2023年上海延安中学高一下期中数学试卷及答案

试卷试卷2023年延安中学高一年级下学期期中试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.―2023°终边在第_________象限.2.已知，则__________．3.在直角坐标系中，角的始边为的正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点，则__________.4.若，，则_________.5.若扇形的圆心角为30°，半径为2，则该扇形的面积为__________.6.函数的单调递增区间为______.7.已知，，则_________.8.已知，则________．9.已知函数在定义域为，值域为，则实数的取值范围为_________.10.若存在常数使关于的方程在闭区间上恰有三个不同解，则_________.11.在△中，角，，所对边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．12.已知函数的定义域为，对任意，都有，且当时，；若对任意，恒成立，则实数的取值范围是__________.二、选择题（每小题3分，共12分）13.“是锐角”是“是第一象限角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件14.在下列函数中，既是上的严格增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是（）A. B.C. D.15.对于函数,下列命题①函数图象关于直线对称;②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是(▲)A.0 B.1 C.2 D.316.设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（）A.5 B.4 C.3 D.2三、解答题（共52分）17.已知是方程的两根，且求：（1）（2）18.已知三个内角所对的边分别为（1）若，求面积；（2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值.19.某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：00100000（1）请写出表格中空格处值，写出函数的解析式，并画出函数的大致图像；（2）将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调减区间.20.随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，km，km.（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？21.已知函数，.（1）求函数的最小正周期，值域；（2）定义：对于任意实数，，，设，（为常数），若对任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围.试卷试卷2023年延安中学高一年级下学期期中试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.―2023°的终边在第_________象限.【答案】二【解析】【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限.【详解】因为，而，所以的终边在第二象限.故答案为：二.2.已知，则__________．【答案】【解析】【详解】3.在直角坐标系中，角的始边为的正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点，则__________.【答案】【解析】【分析】直接根据三角函数的定义即可得结果.【详解】由于角的终边经过点，所以，故答案为：.4.若，，则_________.【答案】##【解析】【分析】根据计算得到答案.【详解】故答案为：5.若扇形的圆心角为30°，半径为2，则该扇形的面积为__________.【答案】【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为，圆心角为，半径为，，.所以扇形的面积为.故答案为：6.函数的单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】的增区间是，由此可列式求解.【详解】令，因为的增区间是，所以，所以.故答案为【点睛】本题考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.7.已知，，则_________.【答案】或【解析】【分析】首先确定，然后根据反正弦函数的定义求解．【详解】，，则，所以或.故答案为：或．8.已知，则________．【答案】【解析】【分析】由已知利用诱导公式化简，再利用同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】因为，所以．故答案为：．9.已知函数在定义域为，值域为，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】由定义域和对应的值域即可求出实数的取值范围.【详解】由题意，在中，定义域为，值域为，周期为，∴，解得：，故答案为：.10.若存在常数使关于的方程在闭区间上恰有三个不同解，则_________.【答案】##【解析】【分析】方程化为，由函数在上的图象，可得满足题意，由此可求得，即可得结论．【详解】方程即为，由于的最小正周期是，作出在时的图象，如图，只有直线与它有三个交点，因此方程在闭区间上恰有三个不同解，不妨设，则，，由，得，所以．故答案为：．11.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．12.已知函数的定义域为，对任意，都有，且当时，；若对任意，恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】采用赋值法可求得为奇函数，由奇函数性质可确定当时，；利用已知关系式可将不等式化为，令，采用分离变量法可得，结合对勾函数性质可求得结果.【详解】令，则，解得：；取，，则，即，为定义在上的奇函数；当时，，当时，；令，则，当时，，，；由得：；，即，，，，，在上单调递减，，，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中恒成立问题的求解；本题的解题关键是能够采用赋值法，结合抽象函数关系式得到函数的奇偶性，结合已知关系式可将恒成立的不等式转化为自变量满足的不等式，从而采用分离变量法进行求解.二、选择题（每小题3分，共12分）13.“是锐角”是“是第一象限角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据锐角与象限角的概念及充分条件、必要条件求解.【详解】因为是锐角能推出是第一象限角，但是反之不成立，例如是第一象限角，但不是锐角，所以“是锐角”是“是第一象限角”的充分不必要条件，故选：A14.在下列函数中，既是上的严格增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由周期性排除一个选项，由奇偶性排除一个选项，再由单调性排除一个选项，得正确选项．【详解】选项ABC中函数的最小正周期都是，而选项D中函数不是周期函数，其图象如下所示：排除D；易知函数是奇函数，排除A；时，，则是减函数，排除B；根据函数在上严格单调递增，且其最小正周期为，则在在上严格单调递增，其最小正周期为，且，又因为其定义域为，则其为偶函数，故C正确，故选：C．15.对于函数,下列命题①函数图象关于直线对称;②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是(▲)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【详解】考点：正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：综合题．分析：①把x=-代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；②把x=，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．解答：解：①把x=-代入函数f（x）=sin（2x+）=0，所以，①不正确；②把x=，代入函数f（x）=sin（2x+）=0，函数值0，所以②正确；③函数图象可看作是把y=sin2x图象向左平移个单位得到函数为f（x）=sin（2x+），所以不正确；④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数f（x）=sin（2x+），正确；故选C．点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．16.设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论．【详解】且在上为严格减函数，则，又，，因此，，又，所以，即，由，则且，，，，因此，，若，则，取，满足题意，若，则，取，满足题意，的值有2个．故选：D．三、解答题（共52分）17.已知是方程的两根，且求：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用韦达定理可得，再利用两角和正切公式即可得解；（2）先判断的符号，从而可求得的范围，即可得出的范围，从而可得出答案.【小问1详解】解：因为是方程的两根，所以，所以；【小问2详解】解：因为，所以，故，所以，所以.18.已知三个内角所对的边分别为（1）若，求的面积；（2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题知，进而根据余弦定理，结合已知得，，再根据三角形面积公式计算即可；（2）在中由余弦定理得，进而在中，，再根据正弦定理求解即可.【小问1详解】解：因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以的面积为.【小问2详解】解：因为线段的中点为，，，所以在中，由，解得（舍），所以在中，，即，因为，所以，所以由正弦定理得外接圆半径满足，所以外接圆半径19.某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：00100000（1）请写出表格中空格处的值，写出函数的解析式，并画出函数的大致图像；（2）将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调减区间.【答案】（1），，，图象见解析（2）【解析】【分析】（1）根据表中的数据以及五点作图的规律直接求解即可；（2）根据平移变换及周期变换的规则可得函数的解析式,求出定义域，再由复合函数的单调性求解即可.【小问1详解】设第一行两个数分别为，第四行待求数为，依题意可知，，解得，又，所以，故由，，解得，又，综上：，，,函数图象为：【小问2详解】函数的图象向右平移个单位，得到，再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数，函数中，，即，所以，即，所以，即函数的定义域为，因为为减函数，所以当为增函数时，即时，函数为减函数.即函数的单调减区间为.20.随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，km，km.（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？【答案】（1）km（2）km【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得，从而求得的长度（2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道的最长路程，由此求得增加的长度.【小问1详解】联结，在中，由余弦定理可得，，所以，即的长度为；【小问2详解】记，则在中，由余弦定理可得：，即，从而所以，则，当且仅当时，等号成立；新建健康步道的最长路程为，故新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加21.已知函数，.（1）求函数的最小正周期，值域；（2）定义：对于任