，再证明QP，平面ACP,

从而得到4P_LPCi，可得SAAPQ=：X,25+y2xJi6+(x-y)2,将芯=亨代入，利用基本不

等式可求得当A4PC1的面积取最小值时，y=2遮，由所以4。/占(或其补角)为异面直

线44与PG所成的角，从而可求得答案.

解：设直三棱柱的高为x,BP=y,则8$=无—y,

因为△ABC为直角三角形，且AB=5,AC=3,则BC=4.

所以PC?=BC2+BP2=16+y2,PCI=BiC：+BiP2=16+(x-y)2,

由PCIPCi，则PC2+PC/=CC/,BP16+y2+16+(x-y)2=x2,整理得工=北手.

由棱柱为一个“堑堵”，则侧棱垂直于底面，且底面是直