黑龙江省绥化市2023年中考数学试卷

黑龙江省绥化市2023年中考数学试卷

一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.计算|一5|+20的结果是（）

4.纳米是非常小的长度单位，Inm=0.000000001m,把0.000000001用科学记数法表示为（）

A.lxIO"B.1x10-8C.lx108D.lx109

5.下列计算中，结果正确的是（）

A.(—pq)3=p3q3B.x-x3+x2-x2=x8

C.V25=+5D.(a2)3=a6

6.将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，21=25。，22=30。，贝此3的度数为（)

D.75°

7.下列命题中叙述正确的是（）

A.若方差sj>s：,则甲组数据的波动较小B.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离

C.三角形三条中线的交点叫做三角形的内心D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

8.绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了

如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图.则下列说法正确的是（）

组别参赛者成绩

A70<x<80

B80<x<90

C90<x<100

1

D100<x<110

0708090100110120工（分钟）

A.该组数据的样本容量是50人

B.该组数据的中位数落在90〜100这一组

C.90〜10（）这组数据的组中值是96

D.110-120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51。

9.在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B,C的横坐标都是3,BC=2,点

D在47上，且其横坐标为1,若反比例函数y=[（x>0）的图象经过点B,D,则k的值是（）

10.某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的上.在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货

物，两车又共同运送货物天，运完全部货物.求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物

需x天，由题意列方程，正确的是（）

A.1+B.1++=1

C依+办+h1D.|++

11.如图，在菱形ABCD中，LA=60°,AB=4,动点M,N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长

度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终

点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，A/MN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函

数关系的图象是（）

2

12.如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE,过点B作BF_L4E于点F,连接BD交4E

于点G,PH平分ZBFG交于点H.则下列结论中，正确的个数为（）

222

@AB=BF-AE②SABGF：5AB4F=2：3③当/B=a时，BD-BD-HDa

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

13.因式分解：x2+xy—xz—yz=.

14.若式子因有意义，则x的取值范围是.

X

15.在4张完全相同的卡片上，分别标出1,2,3,4,从中随机抽取1张后，放回再混合在一起.再随机抽

取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是.

11

16.已知一元二次方程%2+%=5%+6的两根为%1与%则十+十的值为______.

X1x2

z%+2x-1、.x-4

17.化筒：（三不\2_以+4）,不^=--------

18.如图，。。的半径为2cm,AB为。0的弦，点C为法上的一点，将脑沿弦AB翻折，使点C与圆心

19.如图，在平面直角坐标系中，△NBC与△AB'C'的相似比为1：2,点A是位似中心，已知点4（2,0）,

点C®,匕），NC=90。.则点C'的坐标为.（结果用含a,b的式子表示）

3

20.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE,将CE绕点C顺时针旋转60°

得到CF.连接4F,EF,DF,则△COP周长的最小值是.

第20题图第21题图

21.在求1+2+3+……+100的值时，发现：1+100=101,2+99=101……，从而得到1+2+3+…+

100=101x50=5050.按此方法可解决下面问题.图（1）有1个三角形，记作的=1；分别连接这个三角

形三边中点得到图（2）,有5个三角形，记作。2=5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图

（3）,有9个三角形，记作。3=9；按此方法继续下去，则ai+a2+ci3++即=.（结果用

含n的代数式表示）

22.已知等腰△ABC,乙4=120。，AB=2.现将△ABC以点B为旋转中心旋转45。,得到△4BC',延长C'A

交直线BC于点D.则A'D的长度为.

三、解答题（本题共6个小题，共54分）

23.已知：点P是。。外一点.

（1）尺规作图：如图，过点P作出。0的两条切线PE,PF,切点分别为点E、点F.（保留作图痕迹，不

要求写作法和证明）

（2）在（1）的条件下，若点D在。。上（点D不与E,F两点重合），且ZEPF=30。.求NEDF的度数.

24.如图，直线MN和EF为河的两岸，且MNIIEF,为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B

点测得“BE=30°,从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得“DE=45°.

（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）

EPDB

4

(2)若从D点继续沿DE的方向走(12次+12)米到达P点.求tan/CPE的直

25.某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车(每种型号的客车至少租用一辆).A型车

每辆租金500元，B型车每辆租金600元.若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆

B型车坐满后共载客340人.

(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？

(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地.

该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

(3)在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令营目

的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地.

下图是两车离开学校的路程s(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数图象.根据图象信息，求甲乙

两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米.

S（千米）,

300

00.53.5t（小时）

26.已知：四边形48CD为矩形，48=4,AD=3,点F是BC延长线上的一个动点（点F不与点C重合）.

连接/F交CD于点G.

图一图二图三

（1）如图一，当点G为CD的中点时，求证：△ADG三AFCG.

（2）如图二，过点C作CEJ.AF,垂足为E.连接BE,设BP=x,CE=y.求y关于x的函数关系式.

（3）如图三，在（2）的条件下，过点B作交心的延长线于点M.当CP=1时，求线段

的长.

6

27.如图，MN为。。的直径，且MN=15,MC与ND为圆内的一组平行弦，弦ZB交MC于点H.点A

在砒上，点B在讹上，AOND+£.AHM=90°.

(1)求证：MH-CH=AH-BH.

(2)求证：AC=BC.

(3)在。。中，沿弦ND所在的直线作劣弧正的轴对称图形，使其交直径MN于点G.若sinzCM/V=|,

求NG的长.

28.如图，抛物线yi=a/+b%+c的图象经过做一6,0),6(-2,0),C(0,6)三点，且一次函数y=kx+6

(1)求抛物线和一次函数的解析式.

7

（2）点E,F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧.这样的E,

F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.

（3）将抛物线月=以2+版+。的图象向右平移8个单位长度得到抛物线丫2,此抛物线的图象与x轴交于

M,N两点（M点在N点左侧）.点P是抛物线丫2上的一个动点且在直线NC下方.已知点P的横坐标为m.

过点P作PD1NC于点D.求m为何值时，CD+：PD有最大值，最大值是多少？

8

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：A、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

B、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；

D、属于中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意.

故答案为：C.

【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.

中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那

么这个图形叫做中心对称图形.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：原式=5+1=6.

故答案为：D.

【分析】根据绝对值的性质以及0指数哥的运算性质可得原式=5+1,然后根据有理数的加法法则进行计算.

3.【答案】B

故答案为：B.

【分析】左视图是从几何体左面观察所得到的平面图形.注意：看不见的棱用虚线表示.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：0.000000001=1X109.

故答案为：A.

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中W|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变

成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；

当原数的绝对值小于1时，n是负数.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：A、(-pq)3=p3q3,故错误；

B、x-x3+x2-x2=x4+x4=2x4,故错误；

C、V25=5,故错误；

9

D、(a2)3=a6,故正确.

故答案为：D.

【分析】积的乘方，先对每一项分别乘方，然后将结果相乘，据此判断A；根据同底数塞的乘法法则以及

合并同类项法则即可判断B；根据算术平方根的概念即可判断C；幕的乘方，底数不变，指数相乘，据此判

断D.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：对图形进行点标注：

BA

：AB〃CD,ZBAC=Z1+9O°=115°,

二ZACD=180°-ZBAC=65°,

Z3=l80°-ZACF-ZACD=180o-45°-65o=70°.

故答案为：C.

【分析】对图形进行点标注，贝!|/BAC=/l+90o=115。，根据平行线的性质可得NACD=180O-/BAC=65。,

然后根据/3=180"/ACF-/ACD进行计算.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：A、若方差SJ>SJ,则乙组数据的波动较小，故错误；

B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故错误；

C、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故错误；

D、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故正确.

故答案为：D.

【分析】方差越小，波动越小，据此判断A；根据点到直线的距离的概念可判断B；根据重心的概念即可

判断C；根据角平分线的性质即可判断D.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：样本容量为12+24%=50,样本容量没有单位，故A错误；

80〜90分的人数为50-4-7-12x2=15(人)，故中位数落在90〜100这一组，B正确；

90〜100这组数据的组中值是95,故C错误；

110-120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为7+50x3600=504。，故D错误.

故答案为：B.

10

【分析】利用C组的人数除以所占的比例可得样本容量，样本容量没有单位，据此判断A；根据总人数求

出80〜90分的人数，找出低25、26个数据所在的组，进而判断B；根据组中值的计算方法可判断C；利用

E组的人数除以总人数，然后乘以360。可得所占扇形圆心角的度数，据此判断D.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：...点A在y轴的正半轴上，人(2〃*轴，点8,C的横坐标都是3,BC=2,点D在AC

上，且其横坐标为1,

...可设B(3,a),则D(1,a+2).

V反比例函数月的图象经过点B,D,

，3a=a+2,

a=l,

AB(3,1),

Ak=3xl=3.

故答案为：c.

【分析】由题意可设B(3,a),则D(1,a+2),根据反比例函数月的图象经过点B,D可得3a=a+2,

求出a的值，得到点B的坐标，进而可求出k的值.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可得：甲车1天的运货量为《，甲、乙义天的运货量为%%3，

二弼招尸L

故答案为：B.

【分析】由题意表示出甲车1天的运货量，甲、乙④天的运货量，然后根据总量为单位“1”就可列出方程.

11.【答案】A

【解析】【解答】解：连接BD,过B作BEJ_AD于点E,当0<t<4时，点M在AB上，

•.•菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,

；.AB=AD,

.,.△ABD为等边三角形，

.,.AE=DE^AD=2,BE=V5AE=2次.

VAM=2x,AN=x,

11

,AM_AB_

•,丽=而二0

VZA=ZA,

JAAMN^AABN,

JZANM=ZAEB=90°,

/.MN=V71M2-AN2=y/3x,

.,.y=1xxV3x=2^x2.

当4Wt<8时，点M在BC上,

/.y=^AN-BE=1x-2V3=V3x.

故答案为：A.

【分析】连接BD,过B作BE_LAD于点E,当0<t<4时，点M在AB上，由菱形的性质可得AB=AD,

则4ABD为等边三角形，AE=DE=1AD=2,BE=gAE=2遮，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相

似可得△AMNs^ABN,由相似三角形的性质可得/ANM=/AEB=90。，利用勾股定理表示出MN,然后

根据三角形的面积公式可得y与x的关系式；当40<8时，点M在BC上，根据三角形的面积公式可得y

与x的关系式，据此判断.

12.【答案】D

【解析】【解答】解：•.•四边形ABCD为正方形，

二/BAD=/ADE=90。，AB=AD.

；BF_LAE,

二ZABF=90°-ZBAF=ZDAE,

/.cosZABF=cosZEAD,

.BF_AD

9，AB~AE,

VAB=AD,

.,.AB2=BFAE,故①正确；

设正方形的边长为a,

为CD的中点，

.♦.DE*,

12

1

tanZABF=tanZEAD^.

AB=7>1F2+BF2=V5AF=a,

.,.AF=2^a.

•.,AE=JA£)2+DE2啰a,

Z.EF=AE-AF=^q=^a.

VAB/7DE,

AGAB^AGED,

•AG_AB_D

,•而=库~

.\GE=JAE=2，

J6

FG=AE-AF-GE哼李a吟=^a,

•4尸_翎_3

,,FG-27^,

F

*e•SABGF：SAABF=2：3,故②正确；

过H分别作BF、AE的垂线，垂足分别为M、N,则四边形FMHN为矩形.

•・・FH为NBFG的平分线，

AHM=HN,

・•・四边形FMHN为正方形，

・・・FN=HM=HN,

.,.BF=2AF=^§a,FG=^i,

515

.MH_FG_1

•.前一所一号

设MH=b,则BF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b,BH=VBM2+MH2=VTOb.

VBF=^§a,

13

.*.2^a=4b,

,育

BH=VIUx^=争，

.,.BD2-BDHD=2a2-V2ax2^a=a',故④正确.

故答案为：D.

【分析】由正方形的性质可得NBAD=NADE=90。，AB=AD,根据同角的余角相等可得NABF=NDAE,

结合三角函数的概念以及AB=AD即可判断①；设正方形的边长为a,则DE^a,tanNABF=tanNEAD=%

由勾股定理可得AB=V5AF=a,则AF=1a,然后表示出AE、EF,根据平行于三角形一边的直线和其他两

边所构成的三角形与原三角形相似可得△GABS/XGED,由相似三角形的性质可得GE=|AE吗，然后表

5O

示出FG,得到需的值，利用三角形的面积公式即可判断②；过H分别作BF、AE的垂线，垂足分别为M、

N,则四边形FMHN为正方形，FN=HM=HN,需=黑=鼻,设MH=b,贝ijBF=4b,BH=V10b,据此不难

求出b与a的关系，然后表示出BH,据此判断④.

13.【答案】(％+y)(%—z)

【解析】【解答］解:原式=(x2+xy)-(xz+yz)=x(x+y)・z(x+y)=(x+y)(x-z).

故答案为：(x+y)(x・z).

【分析】原式可变形为(x2+xy)・(xz+yz),对括号中的式子提取公因式，然后分解即可.

14.【答案】》》一5且工。0

【解析】【解答】解：•.•式子区有意义，

X

x+5>0且X#),

解得x>-5且X#).

故答案为：X2-5且x/).

【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件可得：x+5K)且x和，求解即可.

15.【答案人

【解析】【解答】解：画出树状图如下：

共有16种情况，其中第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的情况数为8,

14

第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率为相.

1OZ

故答案为：

【分析】画出树状图，找出总情况数以及第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的情

况数，然后利用概率公式进行计算.

16.【答案】-飞

2

【解析】【解答】解：•••一元二次方程x?+x=5x+6,即x-4x-6=0的两根为X1与X2,

•".X|+X2=4,XlX2=-6,

.11_xr+x2_4_2

"X1x2xlx2-63-

故答案为：4

【分析】将方程化为一般形式x2-4x-6=0,根据根与系数的关系可得XI+X2=4,X,X2=-6,对待求式进行通分

可得;+；=子口，然后代入计算即可•

X1x2xlx2

17.【答案】七

【解析】【解答】解：原式=(病/一烂条)•当空

_(x+2)(x_2)_x(x_l)x(x—2)

x(x-2)2x-4

_Ix(x_2)

-x(x-2)2x-4

1

故答案为：

【分析】对括号中、外分式的分母进行分解，然后通分，再将除法化为乘法，约分即可对原式进行化简.

18.【答案】(|'兀一遍)cm?

【解析】【解答】解：连接OA、OC,0C交AB于点M,

由折叠可得OA=AC,AB1OC,

OA=0C=AC=2cm,

15

.,.0M=CM-10C=lcm,ZAOC=60°.

丁ZAMO=90°,

/.AM=7OX2-OM2=V3cm,

・・S嬲=S扇形AOC-S"OC=£2^^—gx2x禽=(金・J5)cm2.

DOU乙J

故答案为：(■|兀-回即2.

【分析】连接OA、OC,OC交AB于点M,由折叠可得OA=AC,AB1OC,则△AOC为等

边三角形，OA=OC=AC=2cm,0M=CM=10C=lcm,ZAOC=60°,由勾股定理可得AM的值，然后根据S

=

»1IKS“胫AOC-SAAOC进仃计算.

19.【答案】(6-2a,-2b)

【解析】【解答】解：过C作CMLAB于点M,过C作CN1_AB，于点N,则/ANC=NAMC=90。.

''AC"2-

'：NNAC=NCAM,

...△ACMSAACN

.AM_CM_AC

,•丽—而一称

VA(2,0),C(a,b),

；.OA=2,OM=a,CM=b,

AM=a-2,

.a—2_b_1

••丽=西=2'

；.AN=2a-4,CTM=2b,

.,.ON=AN-OA=2a-6,

：.C(6-2a,-2b).

故答案为：(6-2a,-2b).

【分析】过C作CM±AB于点M,过C作UNJ_AB，于点N,则NANC=NAMC=90。,根据题意可得第=分

16

由两角对应相等的两个三角形相似可得△ACMs^ACN,根据相似三角形的性质可得AN、

CN,然后表示出ON,据此可得点C的坐标.

20.【答案】3+3V3

【解析】【解答】解：••.△ABC为等边三角形，

：.AC=BC=6,ZABC=ZBCA=60°.

ZECF=60°,

，ZBCE=ZACF.

VCE=CF,

/.△BCE^AACF(SAS)，

，ZCAF=ZCBE.

「△ABC是等边三角形，BD是高，

ZCBE=|ZABC=3O°,CD4AC=3.

过C作CGJ_AF,交AF的延长线于点G,延长CG到H,使得GH=CG,连接DH、AH,DH与AG交于

点I,连接FH、CI,则NACG=60。,CG=GH=1AC=3,

/.CH=AC=6,

/.AACH为等边三角形，

.,.DH=CDtan600=3V3,AG垂直平分CH,

.,.CI=HLCF=FH,

CI+DI=HI+DI=DH=3技CF+DF=HF+DF>DH,

...当F与I重合，即D、F、H共线时，CF+DF取得最小值，最小值为CF+DF=DH=3百，

.♦.△CDF周长的最小值为3+3V3.

故答案为：3+3V3.

【分析】由等边三角形的性质可得NCBET/ABC=30。，CD=1AC=3,AC=BC=6,ZABC=ZBCA=60°,

根据角的和差关系可得NBCE=NACF,利用SAS证明4BCE之△ACF,得到NCAF=NCBE,过C作

CG1AF,交AF的延长线于点G,延长CG到H,使得GH=CG,连接DH、AH,DH与AG交于点I,连

接FH、CL易得AACH为等边三角形,根据三角函数的概念可得DH,由垂直平分线的性质可得CI=HI,

CF=FH,贝CI+D1=HI+DI=DH,CF+DF=HF+DF>DH,据止匕求解.

17

21.【答案】2n2-n

【解析】【解答】解：•••图(1)有1个三角形，记作ai=l；

图(2)有5个三角形，记作a2=5=l+4xl；

图(3)有9个三角形，记作a3=9=l+4x2；

...图(n)中三角形的个数为an=l+4x(n-l)=4n-3,

2

.'.ai+a2+a3+.......+an=1+5+9+........(4n-3)=^n=2n-n.

故答案为：2n2-n.

【分析】根据ai、a2>a3的值可表示出a”，然后求和即可.

22.【答案】4+2百或4-2百

【解析】【解答】解：①当AABC绕点B逆时针旋转45。得到△ABC,过B作BELAD于点E,作BD

的垂直平分线HF交DB于点H,交AD于点F,连接BF,

•..△ABC为等腰三角形，ZA=120°,AB=2,

/.ZBA,C,=ZA=120°,AB=AB=2,ZABC=30°,

，NDA，B=60。.

由旋转可得NA，BA=45。，

二ZA,BC=ZA,BA+ZABC=75°.

•/ZA,BC=ZDA,B+ZD,

.*.60°+ND=75°,

二ZD=15°.

VZDA,B=60°,AB=2,

NA'BE=30°,

；.A，E§AB=1,

.•.BE=VAB2-％E2=VI

「HF为BD的垂直平分线，

；.DF=BF,

AZD=ZFBD=15°,

二ZEFB=ZD+ZFBD=30°,

18

.*.BF==2BE=2V3)

，DF=BF=2遍，

.*.EF=VBF2-5E2=3,

A,D=AE+EF+DF=4+2V3.

②当4ABC绕点B顺时针旋转45。得到△ABC,过D作DMLAD于点。作AD的垂直平分线PQ交AB

于点Q1

由旋转可得/ABA，=45。，ZBA,C,=ZA=120°,A，B=AB=2,

二ZA,BD=ZABA,-ZABC=15°,NBA'D=60°.

•.•DM_LAD,

，NA'DM=30°.

设/A'M=x,则A'D=2A'M=2x,DM=V3x.

；PQ为BD的垂直平分线，

；.BQ=DQ,

.".ZA,BD=ZQDB=15°,

，/DQM=/ABD+/QDB=30。，

二DQ=BQ=2DM=2V5X,

QM=y/QD2—DM2=3x.

•.•A'M+QM+BQ=A'B,

X+3X+2V3X=2,

x=2-V3,

.\A,D=2X=4-2V3.

综上可得：A，D=4+2b或4-2百.

故答案为：4+2百或4-2b.

【分析】①当AABC绕点B逆时针旋转45。得到△ABC,过B作BE±AfD于点E,作BD的垂直平分线

HF交DB于点H,交AD于点F,连接BF,由旋转的性质可得NBA，C=NA=120。,A，B=AB=2,ZA,BA=45°,

则NABC=NABA+/ABC=75。，然后求出ND的度数，根据含30。角的直角三角形的性质可得A，E,由勾

19

股定理求出BE,根据垂直平分线的性质可得/D=NFBD=15。，贝lj/EFB=/D+/FBD=30。，BF==2BE=2V3.

由勾股定理求出EF,然后根据AD=AE+EF+DF进行计算;②当4ABC绕点B顺时针旋转45。得到△ABCT

过D作DM_LAD于点。作AD的垂直平分线PQ交AB于点Q,由旋转可得NABA，=45。，ZBA(C,=ZA=120°,

AB=AB=2,设NA'M=x,则A,D=2A,M=2x,DM=gx,DQ=BQ=2DM=2bx,QM=3x,根据A,M+QM+BQ=A,B

可得x的值，进而可得AD.

23.【答案】(1)作法：如图所示

①连接P。，分别以点P，0为圆心，大于：0P长为半径画弧，两弧交于M,N两点作直线MN交0P于点

A.

②以点A为圆心，以/。为半径画弧(或画圆)

与圆0交于E,F两点.作直线PE,

PE、PF即为所求.

(2)解：:PE、PF分别为切线，

/.ZPEO=ZPFO=90°,

/.ZEOF=360°-ZPEO-ZPFO-ZEPF=150°,

二NEDF§NEOF=75°或/EDF=180°-75°=105°.

【解析】【分析】(1)①连接PO,分别以点P,O为圆心，大于10P长为半径画弧，两弧交于M,N两

点，作直线MN交0P于点A；②以点A为圆心，以A0为半径画弧，与圆O交于E,F两点.作直线PE,

则PE、PF即为所求；

(2)由切线的性质可得NPEO=NPFO=90。，结合四边形内角和为360。可得/EOF=150。，然后根据圆周角

定理以及圆内接四边形的性质进行计算.

24.【答案】(1)解：过C作CHLEF于点H,

MCN

EHPDBF

20

VtanZCBH=2^=kJ,

.,.HB=V3CH.

,/ZCDH=45°,

.*.CH=DH.

VBH-DH=BD=40,

/.V3CH-CH=40,

解得CH=20V3+20,

，河两岸之间的距离是(20b+20)m.

(2)解：,,,HP=HD-PD=20V3+20-(1273+12)=873+8,

.•.tan/CPE〃=20"203

HP873+82

【解析】【分析】(1)过C作CHJ_EF于点H,根据三角函数的概念可得HB=6CH,CH=DH,然后根据

BH-DH=BD=40进行计算；

(2)根据HP=HD-PD可得HP的值，然后根据三角函数的概念进行计算.

25.【答案】(1)设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、y人，由题意得

(5x+2y=310

(.3%+4y=340

«：55

答：每辆A型车、B型车坐满后各载客40人、55人.

(2)设租用A型车m辆，则租用B型车(10-m)辆，由题意得

(40m+55(10-m)>420解得:5<m<83

•・・m取正整数，

/.m=5,6,7,8

・・・共有4种租车方案

设总租金为w元，则w=500m+600(10—m)=-100m+6000

V-100<0

Aw随着m的增大而减小

，租=8时，W最小

.,•租8辆A型车，2辆B型车最省钱.

(3)设s*=h，5乙=攵"+瓦

由题意可知，甲车经过(4,300);乙车经过(0.5,0),(3.5,300)两点.

:.s甲=7\t,s乙=100t—50

21

S乙—S尹=25，艮|Jloot-50-75t=25

解得t=3

或300-75t=25

解得t=¥

所以，在甲乙两车第一次相遇后，当t=3小时或呈小时，两车相距25千米.

【解析】【分析】(1)设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、y人，根据5辆A型和2辆B型车坐满

后共载客310人可得5x+2y=310；根据3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人可得3x+4y=340,联立

求解即可；

(2)设租用A型车m辆，则租用B型车(10-m)辆，根据A的租金x辆数+B的租金x辆数=总租金可得

500m+600(10-m)<5500；根据全校420人可得40m+55(10-m)为20,联立求出m的范围，结合m为整数可得

m的取值，进而可得租车方案，设总租金为w元，根据A的租金x辆数+B的租金x辆数=总租金可得w与m

的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答；

(3)设S产kt,Sz.=kit+b,将(4,300)代入S单中求出k的值,将(0.5,0)、(3.5,300)代入y4中

求出由、b的值，据此可得对应的函数关系式，然后令y「y产25求出t的值即可.

26.【答案】(1)证明：二•四边形4BCD为矩形

：.AD||BF

:,乙D=乙DCF

・・・G为CD中点

：.DG=CG

^AADG和△FCG中

乙D=cGCF

DG=CG

/-AGD=乙FGC

三△9CG(ASA)

(2)・・•四边形ABC。为矩形

：.^ABC=90°

'/CELAF

22

：.2LCEF=90°=/.ABC

■:(F=Z-F

：.^CEF-^ABF

.CE_CF

^AB=AF

•・・AB=4,BF=x

・••在RtZkABF中，z尸=1AB2+BF2=&+16

;CE=y

_4%—12

yVx2+i6

(3)过点E作EN_LBF于点N

：.AD=BC=3

9：AB=4,CF=1

：.AB=BF

：.LABF为等腰直角三角形

：.£.CFE=4BA尸=45。

9：CELAF

•••△CEF为等腰直角三角形

・"ECF=45。

•:ENA.CF

JEN平分CF

:・CN=NF=NE=3

在RSBNE中,

■:BE?=BN2+EN?

23

••.BE=J（3+分2+（犷=孚

VZ.ECF=^BAF=45°

:•乙BAM=々BCE=135°

•；BM1BE

・・・4MBA+4/BE=90。

・・•乙力8E+NEBC=90。

，乙MBA=乙EBC

:・ABAMFBCE

^~BE=JC=3

BM_4

・••迈=3

~T7

•io-

・・BDfMl/f=-—

【解析】【分析】（1）根据矩形以及平行线的性质可得ND=NDCF,根据中点的概念可得DG=CG,由对

顶角的性质可得NAGD=NGFC,然后根据全等三角形的判定定理进行证明；

（2）根据矩形的性质可得NABC=90。，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CEFs^ABF,由勾股

定理可得AF,然后由相似三角形的性质进行解答；

（3）过点E作EN1BF于点N,由矩形的性质可得AD=BC=3,易得aABF、ACEF均为等腰直角三角形,

则NCFE=NBAF=45。，NECF=45。，进而推出EN平分CF,得至I」CN=NF=NE=1,由勾股定理可得BE,利

用两角对应相等的两个三角形相似可得△BAMsaBCE,然后由相似三角形的性质计算即可.

27.【答案】（1）证明：•.•乙4BC和乙4MC是公所对的圆周角

：./.ABC=Z.AMC

=乙CHB

二△BCHMAH

.BH_CH

：.MH-CH=AH-BH

(2)连接OC,交AB于点F

D

24

VMC与ND为一组平行弦(也可写成MC||ND)

，乙OND=乙OMC

9：OM=OC

；・乙OMC=LOCM

♦;乙OND+乙AHM=90°

J/"CM+乙4HM=Z.OCM+乙CHB=90°

，乙HFC=90。

：.OC1AB

：.AC=BC

(3)解：连接DM、DG,过D作DELMN,垂足为E,设点G的对称点连接GD、GN,

VDG=DG\ZGW=ZGND,DG，=DM,弧DM=MDGT

・・・DG=DM,

AADGM为等腰三角形.

VDE±MN,

・・・GE=ME.

VDN//CM,

，NCMN=NDNM.

VMN为直径，

JZMDN=90°,

・・・ZMDE+ZEDN=90°.

VDE±MN,

JZDEN=90°,

JNDNM+NEDN=90。，

.,.sinZEDM=sinZDNM=sinZCMN=1.

VMN=15,

.\sinZDNM=^=1,

MN5

25

，MD=9.

〈sin/EDM春黑

5MD

.ME_3

•--9-=5，

：.ME等

71

NG=MN-MG=MN-2ME畤.

【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得NABC=NAMC,由对顶角的性质可得NAHM=NCHB,根据两

角对应相等的两个三角形相似可得△BCHs/^MAH,然后根据相似三角形的性质进行证明；

(2)连接0C,交AB于点F,易得/OND=/OMC,根据等腰三角形的性质可得/OMC=NOCM,结合

NOND+/AHM=90。可得/HFC=90。，据此证明；

(3)连接DM、DG,过D作DELMN,垂足为E,设点G的对称点G-连接G，D、G，N,则ADGM为

等腰三角形，根据圆周角定理可得NMDN=90。，进而推出NEDM=NDNM=NCMN,结合三角函数的概念

可得MD、ME,然后根据NG=MN-MG=MN-2ME进行计算.

28.【答案】(1)解：把4(一6,0