高中数学课堂教学中的合作探究案例分析

高中数学课堂教学中的合作探究案例分析

苏霍姆林斯基说过：“人的内心有一种根深蒂固的需要，人们总

想感到自己是发现者、研究者、探寻者。”可见，学生都有着发现、

探究知识并获得成功的强烈愿望。因此，一次高效的课堂探究活动，

在激发学生的思维、提高学生的学习能力方面，具有不可估量的作用。

那么，如何让学生在课堂的有限时间内完成对问题的深入探究？如何

让不同层面的学生都积极参与到学习活动中来？这就要求教师能够

精心地设计问题，充分考虑提出问题的时机，让各小组的学生之间能

有合作和分享，在学生交流、互动的过程中教师能进行必要的点拨，

把握好探究的方向和节奏，对于课堂生成教师能做到机智应对。笔者

在2012年12月份参加了第八届“名师之路”大型教研活动暨南通市

高中高效课堂推进会，对上课教师的课堂探究活动进行了认真的观察、

分析，收获良多，在此，摘选几个优秀案例，供同行们参考。

一、精心创设问题情境，培养学生的探究欲望

【案例片段】苏教版必修5的正弦定理一一对公式和定理的建构

如图1,RtABC中的边角关系：（用边a,b,c,角A,B,C,外

接圆半径R表示）

sinA=；sinB=；sinC=.

a=；b=；c=.

如图2、3,任意ABC中的边角关系也可以如此表示吗？如何证

明？（图2、3中线段BD和CD是在探究过程中逐步加上去的）

教师先用投影仪给出第一个问题让学生解答，因为是在熟悉的直

角三角形中求解，学生们很快就得出结论：・=・=・=2R。接着，教

师给出第二个问题让学生们分组合作探究，笔者观察了身旁一个小组

的互动情况。

学生显得很好奇，探究欲望很强烈，跃跃欲试。

生1：这个结论应该是成立的，在等边三角形中显然成立。

生2：是啊，可怎么证明呢？

师：看能不能把任意三角形问题转化为直角三角形问题来解决。

学生抬头看图1。（沉思）

生3：图1中有直径的，这里也作一条直径试试。

生4：对啊！这样就可以有直角三角形了。（兴奋）

学生开始各自动手作图、研究、讨论，得出这个问题的证明方法，

互相交流并完善，然后由小组代表交给教师，教师再用实物投影仪展

示其中写得较好的几组作品并做适当的补充，最后用投影仪给出这个

问题的证明过程如下：

证明：不妨设NA为最大角。

（1）若NA为直角（图1）,我们已经证得结论成立。

（2）若NA为锐角（图2）,作ABC的外接圆圆0,作直径BD交

圆0于D,连结CDo因为直径所对的圆周角是直角，所以NBCD=90°,

因为同弧所对的圆周角相等，所以ND=NA,所以・=・=BD（直径）

=2RO同理可得・=2R,所以・=・=・=2R

(3)若NA为钝角(图3),作ABC的外接圆圆0,作直径BD交

圆。于D,连结CD。因为ND=180°-ZA,所以・=・=・=2R,同理可

得・=2R,所以・=・=・=2R。

由(1)(2)(3)知，结论成立。

狄更斯说过：”教学的艺术全在于如何恰当地提出问题和巧妙

地引导学生作答。”在该案例中，教师没有照搬教材上的设计引入正

弦定理，也没有按照教材上的两种证法给出证明，而是在习题的基础

上精心设计问题情境，引发学生的认知冲突，体现了教师独具匠心的

一面。首先，在直角三角形这个学生的“最近发展区”上建构新知,

能有效地激发学生的思维，自然地唤起学生的探究欲望。其次，教师

通过三角形的外接圆，引领学生把任意三角形问题转化为直角三角形

问题，这不仅提高了学生分析问题和解决问题的能力，而且让学生从

一开始就充分认识到正弦定理中的比值是三角形外接圆的直径，这样

有助于学生更全面、更深刻地理解定理和公式。教材上的两种证法因

为没有引入外接圆，故没有明确比值为直径，虽然在后面的习题中有

所补充，但总有些“相见恨晚”的感觉。尤其是证法2利用了向量的

数量积公式，方法虽好但门槛较高，笔者认为这种方法更适合课堂讲

授或者课外探究。

二、设计课堂有效对话，引领学生深入探究

【案例片段】苏教版选修2-1的空间角的计算一一对用向量法求

二面角的进一步探究

如图4,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1的大

小。

学生通过计算分别得到了平面A1BD的法向量nl和平面C1BD的

法向量n2的坐标，由于选取法向量方向的不同，在求cos时出现了

两个不同的结果■和-■,而二面角Al-BD-C1的余弦值是唯一的，应

如何取舍呢？

师：根据图形可知，二面角A1-BD-C1的余弦值为（书本上

的做法）

同学们开始议论起来，表示有异议。

生1：为什么不是-■呢？图形上不好确定该二面角的平面角是

钝角还是锐角。

师：说得好，你很有想法，那有什么好的方法可以解决这个问

题呢？

学生沉思。

生2：先确定两个法向量的方向。

师：好的，大家画一下二面角半平面法向量的所有情况，先独

立思考，再分组研究，寻找规律。

全体学生开始动手画图，独立思考后把自己的想法和小组的同伴

交流、分享。

生3：当两个法向量的方向同时指向半平面或同时离开半平面时,

平面角和法向量的夹角互补；当其中一个法向量指向半平面，另一个

法向量离开半平面时，平面角和法向量的夹角相等。

师：分析得好，能否用更简洁的语言描述这个规律呢?

生4：同进同离则补，一进一离则等。

生5：我有更简洁的：同则补，异则等。(学生热列鼓掌)

德国教育家第斯多惠说过：”教学的艺术不在于传授本领，而在

于激励、唤醒和鼓舞。”在该案例中，教师没有把结论直接告诉学生，

而是通过精心设计的师生对话，引导学生发现问题，激起学生生动、

活泼的思考，激励学生通过自己的能力探究和解决问题，学生最终突

破难点，获得了成功。

三、引入科学评价，促成师生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三复习课一一对高考真题的数学课堂功能的挖掘

若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是.

教师通过引导学生小组合作探究，得出如下三种解法。

方法一：2x+y+6=xy,y=・，而y>0,■>(),即x>l,故xT>0,

xy=x­・=2(x-1)+・+10N18,当且仅当2(xT)=■即x=3时取

等号.

xy的最小值为18.

方法二：x,y为正数，2x+y22,，又2x+y+6=xy,xy》2・+6,

即(■)2-2・・-620xy218.xy的最小值为18.

方法三：若设2xy=2t,则2x+y=t-6,2x,y是方程u2-(t-6)

u+2t=0的两个正根.从而由=(t-6)■-8t202x+y=t-6>02xy=2t>0

同时成立得t118.xy的最小值为18.

师：请同学们探究一下这三种方法的思想来源。

各小组同学展开热烈讨论。

生1:这三种方法分别从函数、不等式、方程的角度来解决问题。

生2：解决不等式问题需要函数的帮助，解决函数问题需要方程、

不等式的帮助。

师：说得很不错，函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟"，我

们借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化难为易、化

繁为简。

师：同学们在刚才合作交流的过程中，表现都很好，下面我想请

同组的生3和生4两位同学互相点评一下对方。

生3：你在别人发言时能认真倾听；在交流时，把自己的想法和

知道的信息都说出来，而且在合作交流的过程中你都在积极思考问题,

值得我们学习。

生4：你对问题有独到的见解，大家体会到了你丰厚的知识、

扎实的基本功。我欣赏的不仅是你优异的成绩，还有你执着的精神。