2023年上海奉贤中学高二下期中数学试卷及答案

高中高中奉贤中学2023学年第二学期高二年级数学期中一、填空题（本题共12题，满分54分，1—6每题4分，7—12每题5分）1.各项为正数的等比数列中，，则公比是__________.2.已知抛物线的焦点坐标为，则的值为___________.3.设表示事件发生概率，若，则__________.4.已知等差数列的前n项和为，且满足：，则__________．5.已知一个随机变量的分布列为，若是，的等差中项，则__________.6.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______．7.圆锥曲线焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.8.已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为_________.9.已知变量，之间的一组相关数据如表所示，则变量，之间的相关系数__________.(计算结果精确到0.01)681012653210已知数列中，，且对于任意正整数有，则_________.11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2023这2023个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为__________.12.已知数列中，，记的前项和为，且满足．若对任意，都有，则首项的取值范围是______．二、单选题（本题共4题，满分18分，13，14每题4分，15，16每题5分）13.用最小二乘法求回归方程是为了使（）A. B. C.最小 D.最小14.已知为等比数列，下面结论中正确的是A. B.C.若，则 D.若，则15.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（）A. B.C. D.16.数列满足，，，则的整数部分是（）A1 B.2 C.3 D.4三、解答题（本题共5题，满分78分，17—19每题14分，20，21题每题18分）17.如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，，设为侧棱的中点.（1）求四棱锥体积；（2）求直线与平面所成角的大小.18.为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,人申请，且他们的申请是相互独立的.（1）求两人不申请同一套住房的概率；（2）设3名申请人中申请甲套住房的人数为，求的分布列和数学期望.19.近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底把除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合.（1）若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元）20.如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.（1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由；（2）若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；（3）已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.21.已知椭圆的左右焦点分别为，，为上的动点.（1）若，设点的横坐标为，试用解析式将表示成的函数；（2）过点的直线与的另一个交点为，为关于轴的对称点，直线与轴交于点，求关于的表达式；（3）试根据的不同取值，讨论满足为等腰锐角三角形的点的个数.高中高中奉贤中学2023学年第二学期高二年级数学期中一、填空题（本题共12题，满分54分，1—6每题4分，7—12每题5分）1.各项为正数的等比数列中，，则公比是__________.【答案】2【解析】【分析】直接利用等比数列的通项公式计算得到结果【详解】由已知等比数列中，，得，又等比数列的各项为正数,,故.故答案为：2.2.已知抛物线的焦点坐标为，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】利用抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而求得值.【详解】因为抛物线，所以抛物线的焦点坐标为，又因为抛物线的焦点坐标为，所以，则.故答案为：.3.设表示事件发生的概率，若，则__________.【答案】【解析】【分析】根据题意分别求出、进而利用即可求出结果.【详解】因为，，则故答案为：.4.已知等差数列的前n项和为，且满足：，则__________．【答案】39【解析】【分析】由求得,代入即可求得.【详解】∵，∴，∴．故答案为：395.已知一个随机变量的分布列为，若是，的等差中项，则__________.【答案】【解析】【分析】根据分布列的性质及等差中项即可求.【详解】由题可知，，解得，故答案为:.6.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______．【答案】0.87##【解析】【分析】由全概率公式计算．【详解】记灯光合格中事件，灯泡来自甲厂为事件，灯泡来自乙厂为事件C，由已知，，，，所以．故答案为：．7.圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.【答案】【解析】【分析】根据圆锥曲线焦点轴上且离心率小于1，确定a,b求解即可.【详解】因为圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，所以曲线为椭圆，且，所以，解得，故答案为：8.已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为_________.【答案】##【解析】【分析】根据题意，由二项分布的期望方差公式，即可得到结果.【详解】因为随机变量服从二项分布，则，，解得.故答案为：9.已知变量，之间的一组相关数据如表所示，则变量，之间的相关系数__________.(计算结果精确到0.01)6810126532【答案】【解析】【分析】根据相关系数公式求解即可.【详解】根据表中数据计算可知，，变量之间相关系数，故答案为:.10.已知数列中，，且对于任意正整数有，则_________.【答案】【解析】【分析】由题意可得,又,则数列是以1为首项,1为公差的等差数列,然后结合等差数列通项公式的求法求解即可.【详解】已知数列中,,且对于任意正整数有,,,即,又所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列，即,又∵,∴.故答案为:.11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2023这2023个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为__________.【答案】135【解析】【分析】根据题意可知所求数为能被15整除余1，得出数列的通项公式，然后再求解项数即可.【详解】因为能被3除余1且被5整除余1的数即为能被15整除余1的数，故，又，解得.故答案为：135.12.已知数列中，，记的前项和为，且满足．若对任意，都有，则首项的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据给定的递推公式，分段求出数列的表达式，再利用给定不等关系列出不等式组求解作答.【详解】，，有，于是得，有，因此，数列分别是以为首项，6为公差的等差数列，而，，即有，解得，又，则有，于是得，，因对任意，都有，则，，从而得，解得，所以首项的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.二、单选题（本题共4题，满分18分，13，14每题4分，15，16每题5分）13.用最小二乘法求回归方程是为了使（）A. B. C.最小 D.最小【答案】D【解析】【分析】由最小二乘法的求解即可知.【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，故选：D14.已知为等比数列，下面结论中正确的是A. B.C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【详解】设{an}的首项为a1，公比为q，当a1<0，q<0时，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A不正确；当q＝－1时，C选项错误；当q<0时，a3>a1⇒a3q<a1q⇒a4<a2，与D选项矛盾．因此根据基本不等式可知B选项正确．15.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且，可得随机变量的方差为，即，所以A错误；对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以B错误；对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，所以，所以C正确；对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，即，所以D错误.故选：C.16.数列满足，，，则的整数部分是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，利用累加法求得，结合数列的单调性即可判断的取值范围，进而求得其整数部分【详解】由可得，所以，所以，则，，，，，上述式子累加得：，故，又因为，即，所以，根据递推公式得：，，，所以，那么，则，则的整数部分是1，故选：A【点睛】关键点睛：本题考查累加法，以及数列的单调性，能够正确的裂项从而累加是解决问题的关键三、解答题（本题共5题，满分78分，17—19每题14分，20，21题每题18分）17.如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，，设为侧棱的中点.（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据锥体体积公式求得正四棱锥的体积.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的大小.【小问1详解】设，则是的中点，连接，由于是的中点，所以，，由于平面，所以平面，所以.【小问2详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，则，由于，所以18.为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,人申请，且他们的申请是相互独立的.（1）求两人不申请同一套住房的概率；（2）设3名申请人中申请甲套住房的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）设出事件，求出两人申请同一套住房的概率，再利用对立事件求概率公式求出两人不申请同一套住房的概率；（2）方法一：求出的可能取值及对应的概率，求出分布列和数学期望；方法二：得到，再根据二项分布性质求出分布列和数学期望.【小问1详解】设两人申请同一套住房为事件，，所以两人不申请同一套住房概率为；【小问2详解】方法一：随机变量可能取的值为.，，，所以的分布列为0123所以数学期望.方法二：依题意得，所以，所以的分布列为0123所以数学期望.19.近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底把除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合.（1）若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元）【答案】（1）936万元（2）3000万元【解析】【分析】（1）用表示第年年底扣除运营成本后直播平台的资金，然后根据已知计算可得；（2）由已知写出，然后由求得的范围．【小问1详解】记为第年年底扣除运营成本后直播平台的资金，则，故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元.【小问2详解】，由，得，故运营成本最多控制在万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元.20.如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.（1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由；（2）若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；（3）已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.【答案】（1）是，理由见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算，，，得到答案.（2）根据题意得到，，计算当时，，当时，，得到答案.（3）证明，得到，得到，代入计算得到证明.【小问1详解】因为，则，，又，故，数列是“速增数列”.【小问2详解】，当时，，即，，当时，，当时，，故正整数k的最大值为.【小问3详解】，故，即；，故，即，同理可得：，，，故，故，，得证.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定是解题的关键.21.已知椭圆的左右焦点分别为，，为上的动点.（1）若，设点的横坐标为，试用解析式将表示成的函数；（2）过点的直线与的另一个交点为，为关于轴的对称点，直线与轴交于点，求关于的表达式；（3）试根据的不同取值，讨论满足为等腰锐角三角形的点的个数.【答案】（1）.（2