高考理科数学一轮复习专题训练：导数及其应用（含详细答案解析）

第三单元导数及其应用第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知：，，，，本题正确选项D．2．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，即点在曲线上．，，则在点处的切线方程为，即．故选C．3．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，根据导函数的图象，可得当时，，则函数单调递增；当时，，函数单调递减，故选C．4．函数的单调增区间为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为，，当时，函数单调递增，所以有或，而函数的定义域为，所以当时，函数单调递增，故本题选D．5．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的定义域是（0，+∞），，若函数有两个不同的极值点，则在（0，+∞）由2个不同的实数根，故，解得，故选D．6．过点作曲线的切线，则切线方程为（）A．或 B．或C．或 D．【答案】A【解析】设切点为（m，m3-3m），的导数为，可得切线斜率，由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），代入点，可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），解得m＝0或m＝3，当m=0时，切线方程为；当m=3时，切线方程为，故选A．7．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为（），所以，由，得，所以当时，，即单调递增；当时，，即单调递减，又函数在区间上不是单调函数，所以有，解得．故选C．8．若存在唯一的正整数，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则存在唯一的正整数，使得，设，，因为，所以当以及时，为增函数；当时，为减函数，在处，取得极大值，在处，取得极大值．而恒过定点，两个函数图像如图，要使得存在唯一的正整数，使得，只要满足，即，解得，故选B．9．函数(其中e为自然对数的底数)的大致图像是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】方法一：排除法：当时，，排除C，当时，恒成立，排除A、D，故选B．方法二：，由，可得，令，可得或，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以只有B符合条件，故选B．10．函数，正确的命题是（）A．值域为 B．在是增函数C．有两个不同的零点 D．过点的切线有两条【答案】B【解析】因为，所以，因此当时，在上是增函数，即在上是增函数；当时，在上是减函数，因此；值域不为R；当时，，当时，只有一个零点，即只有一个零点；设切点为，则，，所以过点的切线只有一条，综上选B．11．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】的解集即为的解集，构造函数，则，因为，所以，所以在上单调递增，且，所以的解集为，不等式的解集为．故选C．12．已知，，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，，，设，，，，设，，，在单调递减，且，，所以在递减，，，故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数在处的切线方程是，则______．【答案】2【解析】∵函数的图象在点处的切线方程是，，，，故答案为2．14．函数在上极值为____________．【答案】【解析】，，令，得，在区间上讨论：当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数，所以函数在上的极值为，故答案是．15．函数的值域为_________．【答案】【解析】由题意，可得，令，，即，，则，当时，；当时，，即在为增函数，在为减函数，又，，，故函数的值域为．16．已知函数无极值，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以，又函数无极值，所以恒成立，故，即，解得．故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知曲线．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过原点的切线方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由题意得，所以，，可得切线方程为，整理得．（2）令切点为，因为切点在函数图像上，所以，，所以在该点处的切线为因为切线过原点，所以，解得或，当时，切点为（0，0），，切线方程为，当时，切点为，，切线方程为y=0，所以切线方程为或y=0．18．（12分）设函数，若函数的图象在点处与直线相切．（1）求实数，的值；（2）求函数在上的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，∴，则，解得，．（2）由（1）知，，（）．∴当时，；当时，．∴在上为增函数，在上为减函数，则．19．（12分）求证：．【答案】见解析．【解析】，所以，当x≥0时，h'（x）≥0，h（x）为增函数；当时，，h（x）为减函数，所以h（x）≥h（0）＝0，所以．20．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间．【答案】（1）；（2）当时，的单调增区间是；当时，的单调递减区间是；递增区间是．【解析】（1）当时，，所以．所以，，所以切线方程为．（2）．当时，在时，，所以的单调增区间是；当时，函数与在定义域上的情况如下：所以的单调递减区间是；递增区间是．综上所述：当时，的单调增区间是；当时，的单调递减区间是；递增区间是．21．（12分）已知函数（m为常数）．（1）当m=4时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，求实数m的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为；（2）．【解析】依题意，函数的定义域为（1，＋∞）．（1）当m＝4时，．，令，解得或；令，解得．可知函数的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为．（2）．若函数有两个极值点，则，解得．22．（12分）函数．（1）求函数的单调区间；（2）若方程在区间上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围．【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）．【解析】（1）的定义域为，，则，，由于恒成立，则在上大于零