高中数学高考解答题突破(四)　立体几何中的证明与计算

考试注意事项

1.进入考场时携带的物品。

考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅

笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡

皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。严禁携带手机、无线

发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正

带、助听器、文具盒和其他非考试用品。考场内不得自行传递文

具等物品。

由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒

考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。

2.准确填写、填涂和核对个人信息。

考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填

写姓名、准考证号。填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清

的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定

严肃处理。监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自

己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员

要求更正。

3.考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间

参考。

考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以

考点统一发出的铃声信号为准。

高考解答题突破(四)立体几何中的证明与计算

突破“一建”——建模

［思维流程］

立体几何解答题

［技法点拨］

立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个

几何体为依托，分步设问，逐层加深.解决这类题目的原则是建模.

将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等

的计算模型.考向一证明线、面平行与垂直

1.证明平行关系

(1)证明线线平行的常用方法

①利用三角形中位线定理证明：即遇到中点时，常找中位线，利用

该定理证明.

②利用平行四边形对边平行证明：即要证两线平行，以两线为对

边构造平行四边形证明.

③利用平行公理证明：即要证两线平行，找第三条线并证明其分

别与要证两线平行即可.

(2)证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平

行.

②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平

行.

(3)证明面面平行的方法

证明面面平行，依据判定定理,只要找到一个平面内两条相交直线

与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再

转化为证明线线平行.

2.证明垂直关系

(1)证明线线垂直的常用方法

①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、

等腰三角形等得到线线垂直.

②利用勾股定理的逆定理.

③利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于

另一线所在平面即可.

(2)证明线面垂直的常用方法

①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线

垂直.

②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂

直.

③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一

条也垂直于这个平面等.

(3)证明面面垂直的方法

证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个

面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直

线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线

解决.

【例1】(2018•北京卷)如图•在四极锥P-ABCD中.度画纯£2^

矩形.平面PAD_L平面A3CD.PA_LPD.PA=PD.W??Hfr1>切入点：确定基本的线、面位置关系•

AD.P5的中点.

⑴求证：PE_LBC；关键点：在平面PCD内确定一条与平面

(2)求证：平面PAB_L平面PCD：PAB垂直的宜线.

关键点：在平面PCD内寻找一条与EF平

(3)求证：EF〃平面PCD.

行的直线.

由AD〃8c证(3)如图，取PC中点G,连接FG.GD,

［解题指导］(1)|证/)ELAD|f

得PEYBC

(2)|证A3J■平面PAD|->|ABL〃D|—|PDJ平面/”用

平面/A3J■平面/(D|

(3)|取PC中点(J］-*|证四边形EFGD为平行四边形|-*

•・・F,G分别为P3和PC的中点，

|EF〃GD『［EF〃平面P国

・・・FG〃5C.且FG=^-BC.

［证明］(1)・・・PA=PD,且E为AD的中点.・・・PE_L:

AD.•・•四边形A3CD为矩形•且E为AD的中点.

底面ABCD为矩形・・•・BC/7AD.：.PE±BC.

V・・・ED〃3C'.DE=}BC'.

(21・•底面ABCD为矩形.・・・A3_LAD.

V平面PAD_L平面ABCD.平面PADfl平面ABCD=：••・ED〃FG.且ED=FG.：.四边形EFGD为平行四边形.

AD,・・・AB_L平面PAD.：.EF//GD.

又PDU平面PAD.：.ABA.PD.又PA_LPD,PAC\AB=又面PCD，GDU平面____________________

A,PCD,j'建模：由线线平行建立：

:.PD±平面PAB.又PDU平____________________・・・EF〃平面PCD.：线面平行的模型

面PCD.平面PAB，.平面/‘建模：由段面垂直速立：

PCI),；面面垂直的模型

名师点拨A

证明空间平行与垂直关系的步骤

［对点训练］

二

1.如图，在三棱柱ABC-AyByCx中平面BB】CCBBi=

2BC,DJF分别是CGAGBG的中点,G在3囱上，且BG=3GB\.

(1)求证：平面A3O；

(2)求证：平面GEV〃平面4BD

⑴取B囱的中点为M连接MD,如图所示.

因为=2BC,且四边形B8GC为平行四边形,

所以四边形COM3和四边形OMBiG均为菱形.

板/CDB=/BDM,/MDBi=/B\DCi,

所以ZBDM+ZMDB\=90°,

即BD±B1D.

又48,平面BSiGCIQU平面BBCC,

所以

又ABCBD=B,所以8Q1.平面ABD.

（2）如图，连接MG,可知G为的中点，又尸为8G的中点，所以

GF//MC\.

又MB触GD所以四边形BMCiD为平行四边形，所以MCi//BD,

故GF//BD.

又8DU平面A8。,所以Gf1〃平面ABD.

又石尸〃45A平面ABD,

所以E尸〃平面ABD.

又EFHGE=F,故平面GE/〃平面ABD.

考向二求空间几何体的体积

1.等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是

几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，等积法可

以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三

棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形或三棱锥的高,

而通过直接计算得到高的数值.

2.割补法：求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已

知体积公式的几何体进行解决.

【例2】(2017•全国卷III)如图.四面体A3CD中.

△ABC是正三角形・AD=CD.＞切入点:取AC的中点.

(1)证明：AC_L3D；

(2)已知是直角三角形.AB=3D.若E为

核3D上与D不重合的点•且AE_LEC・求四关键点：确定E为3D的

面体ABCE与四面体ACQE的体积比.中点.

[解题指导:](1)|取AC的中点O|—|ACLDO|-*

AC-L平面D丽

(2)|证明DOj_BO|->证明EO=4~BDf怛为BD

乙

aME-ABC=2VD-ABC

［解］(1)证明：取AC的中点O,连接DO,BO.

因为AD=CD,所以AC±D().

又由于AABC是正三角形，所以AC.LBO.BOADO=O.

从而公袅又BDUJ建模：由线面垂直建立

平面DOB,故理工；§2•4线线垂直的模型

(2)连接EO.

由(1)及题设知NADC=90°,口

所以DO=AO.AX

在RtAAOB中，BO2+AO2=/：\

A"。

又AB=BD,所以

BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故NDOB=90°.

由题设知△AEC为直角三角形，所以EO=—AC.

又△ABC是正三角形，且AB=BD,所以EO=^-BD.

故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为。到平

面ABC的距离的卷，四面体ABCE的体积为四面体AB-

CD的体积的十，即四面体ABCE与四面体ACDE的体

积之比为1：1.

|名师点拨A

在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量（球除

外），因此体积计算中的关键一环就是求出这个量.在计算这个几何量

时要注意多面体中的“特征图”.一些不规则的几何体，求其体积多

采用分割或补形的方法,从而转化为规则的几何体.

［对点训练］

2.（2018•山东济南一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD

为等腰梯形,AD〃3cA分别为线段的的中点.

（1）证明：尸。〃平面。石尸；

(2)若P£J_平面A3CDPE=AB=2,求四面体P~DEF的体积.

［解］(1)证明：连接3E3D3Q交CE于点O,连接OF.

TE为线段AD的中点,8C=%Q=E2AO〃3C,「.3C〃£D

二.四边形BCDE为平行四边形，

二.O为的中点，

又...尸是8P的中点，

Z.OF//PD.

TOFU平面CERPDQ平面CEF,

「.PO〃平面CEF.

(2):.尸为线段P8的中1点，

..Vp-DEF=VB-DEF=F-

1BC+AD,(BC\.12+4

•Vp-ABCD-qPE・2勺AB--KJ-=§X2义~Y-X小r=

2^3.

・“—也

••P-DEF-3・

考向三立体几何中的探索性问题

1.条件追溯型

解决此类问题的基本策略是执果索因.其结论明确，需要求出使

结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，即可迅速找出

切入点.

2.存在判断型

解决此类问题的策略：通常假设题中的数学对象存在（或结论成

立），然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据

或事实，则说明假设成立，即存在；若推导出与条件或实际情况相矛盾

的结论，则说明假设不成立，即不存在.

【例3】（2018-全国卷川）如图•更畛龙至壬典盘典典①更［->切入点：基本的线、面位置关系.

L...............................................：

在平面垂直,M是（⑦上异于C.D的点.

关键点:结合线面平行的判定定理,先猜出

3）证明：平面AMD_L平面8MC；

点的位置.

（2）叁线叟您上整至矍鲤旦速建以”画竺。?说明理由.r->P

［解题指导］又3CClCM=C•所以DM_L平面

BMC.:建模：爱立用线:

而DMU平面AMD,故平面AMD_L《面垂直证面回垂!

J-SBMC."、...............；

（2）当P为AM的中点时，MC〃平面PBD.

证明如下：连接AC交3D于O.因为A3CD为矩形•所以

O为AC中点.连接OP，因为P为AM中点,所以晚幺

OP.

［解］（1）证明：由题设知•平面CMD..............

/、

MC（Z平面PBD.平面

平面ABCD,交线为CD.因为BC_L:建模：英立用线:OPU

CD.6CU平面A3CD,所以3（二1_平面《:垂:证线发垂:，/;"所以MC〃平面PHD./建模：莫立用皴线平行：

一.一™™_S证或面平行的模型：

；直的模型：

CMD•故3cLDM.'、--------------'

因为M为（⑦上异于C・D的点.且DC为直径，所以DM

±CM.

|名师点拨A

解决线'面关系的探索性问题的两策略

（D通过观察确定点或直线的位置（如中点，中线）,再进行证明.

⑵把要得的平行当作已知条件,用平行的性质去求点、线.

［对点训练］

3.(2018•郑州二模)

如图，已知四边形ABCD是正方形,EAJ_平面ABCD,PD//EA,AD

=PD=2EA=2,F,G,H分别为BP,BE,PC的中点.

(1)求证：尸G〃平面PO£；

(2)求证：平面尸G/H_平面ABE；

(3)在线段PC上是否存在一点M使P3_L平面EFM?若存在，求

出线段PM的长；若不存在,请说明理由.

［解］⑴证明：因为RG分别为P&BE的中点，所以尸G〃PE

又尸官平面PDE,PEU平面PDE,

所以bG〃平面PDE.

(2)证明：因为EA_L平面ABC0,所以

又所以平面ABE.

由已知F,H分别为线段PB,PC的中点，

所以则FH_L平面ABE.

而平面尸G”,所以平面尸G”,平面ABE.

(3)在线段PC上存在一点M使P3_L平面证明如下：

如图，在尸。上取一点M,连接EF,EM,FM.

在直角三角形AE3中，因为4E=1,A3=2,所以3石=下.

在直角梯形E4OP中，

因为AE=1,

AQ=PO=2,所以PE=木,

所以PE=BE.又/为P8的中点，

所以EFA.PB.

要使PBJ_平面EFM,只需使PB上FM.

因为PO_L平面ABCD,所以PDLCB,

又CBLCD,PDCCD=D,

所以C3_L平面PC。,而PCU平面PCD,所以CB.LPC.

若PBLFM则氏可得万PM石二万P厂F.

rtyrC

由已知可求得PB=2小,PF=5，PC=2p，所以PM=坪.

专题跟踪训练(二十三)

1.如图，过底面是矩形的四棱锥F-ABCD的顶点/作EF//AB,

使且平面平面ABCD若点G在CO上且满足DG

=GC.求证：

⑴/G〃平面AED.

(2)平面D4尸1.平面BAF.

［证明］(1)因为DG=GC,AB=CD=2EF,AB〃EF〃CD,

所以EF〃DG,EF=DG.

所以四边形。为平行四边形，

所以FG//ED.

又因为FGd平面AED,EDU平面AED,

所以RS〃平面AED.

(2)因为平面平面ABC。,平面ABfEG平面ABCD^

A氏AZ)J_A氏且ADU平面ABCD,

所以AO_L平面BAF.

又因为A0U平面DAF.

所以平面DAZ7,平面BAF.

2.(2018•河北衡水中学二模)如图，在底面为梯形的四棱锥S一

ABCD中，已知AD//BC,ZASC=60°AD=DC^\/2,SA=SC=SD=2.

⑴求证：ACLSD；

(2)求三棱锥B-SAD的体积.

［解］⑴证明：设O为AC的中点，连接OS,OD：SA=SC,「.O5

.LAC.

\'DA=DC,：.DO±AC.

又•.•os,oz)u平面so。,且osnoo=o,

，AC_L平面SOO,且SOU平面SOD,

：.AC±SD.

(2)连接BQ,在△A5C中,•/54=SC,NASC=60。,点。为AC的中

AASC为正三角形，且AC=2QS=@.

,/在△AOC中,"P+oGudMAC2。为AC的中点,

，NA0C=9O。,且00=1.

•.•在△SO。中,。群+04=502

.*.NSO0=9O°.「.SO.LOD.

又,；OS,AC,且ACnD0=O,：.SO,平面ABCD.

3.(2018•辽宁辽阳一模)如图，在直角梯形ABCD中,A0〃3C,A3

L3C,且BC=2AD=4,E,F分别为线段A氏。C的中点，沿EF^AEFD

折起，使AE_LCR得到如图所示的立体图形.

(1)证明：平面A£FD_L平面EBC尸；

⑵若BOJ_EC,求点F到平面ABCD的距离.

［解］(1)证明：由题意可得石F〃AD

「.ABLEE将梯形由题意折起后，结论依然成立,

J.AELEF,

又,；AE±CF,EFACF=F,

.•.AE_L平面EBCF.

•「AEU平面AEFD,

：,平面AEFDL平面EBCF.

(2)过点。作OGLE尸交后尸于点G,连接3G,则OG,平面EBCF.

TECU平面EBCF,：.DG1EC.

又BD_LEC,BDCDG=D,

，£C_L平面BDG.

又BGU平面BDG

:.ECLBG.

EGEB

可得LEGBs^BEC,:.标=箴,

：.B及=EGBC=ADBC=8,：.EB=2\[i.

设点/到平面ABCD的距离为h.

'：BC±AE,BC1.EB,AECEB=E,

.•.8C_L平面AEB,

：.AB±BC.

又•：AB=\lAE2+B0=4,

••S4ABC=5AB・BC=8.

又〈SABCF=1X4X2吸=46,AE=EB=2@

由VF-ABC~VA-BCF