高中数学-正态分布-含答案

一.选择题(共11小题)

1.(2022•贵州模拟)已知随机变量X服从正态分布N(120,52),若P(115<X<120)=〃，

则P(X>125)=()

A.\-pB.C.D.

222

2.(2022春•河南月考D已知某种袋装食品每袋质量(单位：g)X~N(500,

16).P(〃-b<X,,〃+cr)=0.6827,P(〃-2cr<X”〃+2cr)=0.9545,

尸(〃-3。<X,,〃+3cr)=0.9973.则下面结论正确的是()

A.cr=16

B.P(496<X„504)=0.9545

C.随机抽取10000袋这种食品，每袋质量在区间(492,504］的约8186袋

D.随机抽取10000袋这种食品，每袋质量小于488g的不多于14袋

3.(2022•重庆模拟)已知某批零件的尺寸X(单位：min｝服从正态分布N(10,4),其中Xe［8,

14］的产品为“合格品”，若从这批零件中随机抽取一件，则抽到合格品的概率约为()

(附：若X~N(〃,cr2),则P(〃-碑田〃+0卜0.6827,P(〃-2或人〃+2。)“0.9545,

P(〃一3族双〃+3cr)q0.9973)

A.0.3414B.0.4773C.0.512D.0.8186

4.(2022•达州模拟)已知随机变量NQ,(T2)(CT>0),若尸(1<以4)=0.32,则P记>4)=(

)

A.0.18B.0.36C.0.32D.0.16

5.(2022春•沙坪坝区校级月考)重庆一中学抽取了1600名同学进行身高调查，已知样本

的身高(单位：cm)服从正态分布N(170,4)若身高在165c5到175ca的人数占样本总数的

《，则样本中不低于175cm的同学数目约为()

A.80B.160C.240D.320

6.(2022春•沙坪坝区校级月考)随机变量J服从正态分布N(〃,/)，若函数

/(x)=P(x—啜gX)为偶函数，则〃=()

A.--B.0C.-D.1

22

第1页共16页

7.(2022•张掖模拟)良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学

生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间(单位：小时)，经调查发现，

这1200名学生每天的睡眠时间X~N(8,1),则每天的睡眠时间为5~6小时的学生人数约为

()(结果四舍五入保留整数)

(附：若X~N(〃,〃),则-成W〃+o■卜0.6827,-2CT^IJV〃+2a)~0.9545,

P(〃-3点N+3cr)»0.9973.)

A.163B.51C.26D.20

8.(2021春♦沙坪坝区校级期中)据统计，某地区所种植苹果的果实横径(单位：〃皿)服从

正态分布M70，52),则果实横径在［60,75)的概率为()

附：若乂~%(〃。2),则P(〃-cr<X<〃+cr)=0.6827；P(/z-2a<X<ju+2a)=0.9545.

A.0.6827B.0.8413C.0.9545D.0.8186

9.(2021•新高考II)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,4),则下列结论中不正确的

是()

A.b越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

10.(2021•重庆模拟)已知随机变量X服从正态分布N(6,o-2)(<r>0),若>(X>3)=0.8,

则P(3<X<9)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

11.(2021•沙坪坝区校级模拟)随机变量4服从正态分布N(3,4)且

P(|4-3］蜃)=2尸七2a),则〃=()

4

A.-B.1C.-D.3

23

二.多选题(共4小题)

12.(2022春•重庆月考)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与

推广，发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交

稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.袁老领衔的

科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已

第2页共16页

经实现1100公斤.现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分

别记为g,77）均服从正态分布，其中g~N（A，cr：），，cr；）.如图，已知〃[=1150,

〃2=1130,cr,2=2500,cr；=1600,两正态密度曲线在直线x=左侧交于点加（飞，%），

C.尸D.P©>1250）>P（”1050）

13.（2021春•北错区校级月考）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X,丫）均服从正

态分布，即X~N（〃「可），Y~N（〃2，员），x,y的正态分布密度曲线如图所示，则

下列说法正确的有（）

参考数据：若g~N（",4），则P（〃一或无〃+<T）。0.6827,P（〃一2成听〃+2（T）~0.9545.

A.P（〃「2al领kAi+0-,）-0.8186B.P（X笑％）〈尸（F例）

C.尸（X领bf）<P（X页）D.P（Y^）<P（Y外）

14.（2021春•沙坪坝区校级期末）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别

服从正态分布N（〃「b：）,可（从，端），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中

正确的是（）

附：随机变量X服从正态分布N（〃,4）,则尸（〃-b<X<〃+b）=0.6826

第3页共16页

B.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

C.甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差更大

D.若0=5,则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

15.（2021•大连二模）已知三个正态分布密度函数E（x）=1,2,3)

的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.cr,=(T2=<r3B.cr,=(r2<cr,C-

三.解答题（共2小题）

16.（2021秋•重庆月考）2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康

发展的意见》，某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生

投掷实心球6.9米达标，女生投掷实心球6.2米达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每生

可以投掷3次，一旦达标无需再投.从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概

率超过0.1,则该校学生还需加强实心球项目训练.已知该校男生投掷实心球的距离。服从

正态分布N（6.9,0.25）,女生投掷实心球的距离&服从正态分布N（6.2,0.16）6,&的单位:

米）.

（1）请你通过计算，说明该校学生是否还需加强实心球项目训练；

（1【）为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实

心球的距离生服从正态分布M6.516,0.16）,且P（X,,6.832）=0.785.此时，请判断该校女

第4页共16页

生投掷实心球的考试达标率能否达到99%?并说明理由.（取的值为2.15）

17.（2021秋•重庆月考）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，

到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国

脱贫攻坚史上的一大壮举.重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘

帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手.奉节县规划发展了以高山烟叶、

药材、反季节蔬菜：中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品己经

成为了当地村民的摇钱树.尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无

核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各

职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.奉节县种植的某品种脐橙

果实按果径X（单位：相切）的大小分级，其中Xe（70,90］为一级果，Xe（90,110］为

特级果，一级果与特级果统称为优品.现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000

（1）由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布其中〃

近似为样本平均数于，b近似为样本标准差s,已知样本的方差的近似值为100.若从这批

脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代

表）

（2）这批采摘的脐橙按2个特级果和〃（〃..2,〃eN*）个一级果为一箱的规格进行包装，再经

过质检方可进入市场.质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果

实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”.

①试用含〃的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率

第5页共16页

②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为〃p),求函数f(p)的最大值，及取

最大值时〃的值.

参考数据：若随机变量X服从正态分布N(〃,cr2),则P(〃-b<X,,〃+b)e0.6827,

P"一2b<X,,〃+2cr)q0.9545，-3cr<X,,〃+3cr)«0.9973.

第6页共16页

2022年04月23日199****1243的高中数学组卷

参考答案与试题解析

选择题(共11小题)

1.(2022•贵州模拟)已知随机变量X服从正态分布N(120,52),若尸(115<X<120)=p,

则尸(X>125)=()

A.]-pB.C.D.

222

【解答】解：••・随机变量X服从正态分布N(120,52),P(115<X<120)=p,

.•.P(115<X<120)=P(120<X<125)=p,

.-.P(X>125)=--/?=^-^.

故选：D.

2.(2022春•河南月考)已知某种袋装食品每袋质量(单位：g)X~N(500,

16).P(〃-er<X,,〃+b)=0.6827,-2cr<X,,〃+2a)=0.9545,

P(〃-3cr<X,,〃+3b)=0.9973.则下面结论正确的是()

A.cr=16

B.P(496<X”504)=0.9545

C.随机抽取10000袋这种食品，每袋质量在区间(492,504]的约8186袋

D.随机抽取10000袋这种食品，每袋质量小于488g的不多于14袋

【解答】解:对于A,ver2=16,

/.cr=4.故A错误，

对于8,•.•某种袋装食品每袋质量(单位：g)X~N(500,16),

P(496<X„504)=0.6827,故3错误，

对于C,尸(492<X殁E04)=尸(492<X500)+P(500<X?504)=°9545+0-6827=0.8186,

22

故随机抽取10000袋这种食品，每袋质量在区间(492,504]的约8186袋，故C正确，

对于。，根据概率的意义，有可能多于14袋，故。错误.

故选：C.

3.(2022•重庆模拟)已知某批零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(10,4),其中Xe[8,

第7页共16页

14］的产品为“合格品”，若从这批零件中随机抽取一件，则抽到合格品的概率约为()

(附：若X~,则尸(〃一族归〃+cr)x0.6827,2(〃-2超收〃+2b)=0.9545,

尸(〃-3滋上〃+30)*0.9973)

A.0.3414B.0.4773C.0.512D.0.8186

【解答】解：•.•某批零件的尺寸X(单位：加切服从正态分布N(10,4),其中Xe［8,14］的

产品为“合格品”，

...»|4)=「(8燃⑵+知燃」4),厘+空型=08|86.

2222

故选：D.

4.(2022•达州模拟)已知随机变量J~N(1,<72)(。>0)，若「(1<以4)=0.32,则尸©>4)=(

)

A.0.18B.0.36C.0.32D.0.16

【解答】解：•.•随机变量J~N(1,cr2)(b>0),4)=032,

则PC>4)=>°；2x2=o18,

故选：A.

5.(2022春•沙坪坝区校级月考)重庆一中学抽取了1600名同学进行身高调查，已知样本

的身高(单位：初)服从正态分布N(170,〃)若身高在1655到1755的人数占样本总数的

［，则样本中不低于175cm的同学数目约为()

A.80B.160C.240D.320

【解答】解：由题意P(165<X<175)=9=0.8,

.•.P(X..175)=E^=0.1,

2

所以不低于175cm的同学数目约为0.1x1600=160,

故选：B.

6.(2022春•沙坪坝区校级月考)随机变量J服从正态分布M〃,〃)，若函数

/(x)=P(x-掇力X)为偶函数，则〃=()

A.--B.0C.-D.1

22

【解答】解：因为函数f(x)为偶函数，所以/(-%)=/(%),

第8页共16页

.•.P(X-啜0x)=P(-x-l轰听-x),

故选：A.

7.（2022•张掖模拟）良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学

生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现,

这1200名学生每天的睡眠时间X~N（8,1）,则每天的睡眠时间为5~6小时的学生人数约为

（）（结果四舍五入保留整数）

（附:若X~N3b2）,则尸〃+cr）B0.6827,尸（〃一2遍W〃+2o■卜0.9545,

P（〃-3成1卜+3<r）®0.9973.）

A.163B.51C.26D.20

【解答】解：•.•X~M8,1），

=8,cr=1>

P（5<X<6）=P（〃-3cr<X—2cr）

=-3cr<X<〃+3a）--2cr<X<〃+2cr）］

（0.9973-0.9545）=0.0214,

•.•高三年级有1200名学生，

每天的睡眠时间为5~6小时的学生人数约为1200x0.0214=25.68v26.

故选：C.

8.（2021春♦沙坪坝区校级期中）据统计，某地区所种植苹果的果实横径（单位：〃”箱服从

正态分布M70，5?）,则果实横径在［60,75）的概率为（）

附：若X~N(〃,/),则尸(〃一cr<X<〃+cr)=0.6827；P(〃-2。<X<〃+2cr)=0.9545.

A.0.6827B.0.8413C.0.9545D.0.8186

【解答】解：•••X~N（70,52）,

JLI—70,CT=5,

.・.P(65<X<75)=0.6827,P(60<X<80)=0.9545,

0.95450.6827

P(60<X<75)=+-=---0-.-8--1-86.

22

故选：D.

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9.(2021•新高考II)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,4),则下列结论中不正确的

是()

A.b越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

【解答】解：因为某物理量的测量结果服从正态分布

所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差人越小，则分布越集中，

对于A,b越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,101)内的概率

越大，故选项A正确；

对于3,测量结果大于10的概率为0.5,故选项3正确；

对于C,由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率,

故选项C正确；

对于。，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10,10.3)分

布在10附近的区域，

故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项。错误.

故选：D.

10.(2021•重庆模拟)已知随机变量X服从正态分布N(6,cr2)(cr>0),若P(X>3)=0.8,

则尸(3<X<9)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【解答】解：因为P(X>3)=0.8,

所以P(X,,3)=1-0.8=0.2,

由正态分布的性质，P(3<X<9)=1-2P(X„3)=l-2x0.2=0.6.

故选：C.

11.(2021•沙坪坝区校级模拟)随机变量。服从正态分布N(3,4),且

「(|J—3|蜃)=2P©2a),则a=()

14

A.-B.1C.-D.3

23

【解答】解：由已知得：〃=3,cr=2.

第10页共16页

因为P（|J—3|隔）=P（J3+。）+「（观-。）=2尸片2a）,

因为PC屋+a）=P43-o）,故P（或独-a）=P（42a）.

故3-a=2«,解得a=l.

故选：B.

二.多选题（共4小题）

12.（2022春•重庆月考）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与

推广，发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交

稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.袁老领衔的

科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已

经实现1100公斤.现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分

别记为〃）均服从正态分布，其中b；）,b；）.如图，已知M=1150,

=1130,of=2500,=1600,两正态密度曲线在直线x=左侧交于点加（用,%）,

C.P(^>x())<P(/7>xn)D.>1250)>P(r)<1050)

【解答】解：由图象可知?修<“)>尸(4<〃2),尸(”“)>尸(”外)，故选项A错误，B选

项正确；

P©>x0)=l-P&,x(1),P(rj>x0)=l-Pg为),

由图象可知尸(弊此)>尸①%),故选项c正确；

由〃]=1150,(T]=50,ju2=1130,cr,=40,

尸(J>1250)=P(J>从+2])，P(7<1050)=尸(77<-2(T2)=P(rj>外+24)，

第11页共16页

P化>1250）=P（7<1050）,故选项。错误.

故选：BC.

13.（2021春•北错区校级月考）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X,Y）均服从正

态分布，即X~N（〃「可），Y~N（〃2，员），x,y的正态分布密度曲线如图所示，则

下列说法正确的有（）

参考数据:若"N（",4），则尸（〃—源听〃+cr）a0.6827,P（〃一2点g〃+2b）a0.9545.

A.尸-2cF[领k〃[+5）=0.8186B.p（x笑么）<p（y//,）

C.尸（X甄）〈尸（X页）D.P（Y^,）<P（YH）

解答】解由正态分布

P（M-2?都人4-5）=-2取欢+2、:舟/国+必）工0.1359

M则

PQt、_2］领k//,+巧）=P（/4—2必领k4一5）+P（从-巧领k冉+CT.）»0.1359+0.6827=0.8186

,故A正确，

P（X领么）=尸（丫/A）=0.5,故3错误,

由图可知y分布更集中，所以则P（x别r；）>p（x无），故C错误，

由图可知从<外，所以尸（丫领人）〈尸（y4），故。正确.

故选：AD.

14.（2021春•沙坪坝区校级期末）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别

服从正态分布N（〃一才），NQ4，另），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中

正确的是（）

附：随机变量X服从正态分布N（〃,cr2）,则尸（〃一b<X<〃+<7）=0.6826

第12页共16页

B.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

C.甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差更大

D.若0=5,则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

【解答】解：由图象可知，甲的图象关于x=75对称，乙的图象关于x=85对称，

所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，

故选项A,8正确；

因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，

所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，

则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，

故选项C错误；

若5=5,则甲同学成绩高于80分的概率约为上竽生=0.1587,

故选项。正确.

故选：ABD.

缪2

15.（2021♦大连二模）已知三个正态分布密度函数々（xX-yu-e2才（xeR,i=l,2,3）

的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

【解答】解：因为X=〃是对称轴，观察图象可知：4<〃2=4，

第13页共16页

而y=/(x)与y=/(x)的图象可以相互平移得到，且>=例。)的图象显得更“矮胖”，

故<T[=%<%.

故选：BD.

三.解答题(共2小题)

16.(2021秋•重庆月考)2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康

发展的意见》，某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生

投掷实心球6.9米达标，女生投掷实心球6.2米达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每生

可以投掷3次，一旦达标无需再投.从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概

率超过0.1,则该校学生还需加强实心球项目训练.已知该校男生投掷实心球的距离。服从

正态分布N(6.9,0.25),女生投掷实心球的距离与服从正态分布N(6.2,0.16)©，&的单位：

米).

(I)请你通过计算，说明该校学生是否还需加强实心球项目训练；

(II)为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实

心球的距离女服从正态分布N(6.516,0.16),且尸(X,,6.832)=0.785.此时，请判断该校女

生投掷实心球的考试达标率能否达到99%?并说明理由.(取标的值为2.15)

【解答】解：(I)由题意该校男生投掷实心球的距离。服从正态分布N(6.9,0.25),女生投

掷实心球的距离务服从正态分布N(6.2,0.16),

可知男生和女生的达标概率均为,不达标的概率为工，

22

所以选5人进行测试，若两人不达标的概率为C；x(g)2x(l_g)3q>0.1,

所以该校学生还需要加强实心球项目训练.

(II)由&2~N(6.516,0.16),即方~N(6.2+0.316,0.4?)且P(X,,6.832)=0.785,

即P(X,,6.516+0.316)=0.785,

P(X蜃.2)=P(X6.832)=0.785,

^10=2.15,­=0.215,-^-=0.2153=0.01,

101000

则女生的达标率为1-(1-0.785)*=0.99,

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所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到99%.

17.(2021秋•重庆月考)在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，

到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国

脱贫攻坚史上的一大壮举.重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年