2024年上海中考数学模拟练习卷四及参考答案

试卷PAGE1试卷试卷PAGE2试卷上海市2024年中考数学模拟练习卷3（考试时间：100分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、单选题（共24分）1．（本题4分）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．2．（本题4分）当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（

）A． B． C． D．3．（本题4分）下列说法正确的是（

）A．函数的图象是过原点的射线 B．直线经过第一､二､三象限C．函数，y随x增大而增大 D．函数，y随x增大而减小4．（本题4分）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．根据统计图，下列结论正确的是（

）

A．甲的射靶成绩的平均数大于乙的射靶成绩的平均数 B．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定C．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩好些 D．在射靶上，甲比乙更有潜力5．（本题4分）如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，添加的条件不正确的是（）A． B． C． D．6．（本题4分）如图，已知等腰梯形ABCD，ABCD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BDEF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE＋EF．其中错误的结论有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个第II卷（非选择题）二、填空题（共48分）7．（本题4分）分解因式：=．8．（本题4分）计算：．9．（本题4分）方程的解是．10．（本题4分）函数的定义域是．11．（本题4分）若关于x的一元二次方程无实数根，则整数k的最小值为．12．（本题4分）一个不透明的袋子中装有12个白球、9个黄球和若干个黑球，它们除颜色外，完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现得到白球的频率稳定在，则可判断袋子中黑球的个数为．13．（本题4分）如果一个正多边形的中心角为72°，则该正多边形的对角线条数为．14．（本题4分）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是请写出这个二次函数解析式的一般式：．15．（本题4分）如图，已知梯形ABCD中，，对角线AC、BD交于点O，．设，，则．（用含、的式子表示）16．（本题4分）某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，如图是根据此次调查结果所绘制的一个未完成的扇形统计图，被调查的学生中骑车的有21人，则下列四种说法：①被调查的学生有60人；②被调查的学生中，步行的有27人；③被调查的学生中，骑车上学的学生比乘车上学的学生多20人；④扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为．其中正确的说法有．（填写序号）

17．（本题4分）如图，在中，，，点在边上，且，将绕着点逆时针旋转，点落在的一条边上的点处，那么旋转角的度数是．

18．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是．三、解答题（共78分）19．（本题6分）计算：(1)；(2)．20．（本题8分）解不等式组：．21．（本题10分）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．

(1)求证：．(2)若，求的半径．22．（本题12分）在一次实验中，小李把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂质量为x的物体，如图所示，弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）的几组对应值如下表：

(1)当所挂物体的质量为4时，弹簧长______；不挂重物时弹簧长_____；(2)写出弹簧长度y（）与所挂物体质量x（）之间的函数关系式；(3)当弹簧长度为36时，求所挂物体的质量．23．（本题12分）如左图，为探究一类矩形的性质，小明在边上取一点E，连接，经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上，据此解决下列问题：(1)求证：；(2)如图，延长交于点G，交于点H．①求证：；

②求的值24．（本题14分）已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标；(3)过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度．25．（本题16分）已知正方形与正方形，正方形绕点A旋转一周．(1)在旋转过程中，①连接与，结合图1，探究线段与的数量关系______，线段BE与DG的位置关系______；②连接与，结合图2，试探究线段与的数量关系，并说明理由．(2)在旋转过程中，连接，取中点M，①连接，结合图3，试探究与的关系，并说明理由；②将正方形绕点A旋转一周，若，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长______．参考答案第I卷（选择题）一、单选题（共24分）1．（本题4分）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的减法法则、完全平方公式、同底数幂的乘法法则、积的乘方的乘法法则对各项进行计算即可．【解析】解：，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确；故选：D．【点评】本题考查二次根式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握相关法则是解题的关键．2．（本题4分）当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程．【解析】解：把代入原方程得：．故选：．【点评】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3．（本题4分）下列说法正确的是（

）A．函数的图象是过原点的射线 B．直线经过第一､二､三象限C．函数，y随x增大而增大 D．函数，y随x增大而减小【答案】C【分析】根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．【解析】A、函数的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；B、直线经过第一､二､四象限，则此项说法错误，不符题意；C、函数，随增大而增大，则此项说法正确，符合题意；D、函数，随增大而增大，则此项说法错误，不符题意；故选：C．【点评】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键．4．（本题4分）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．根据统计图，下列结论正确的是（

）

A．甲的射靶成绩的平均数大于乙的射靶成绩的平均数 B．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定C．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩好些 D．在射靶上，甲比乙更有潜力【答案】B【分析】根据平均数的概念进行计算从而判断A，分别求得甲乙方差从而判断B，通过对平均数和中位数的分析判断C，通过对甲乙成绩的变化趋势分析从而判断D【解析】解：由题意可得：甲的10次射靶的平均成绩为（环），乙的10次射靶的平均成绩为（环），∴甲的射靶成绩的平均数等于乙的射靶成绩的平均数，故选项A不符合题意；甲的10次射靶的方差为乙的10次射靶的方差为，∵，∴甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定，故选项B符合题意；从平均数上看，甲乙两人成绩一样，从中位数上看，甲的中位数为，乙的中位数为，因此乙的射靶成绩较好，故选项C不符合题意；从平均成绩上看，甲乙二人平均成绩一样，从中位数上看，乙的中位数高于甲，从图象上看，乙的射靶成绩上升趋势更为明显，所以在射靶上，乙比甲更有潜力，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数和方差，准确识图，根据平均数和方差的计算公式进行计算是解题关键．5．（本题4分）如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，添加的条件不正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据中点四边形可得四边形是平行四边形，进而添加一个直角或者对角先线相等，可得矩形，而添加邻边相等得出四边形为菱形，据此即可求解．【解析】解：如图，连接，依题意，，∴，，∴四边形是平行四边形，A.添加，则四边形为矩形，故该选不符合题意；

B.添加，可得四边形为菱形，符合题意；

C.添加，可得四边形为矩形，故该选不符合题意；

D.添加，则，可得四边形为矩形，故该选不符合题意；

故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．6．（本题4分）如图，已知等腰梯形ABCD，ABCD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BDEF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE＋EF．其中错误的结论有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】根据等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质、三角形的中位线等知识进行逐个判断解答即可．【解析】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，又AD=BC、AB=AB，∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠BAC=∠ABD，∠ADB=∠BCA，又AC⊥BC，∴OA=OB，OC=OD，∠ADB=∠BCA=90°即BD⊥AD，∵EF⊥AD，∴BD∥EF，故①正确；∴∠AEF=∠AOD=∠BAC+∠ABD，∴∠AEF=2∠BAC，故②正确；∵BE⊥AB，∴∠BAC+∠AEB=∠ABD+∠OBE=90°，∴∠AEB=∠OBE，∴OB=OE，∴AO=OE，又OD∥EF，∴AD=DF，故③正确；∴EF=2OD=2OC，∵OA=OE=OC+CE，∴AC=OA+OC=OC+CE+OC=2OC+CE=EF+CE，故④正确，综上，正确的结论有4个，即错误的结论有0个，故选：A．【点评】本题考查等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质、三角形的中位线性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．第II卷（非选择题）二、填空题（共48分）7．（本题4分）分解因式：=．【答案】【分析】根据平方差公式分解因式即可．【解析】解：．故答案为：．【点评】本题考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．8．（本题4分）计算：．【答案】【分析】根据分式的加减运算进行计算即可求解．【解析】解：，故答案为：．【点评】本题考查了分式的加减运算，正确的计算是解题的关键．9．（本题4分）方程的解是．【答案】无解【分析】先把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可．【解析】解：两边平方得：，解得：，，经检验，和是原方程的增根，原方程无解，故答案为：无解．【点评】本题考查解无理方程和解一元二次方程，二次根式的性质，能把无理方程转化成有理方程是解题的关键．10．（本题4分）函数的定义域是．【答案】且【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不能为0，列不等式组求解即可．【解析】解：由可得，解得且，故答案为：且【点评】此题考查了函数的定义域，使函数解析式有意义的自变量的取值范围为定义域，解题的关键是列出不等式组，并正确求解．11．（本题4分）若关于x的一元二次方程无实数根，则整数k的最小值为．【答案】6【分析】要使一元二次方程没有实根，只需二次项系数不等于0且根的判别式小于0，由此可求出k的范围，再找出最小值即可．【解析】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴且，解得，，∴，∴整数k的最小值是6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握根的判别式：对于一元二次方程，时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．12．（本题4分）一个不透明的袋子中装有12个白球、9个黄球和若干个黑球，它们除颜色外，完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现得到白球的频率稳定在，则可判断袋子中黑球的个数为．【答案】9【分析】由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．【解析】解：设黑球个数有x个，∵摸到白色球的频率稳定在左右，∴解得：，故黑球的个数为9．故答案为：9．【点评】本题考查概率，正确理解概率的含义是解题关键．13．（本题4分）如果一个正多边形的中心角为72°，则该正多边形的对角线条数为．【答案】5【分析】用360°除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，即可算出有多少条对角线．【解析】解：由题意可得，正多边形边数为360°÷72°＝5，∴这个多边形的对角线条数是条．故答案为：5【点评】本题主要考查了正多边形中心角的性质，多边形的对角线等知识，熟知正多边形的中心角的性质和求多边形对角线条数的公式是解题关键．14．（本题4分）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是请写出这个二次函数解析式的一般式：．【答案】【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为，且，，据此可得；【解析】解：设函数解析式为，根据题意得，，二次函数解析式是：，故答案为：．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其解析式的形式．15．（本题4分）如图，已知梯形ABCD中，，对角线AC、BD交于点O，．设，，则．（用含、的式子表示）【答案】【分析】根据平面向量计算即可表示．【解析】解：∵∴∠OAD＝∠OCB，∠ADO＝∠CBO∴△AOD∽△BOC∵∴＝，∴，∴，即，∵，，与同向，∴，∵，∴．故答案为：【点评】本题考查了梯形、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理．16．（本题4分）某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，如图是根据此次调查结果所绘制的一个未完成的扇形统计图，被调查的学生中骑车的有21人，则下列四种说法：①被调查的学生有60人；②被调查的学生中，步行的有27人；③被调查的学生中，骑车上学的学生比乘车上学的学生多20人；④扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为．其中正确的说法有．（填写序号）

【答案】①②④【分析】利用骑车的人数除以其所占的百分比求出调查的总人数，再求出步行所占的百分比，利用总人数乘以步行所占的百分比求得步行的人数，然后利用乘车所占的百分比乘以总人数求得乘车的人数，再与骑车的人数相比即可，最后利用乘车所占的百分比乘以即可求得乘车所对应的圆心角．【解析】解：由题意可得，参与调查的总人数为：（人），故①正确；∵步行所占的百分比为：，∴步行的人数为：（人），故②正确；∵乘车的人数为：（人），（人），∴骑车上学的学生比乘车上学的学生多12人，故③错误，乘车部分所对应的圆心角为：，故④正确，故答案为：①②④．【点评】本题考查扇形统计图，熟练掌握频数除以总人数等于其所占的百分比，求圆心角的方法是解题的关键．17．（本题4分）如图，在中，，，点在边上，且，将绕着点逆时针旋转，点落在的一条边上的点处，那么旋转角的度数是．

【答案】或【分析】分类讨论：当点在上，根据等边对等角和三角形内角和即可求得；当点在上，根据30度所对的直角边是斜边的一半和三角形的外角性质即可求得．【解析】当点在上，如图：

∵，∴，∴，当点在上，如图：

∵，∴，∴，故答案为：或【点评】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，30度角的直角三角形性质，三角形的外角性质，解题的关键是分类讨论思想的运用．18．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是．【答案】【分析】当直线y过P、N两点时，由中心对称图形的特征可得直线y平分7个小圆的面积，由直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系求得N、P的坐标，再待定系数法求一次函数解析式即可；【解析】解：如图，⊙N、⊙G、⊙M与x轴相切于F、O、E，连接NF、NG、GM、ME、PM，直线y过P、N两点，∵右边6个小圆关于点P中心对称，直线y经过点P，∴直线y平分右边6个小圆的面积，∵直线y经过左边小圆的圆心，∴直线y平分⊙N的面积，∴直线y平分7个小圆的面积，NF⊥x轴，GO⊥x轴，则NF∥GO，NF=GO=1，则NFOG是平行四边形，∠GOF=90°，则NFOG是矩形，∵⊙N、⊙G相切，∴NG=2，即N（-2，1），同理可得M（2，1），∵P在⊙M的正上方，E点在⊙M的正下方，∴PE为⊙M的直径，即P、M、E共线，∴P（2，2），设直线y=kx+b，则，解得：，∴，故答案为：；【点评】本题考查了中心对称图形的特征，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，一次函数解析式；掌握中心对称图形的特征是解题关键．三、解答题（共78分）19．（本题6分）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；（2）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简，进而计算得出答案．【解析】（1）解：；（2）解：．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．20．（本题8分）解不等式组：．【答案】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【解析】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．21．（本题10分）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．

(1)求证：．(2)若，求的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证．（2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可．【解析】（1）∵D是的中点，∴，∵，是的直径，∴，∴，∴，∴．（2）∵，是的直径，∴，∵，设，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，解得或（舍去），∴，∴的半径为5．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键．22．（本题12分）在一次实验中，小李把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂质量为x的物体，如图所示，弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）的几组对应值如下表：

(1)当所挂物体的质量为4时，弹簧长______；不挂重物时弹簧长_____；(2)写出弹簧长度y（）与所挂物体质量x（）之间的函数关系式；(3)当弹簧长度为36时，求所挂物体的质量．【答案】(1)24；18(2)(3)9【分析】（1）根据弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）的对应值表格，即可直接得出答案；（2）由表格可知，所挂物体的质量每增加1，弹簧的长度就会增加，据此即可写出弹簧长度y（）与所挂物体质量x（）之间的函数关系式；（3）把代入（2）中函数关系式即可解答．【解析】（1）根据弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）的对应值表格，可知：当所挂物体的质量为4时，弹簧长24；不挂重物时弹簧长18；故答案是24；18；（2）根据弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）的对应值表格，可知所挂物体的质量每增加1，弹簧的长度就会增加，∴．故答案是；（3）当时，，∴．即当弹簧长度为36时，求所挂物体的质量为．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于熟读题意，分析表格中的数据之间的数量关系，求出弹簧长度与所挂物体质量之间的函数关系式．23．（本题12分）如左图，为探究一类矩形的性质，小明在边上取一点E，连接，经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上，据此解决下列问题：(1)求证：；(2)如图，延长交于点G，交于点H．①求证：；

②求的值【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）根据矩形的性质可得，再由折叠的性质可得，然后根据平分，可得，即可；（2）①根据是等腰直角三角形，可得，再由，可得，，从而得到，再由折叠的性质可得，可证明，即可；②根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再证明，即可求解．【解析】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，由折叠的性质得：，，∴，∵平分，∴，∴；（2）①证明：∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，，∴，由折叠的性质得：，即，∴，∴

即；②解：∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质，证明是解答本题的关键．24．（本题14分）已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标；(3)过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将点和点代入，即可求解；（2）分别求出和直线的解析式为，可得，，再求直线的解析式为，联立，即可求点；（3）设，则，则，用待定系数法求出直线的解析式为，联立，可求出，，直线与轴交点，则，