高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优2

高中数学北师大版(2019)必修第一册第五章函数

应用培优专练2

第I卷(选择题)

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一、单选题

1.已知函数，(x)=,X若函数g(x)=,f(x)-ox+a存在零点，则

实数〃的取值范围为()

2.若不等式(仆+3)评-垃,0对任意的X«0,4w)恒成立，则()

A.ab2=9B.crh-9»avOC.b=9『，avOD.b?=9a

log।x,x>0

2

3.已知函数/(")=i函数g(x)=x。若函数y=/(x)-g(x)有3个

ax+—

2-紧。

零点，则实数。的取值范围为()

A.(5,+8)B.3同C.(5s口.(或

4.对于a/eR,定义运算"◎'：a®b=\a~ah'a~b设/(x)=(2x-l)&x-l),且

b-ab,a>b

关于X的方程/«=eR)恰有三个互不相等的实数根为,J七，则%+%+七的取值

范围是()

/、x2-ax+2,x>a/、

5.已知函数x<4，若对于任意正数左，关于X的方程/(x)=Z都恰

有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为()

A.0B.1C.2D.无数

6.已知IwR,函数/。)=|/-4|+/+船的定义域为R,若函数/(x)在区间(0,4)上有

两个不同的零点，则k的取值范围是()

A.-7<k<—2B.4v-7或Q-2

C.-7<k<0D.—2<As<0

二、多选题

7.已知函数f(x)=,+3x+l卜小|,则下列结论正确的是()

A.若/(x)没有零点，贝ijae(7o,0)

B.若f(x)恰有2个零点，则。«1,5)

C.若f(x)恰有3个零点，则。=1或。=5

D.若“X”恰有4个零点，则ae(5,r)

x2-x+l,O<x<1,

8.已知定义域为R的奇函数/(x),当x>0时，f(x)=|1下列说法中

----,x>1.

I2x-1

正确的是()

A.当一;<西时，恒有/(再)>/(工2)

B.若当xe(O,汨时，的最小值为二,则机的取值范围为

4|_2o

C.不存在实数公使函数尸(x)=f(x)-履有5个不相等的零点

D.若关于x的方程/U)-7"(x)-口=0所有实数根之和为0,则。=-=

L4」4

第H卷(非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

三、填空题

他竺x>0

9.设f(x)=JX'(其中e为自然对数的底数)，g(x)=r(x)-(2,〃-l)/(x)+2,

-2019%,x<0

若函数g(x)恰有4个不同的零点，则实数机的取值范围为.

10.已知定义在(0,+8)上的单调函数/(X),若对任意xe(0,+8)都有

(\

f/(x)+log,x=3,则方程〃x)=2+&的解集为.

11.某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换

1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：

①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐；

试卷第2页，共4页

②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐:

n—1

③如果购买〃(〃eN*)罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数/(〃)=〃+f.(其中

［司表示不大于x的最大整数)

则所有正确说法的序号是.

12.若平面直角坐标系内两点尸，。满足条件：①P,Q都在函数/(x)的图象上；②P,

Q关于原点对称，则称点对(RQ)是函数“X)的图象上的一个“友好点对”).已知函数

"x)=|k+21*x<0且"6若此函数的“友好点对”有且只有一对’则实

数。的取值范围是

四、解答题

13.已知函数f(x)=l-b)(其中“，8eR且a*0)的图象关于原点对称.

(1)求。，6的值；

(2)当。>0时，

①判断y=在区间(0,+?)上的单调性(只写出结论即可)；

②关于x的方程/(d')-x+ln%=0在区间(0,ln4］上有两个不同的解，求实数Z的取值范

围.

14.2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将

永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了

全世界22%的人口，目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国

际公认的400千克粮食安全线，雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻

的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人

均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何

级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究.根据马尔萨斯的理

论，自然状态下人口增长模型为y=y°e”①(其中，表示经过的时间，儿表示r=o时的

人口数，，表示人口的年平均增长率，y表示f年后的人口数，单位：万人)根据国家统

计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.该

小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为f=0时的人口数，求得①式人口增

长模型.

(1)请求出该小组同学①式的人口增长模型；

(2)根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模

型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为

产600什13600(其中，表示经过的时间，y表示第［年的粮食年产量，单位：万

吨)./(0=--------不—(/wN)表示从1950年末开始第，年的年人均粮食占有量,

单位：吨/人.

/㈤

①求满足＜1的正整数A的最小值.

/(I)

②按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由.

参考数据：ln67207-ln55196a9x0.02188,In130000-In55196»39.15x0.02188,

e002188«1.022,55196xl.02223»91050.

15.已知函数〃x)=e'+eT.

(1)根据函数单调性的定义，研究/(x)的单调性；

(2)若g(x)=*—2x+0'(x—1)有唯一零点，求。的值.

16.已知aeR,函数f(x)=+.

(1)若a=T,用单调性定义证明函数/(x)在((),一)上是减函数;

(2)若a=l,求y=/(x)(xNl)的值域；

(3)若存在王＜0＜七,使/(百)=/(々)，求a的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.B

【分析】

若函数g(x)=/(x)-or+a存在零点，即有解，转化为函数y=/(x)和丁=依-。

图像的交点，结合图像，找到临界值，即可得解.

【详解】

若函数g(x)=/(x)-G：+a存在零点，

即/(x)=or-a有解，

转化为函数y=/(x)和了=以一。图像的交点，

如图所示，

丫=以一4恒过(1,0),

过端点(-2」)与(1,0)的直线的斜率&=、1m-0=v1，

—2—13

设3=口-4与丫=/相切与(%*),

则切点处的导数为e&,

则过切点的直线方程为y-e“=(xF),

又切线过(1,0),则-*=*(1-X。)，

所以x<)*=2e*,得々=2,

此时切线斜率为『，

由图可知，若函数g(x)=/(x)-ar+a存在零点，

则实数〃的取值范围是或〃之/,

答案第1页，共21页

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数零点问题，考查了转化思想，转化零点为函数图像的交点，关键是求出临界

值，在求切线方程时，切入口是设出切点，根据导数的几何意义进行求解，同时考查了直线

斜率问题，设及知识点较多，属于较难题.

2.B

【分析】

先分析特殊点对。力的要求，再结合函数的趋势，排除掉一些范围，最终确定函数

f(x-)=ax+3,g(x)=V-6的零点相同，得到关系式，最终求出答案.

【详解】

".,(ax+3)(/-6),,0对任意X€[0,+oo)恒成立，

・・・当x=0时，不等式等价为-初,,0,即4.0,

当xf+8时，X2-h>0<此时奴+3<0,则

设，(x)=ox+3,g(x)=x2-b,

若匕=0,则g(x)=f>o,

函数/(x)=or+3的零点为x=-』，则函数/(x)在(0,-3)上/(x)>0,此时不满足条件；

aa

若a=0,则/(x)=3>0,而此时xf+8时，g(x)>0不满足条件，故/;>()；

•••函数f(x)在(0,—|)上/(%)>0,则(-■!，+<»]上/(X)<0,

而g(x)在(0,+oo)上的零点为x=四，且g(x)在(0,扬)上g(x)<0,

贝！](石，+8)上g(x)>0,

二要使("+3)(/-b)„0对任意xw[0,+<»)恒成立，

则函数〃*)与g(x)的零点相同，即-』=扬，

a

・•.a2b=9,

答案第2页，共21页

【分析】

先作出两函数的图像，由图像可知当x>0时，"x)=bg；x与g(x)=V有1个交点，所以只

要当X40时，/(x)=ax+g-9与g(x)=V有两个交点即可，结合图像可得/(x),g(x)的图

象在18,一；)上有两交点，则在卜别上没有交点，即直线y=-ox-；a弋与y=Y在

,8,一；)有两交点，且〃x),g(x)的图象在上没有交点，即/+以+；〃++0在

1-8,-；)有两个解，且/(x)=g(x)在上没有解，然后利用方程根的分布进行求解即

可

【详解】

如图当x>0时，/(幻=陛：*与8*)=/有1个交点.

要使y=/(x)-g(x)有3个零点，贝！|当*40时，

f(x)=ax+^与g(x)=/有两个交点即可，

若aW(),xV(),fM<-,两函数没有交点，所以。>0,

4

画出〃X),g(X)图象,如下图所示,

根据图象/(x),g(x)的图象在-g<x<0内至多有一个交点.

当/(X),g(X)的图象在18,一；)上有两交点，则在卜；，。)上没有交点.

答案第3页，共21页

即直线y=与y=/在1-8,-；)有两交点，且/(x),g(x)的图象在上没

有交点.

115=0在18,一；)有两个解，且/(x)=g(x)在(-川上没有解.

即%2-\-ax+—a-\----

24

a>0

设//(x)=x2+?,且a.0+_L一/<0

24

解得。＞5或。＜-3(舍去)，且

所以此时5＜。＜葭

若在-g＜x＜0上f(x),g(x)的图象有1个交点，则在(7,-；］上.f(x),g(x)的图象有1个

交点

即/+依+：4++0在,8,-g)有1个解,且/(X)=g(X)在(jo)上有1个解.

则△=/_4(ga+?)=0且a-0+g-券20,此时无解.

要使/(x),g(x)在(YO,0)只有两交点，贝ij5＜a＜券.

故选：B

此题考查函数与方程，考查由函数的零点个数求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力,

答案第4页，共21页

属于较难题

4.A

【分析】

2尤2_xx<0

,一八，再结合函数图像可知/+占=1，再求出*

1一厂4-X,X>0

的范围，即可求得结果.

【详解】

2x2

小啪门…，、c八小/n/(-D-(2x-D(x-1),2x-1<x-1

由题设知/(x)=(2x-l)③(x-l)=<,、c,,

[(x—1)~—(2x—l)(x-1),2,x—1>x—1

OvY<0

/'一八，画出函数的图像，如下图

-x+xx>0

{y

i<

y

由当关于x的方程/(x)=«reR)恰有三个互不相等的实数根时，r的取值范围

是fe(o,£),

设玉<0<々<与，则尤2，七是-W+X=f的两个根，关于X=；对称，故々+七=1,

下面求士的范围：[2犬-]=、解得：匕叵

I西<04

Q?e|/O,-|、,.•.1+8/e(l,3),.-.l->/l+8re(l->/3,0),故王e(^^I-,0、

'JI4,

f-V31

所以玉+々+凡£—5—4

故选：A.

答案第5页，共21页

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图像，利用数形结合的方法求解.

5.B

【分析】

分〃=0、。＞0、三种情况讨论，作出函数/（X）的图象，根据已知条件可得出关于实

数。的等式与不等式，进而可求得实数。的取值.

【详解】

.、fx2+2,x＞0,,、

当。=0时，〃X）=，作出函数/（X）的图象如下图所示：

I,X＜U

由图可知，当0＜女＜2时，关于x的方程/（x）=&有且只有一个实根，不合乎题意;

x2-ax+2,x>a

当。>0时，/(x)=-x+a,-a<x<a,如下图所示:

-x-a,x<-a

函数f（x）在（F,-a）上单调递减，在上单调递增，在（4a）上单调递增,

由题意可得/-/+2=|2a|=2«,解得a=1；

答案第6页，共21页

2一—〜一

右”0,则\<x-ax+2,x>a，如,下图所不:

-x-a,x<a

由题意可得'a此时a无解.

A=a--8>0

综上所述，4=1.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

答案第7页，共21页

6.A

【分析】

写出人力的分段函数解析式，利用函数/（刈在区间（。，韦上有两个不同的零点，利用参数分

,4

—,xG（0,2）

离法转化为％=,有两个零点，即函数g（x）的图像与直线》=%有两个交点,

---------,XG[2,4）

数形结合即可得解.

【详解】

4+fee,xw(0,2)

/(x)=|x2-4|+x2+kx=

2x2+fcc-4,xe[2,4)

44

—,xe(0,2)—,xe(0,2)

Xx

令/(x)=0利用参数分离法得左=令g(x)=<

4-2x2

xe[2,4)xe[2,4)

x

函数fM在区间（。，4）上有两个不同的零点，转化为函数g（x）的图像与直线y=A在区间

（0,4）上有两个交点,

故选：A

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解

答案第8页，共21页

7.AC

【分析】

当x=0时，判断x=0不是的零点；当XHO时，由〃x)=0,分离参数得a=x+J+3,

将问题转化为直线V=a与函数y=x+1+3图象的交点个数.作出y=x+'+3的图象，运

XX

用数形结合的思想逐一判断可得选项.

【详解】

解：当x=0时，/(0)=1*0,所以x=0不是“X)的零点；

当XX。时，由f(x)=O,gp|x2+3x+l|-iz|x|=O,得a=x+：+3,

则/(x)的零点个数等于直线y=“与函数>=X+5+3图象的交点个数.

当x>0时，x+->2.lx^-=2,当且仅当x=1,即x=l时取等号，所以当x>0时，

xVxx

y=x+-+3>5,当且仅当x=l时取等号，

X

当xvO时，^+―=-f-x+—1<-2/%•—=-2,当且仅当x=，，即1二一1时取等号，所以

x-X)Vxx

当％<0时，x+-+3<l,当且仅当x=—l时取等号，

X

作出函数y=x+2+3的大致图象(如下图所示)，

X

由图可知：若/(X)没有零点，则故A正确；

若“X)恰有2个零点，则ae{0}U(l,5),故B不正确；

若恰有3个零点，则。=1或。=5,故C正确；

若“X”恰有4个零点，则a«0,l)U(5,”)，故D不正确，

故选：AC.

答案第9页，共21页

【分析】

根据函数的奇偶性及x>0时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立

y="与）+1可判断相切时切点横坐标为］,当女工。，x>0时最多一个交点，可判

断C,根据函数奇偶性与对称性判断D.

【详解】

x2-x+l,0<x<l,

当x>0时，/«=1L」一,X>1且“X）为R上的奇函数,

2x-l21

X——

2

不是单调递减函数，则/（汨）>f（X2）不成

立，故A不正确;

।Q73

对于B，令^--=解得x=±，由图象可知，当xw（0,汨时，/（%）的最小值为：，

2x-l464

-17'

则"zw,故B正确；

2o

答案第10页，共21页

对于C,联立I)：山，，得x2-(z+i)x+l=0,

[y=x-x+l

△=(-1)2-4=/+24-3=0,存在2=1,使得△=0,此时x=l,可知最多有3个不同的

交点，

・••不存在实数火，使关于x的方程/(x)="有,5个不相等的实数根，故C正确；

对于D,由「/(x)--31[f(x)-a]=0可3得/(X)==或f(x)=%

_4J4

3

・・•函数/(x)是奇函数，若关于x的两个方程/(x)=j与/。)=。所有根的和为0,

・•・函数/(x)=43的根与fM=a根关于原点对称，则。=-39,

44

317175

但x>0时，方程/有2个根，分别为两根之和为

42o263

3

若关于x的两个方程fM=：与/(%)=。所有根的和为0,

4

则/(x)="的根为―，此时〃=八一3)=。(5、1=一7,故D错误.

故选：BC

【点睛】

关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的

单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.

9.m>2

【分析】

求函数广(X),研究函数的单调性和极值，作出函数/(X)的图象，设，=f(X),若函数g(x)恰

有4个零点,则等价为函数6(/)=『-(2m-1)/+2有两个零点，满足f>l或利用一元

二次函数根的分布进行求解即可.

【详解】

当x>0时，:(劝=叫以，

X

由尸(%)>0得：解得0cx<e,

由广。)<0得：l-//u<0,解得%>e,

即当x=e时，函数/(力取得极大值，同时也是最大值，f(e)=1,

当•+/(幻-0,

答案第11页，共21页

当xf0,fix)-=o,

作出函数/(x)的图象如图,

设r=f(x),

由图象知，当f>l或t<0,方程r=/(x)有一个根，

当，=0或f=l时，方程f=/(x)有2个根，

当0</<1时，方程r=/(x)有3个根，

则g(x)=f2(x)-(2m-l)f(x)+2,等价为h(t)=r+2,

当f=O时，〃(0)=2K0,

二若函数g(x)恰有4个零点，

则等价为函数帕)="-⑵"坟+2有两个零点，满足f>l或0<f<l,

|/?(0)=2>0

则

[/?(1)<0

h(I)=1—2m+1+2=4-2m<0

解得：，?1>2,

故答案为：m>2

【点睛】

本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及.求的导

数，研究函数的f(x)的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题.

10.{4,16).

【分析】

由题可求=2Tog/,再利用数形结合即求.

2

【详解】

答案第12页，共21页

•定义在(0，+8)上的单调函数f(x),对任意x«0,+8)都有//(x)+10g,x=3,

k27

令f(x)+k)g/=c,贝I]〃c)=3,

在上式中令x=c，则“c)+l°g|C=c'，10g|C=c-3,解得c=2,

22

故〃x)=2—log/,

2

由〃x)=2+&得，2-log产=2+4即1og2x=«,

2

在同一坐标系中作出函数y=iog?x和y=4的图像，

可知这两个图像有2个交点，即(4,2)和(16,4),

则方程〃力=2+4的解集为{4,16}.

故答案为：{4,16}.

11.②③.

【分析】

①10罐可乐有10个可乐空罐，第一次可换3罐可乐还剩1个空罐，第二次可换1罐可乐还剩2

个空罐，由此算出最多可饮用的可乐罐数；

②：先分析购买66罐可乐的情况，再分析购买67罐可乐的情况，由此确定出至少需要购买

的可乐罐数；

③：先分析购买1到9罐可乐分别可饮用多少罐可乐以及剩余空罐数，然后得到规律，再分

奇偶罐数对所得到的规律进行整理，由此计算出/(〃)的结果.

【详解】

①：购买10罐可乐时，第一次可换3罐还剩1个空罐，第二次可换1罐还剩2个空罐，所以最

答案第13页，共21页

多可饮用10+3+1=14罐可乐，故错误；

②：购买66罐时，第一次可换22罐可乐，第二次可换7罐可乐还剩1个空罐，

第三次可换2罐可乐还剩2个空罐，第四次可换1罐可乐还剩2个空罐，所以一共可饮用

66+22+7+2+1=98罐；

购买67罐时，第一次可换22罐可乐还剩I个空罐，第二次可换7瓶可乐还剩2个空罐，

第三次可换3罐可乐，第四次可换1罐可乐还剩1个空罐，所以一共可饮用

67+22+7+3+1=100罐；

所以至少需要购买67罐可乐，故正确；

③：购买1到9罐可乐分别可饮用可乐罐数以及剩余空罐数如下表所示：

购买数饮用数剩余空罐数

111

222

341

452

571

682

7101

8112

9131

由表可知如下规律：

(1)当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为1,当购买的可乐罐数为偶数时，此时

剩余的空罐数为2；

(2)实际饮用数不是3的倍数；

(3)每多买2罐可乐，可多饮用3罐可乐，

(4)实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的1.5倍少0.5或1；

设购买了〃罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为了(〃)，

答案第14页，共21页

3〃]

3m-2(n=2ni-l,meN']~~(»=2m-\,meNj

所以，(")=/，即〃〃)=?。，即

3mT(〃=2〃?,〃?eN)=2肛mwN*)

n—\/

〃+n=2m-l/nwN")

/(«)=,

n-2/

/?+n=2m,mwN')

又因为F，q可看作一，即不大于?的最大整数，所以/(〃)=〃+等成立,

故正确;

故答案为：②③.

【点睛】

关键点点睛:解答本题时，一方面需要通过具体购买的可乐罐数去分析实际饮用的可乐罐数,

另一方面需要对实际的购买情况进行归纳，由此得到购买的可乐罐数与实际饮用的可乐罐数

的关系，从而解决问题.

⑵(；，l)u(l，+8)

【分析】

若此函数的“友好点对”有且只有一对，则等价为函数/(x)=log〃x,(x>0)与y=-|x-2|,

(0<x<4),只有一个交点，作出两个函数的图象如图，然后分。>1和0<。<1两种情况讨论

即可

【详解】

当TWO时，函数y=|x+2]关于原点对称的函数为—y=|—x+2],即y=—|x—2],(0<x44),

若此函数的“友好点对”有且只有一对,

则等价为函数/(x)=log〃x,(尤>0)与y=—|x-2|,(0<x<4),只有一个交点，作出两个函

数的图象如图:

若a>l,则〃x)=log,X,(x>0)与y=-|x-2|,(0<xW4),只有一个交点，满足条件,

当x=4时，j=-|4-2|=-2,若0<”1,

要使两个函数只有一个交点，则满足〃4)<—2,Bpiog„4<-2=loga-4w^<4,

得a〈一;或a〉；，vO<a<l,综上;<a<l或々>1,

答案第15页，共21页

即实数a的取值范围是［；,l］u(l，+8),

故答案为：G，I)U(I,+8).

【点睛】

关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，结合函数的对称性，解题的关键是转化为对称函

数的相交问题，利用函数图像求解，考查分类讨论思想，有一定的难度

13.(1)或二:⑵①在区间(0,+?)上单调递增；②2&+3＜心日.

【分析】

(1)由图象关于原点对称知：〃T)+〃X)=O,结合函数解析式可得=1即可

求参数.

(2)由已知得/(x)=ln：W，①y=/(e')为"1-高，g(r)=lnr的构成的复合函数，

由它们在(0,+?)上均单调递增，即知y=.f(e')的单调性；②由①整理方程得k=e'(e'+l)

ex-1

在区间(O』n4］上有两个不同的解，令〃=/_］,〃€(0,3］有％=〃+,3,结合基本不等式

求其最值，进而确定&的取值范围.

【详解】

(1)由题意知：〃-尤)+/(x)=0,整理得侬('x+匕S-I1=0,即

x-\X+1

(a-蛾V-6=炉-1,对于定义域内任意x都成立,

答案第16页，共21页

（"力=1a=2a=-2

,解得b=I或

b2=\b=-\

\ci=z

⑵由。>。知：k=1

由ekg⑺=lnt在(0,+?)上均单调递增,

y=f(e')在区间(0,+?)上的单调递增.

②由①知In巴]一x+lnZ=O,可得In吐Llnd+ln%=0,即左=£｛上）在区间（0,ln4]

xx

e+le'+le

上有两个不同的解，令“=e=l,(0,3］

...卜=e'(e'+l)=("+1("+2)=〃+2+3N2,号+3=20+3当且仅当〃=0时等号成立,

e*-1uu\u

而％="+*2+3在((),&［上递减，在［也3］上递增，且〃=3时4=7与0.

u3

?.2^+3<fc<—.

3

【点睛】

关键点点睛：

(1)利用函数的对称性，结合解析式列方程求参数值；

(2)根据对数型复合函数的构成判断单调性，应用参变分离、换元思想，将方程转化为

k="+2+3在“«0,3］上存在不同的“对应相同的女值，求参数范围.

14.

(1)卜55196x1.022’

(2)①24；②不能；理由见解析

【分析】

(1)由题意得67207=55196/，，两边取自然对数化筒计算可求得"，从而可求得①式的人

口增长模型，

答案第17页，共21页

…f(k)600左+13600600(上一1)+13600

(2)①由音可得------不一<-~~/了一，化简计算得%>23.8,从而

f(I)%e%e(«"

可求出正整数%的最小值，

②由①当&>23.8时，〃由</依-1),所以当发>23时,/(由最大,计算”23)。0.301,

从而得0.301x1000=301<400,进而可得结论

(1)

由题意可得%=55196,则67207=55196e",In67207=In(55196^,r)=ln55196+9r,

所以9r=ln67207—ln55196=9x0.02188,所以r=0.02188,

所以y=55196e3.3s55196x1.022'.

(2)

①由f(k扃)<1,得管/)、<〃/i)、，所600k+13600以600(^-1)+13600，

化简得600〃+13600<(60(U+13000)，，即600k+13600<(600火+13000)x1.022,解得

0.132女>3.14,%>23.8因为火为正整数，所以正整数k的最小值为24,

②由①当%>23.8时，/(*)</(*-1),所以当女>23时，f(k)最大,

600x23+13600600x23+1360027400

"23)=比0.301,gp0.301x1000=301<4(X),

55196xl.0222391050

所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克.

15.(1)“X)在区间(0,+功上单调递增，在区间(F,0)上单调递减；(2)a=g.

【分析】

(1)易知函数的定义域为R,容易证明函数是一个偶函数，，先探讨函数在(0,+8)上的单

调性，再根据偶函数的特征得到函数在(—,0)上的单调性.

(2)根据题意可以发现函数g(x)向左平移一个单位后是偶函数(定义为力(力)，现在考虑

函数/?(x)只有一个零点即可，•••函数的图像关于y轴对称，.••唯一的零点必然在40处，

解得即可.

【详解】

(1)“X)的定义域为(F，m),对任意的X,有/(f)=ef+e'=/(x),

答案第18页,共21页

所以函数〃x)=e、+为偶函数.

先考虑了(X)在(口，伊)上的单调性：

e(O,M),且“<X2，

有f(xj_f(%)=(e，+e』)_(W+ef)=(e'y)+(e』-e』)

由工2>』>0,得e*—e-vO,eX|+X2>1,ef+传>0,于是〃与)一/(毛)<°，

即〃芭)</(々)，所以〃x)在(0,+8)上单调递增.

又因为f(x)是偶函数，所以〃x)在(—,0)上单调递减.

综上所述，/(x)在区间(0,”)上单调递增，在区间(—,0)上单调递减.

(2)因为g(x)=x2_2x+a(e*T+eTM)

=(x-l)2+a[e,-|+e'(x-1)]-l

将g(x)的图像向左平移1个单位得至1」/7(耳=丁+。卜，+葭)-1,

对任意的xeR,有MT)=MX)，故Mx)是偶函数.

要使g(x)有唯一零点，即/?(x)有唯一零点，而从”的图像关于y轴对称，

故"(0)=0,求得”=g.

由(1)可知，当a=g时，力⑺在区间(0,+8)上单调递增，在(3,0)上单调递减，又包0)=0,

故可知Mx)有唯一零点0,符合题意，故〃=；.

16.(1)证明见解析；(2)；(3)as(-00-1)0(-1,1).

【分析】

(1)根据单调性的定义，先设自变量加三并给定大小关系，再根据/(百)-/(々)与0的大