湖北省襄阳四中、恩施高中、夷陵中学2024年6月高二联合测评数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省襄阳四中、恩施高中、夷陵中学2024年6月高二联合测评数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知(1+2x)n的展开式的各项系数之和为81，则n=(

)A.4 B.5 C.6 D.72.学校要从8名候选人(其中3名来自甲班)中选4名同学组成学生会，则甲班恰有2名同学被选中的概率为(

)A.14 B.23 C.373.设fx是可导函数，若limΔx→0f3−3Δx−fA.−1 B.−13 C.134.如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0 , 1 , 2 , ⋯ , 10，用X表示小球最后落入格子的号码，若P(X=k)≤P(X=k0)，则k0A.4 B.5 C.6 D.75.为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲､乙在内的4名城区教师前往三所乡镇学校支教．若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则甲､乙不安排在同一个学校的概率为(

)A.112 B.1112 C.166.把1，2，3，4，5这5个数排成一列，则满足先增后减(例如：1，3，5，4，2)的数列的个数是(    )．A.6 B.10 C.14 D.207.不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为(

)A.45 B.25 C.8158.已知函数f(x)=2aex与g(x)=lnx+1存在公切线，则实数aA.1e B.12e C.14e二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.Anm=nAn−1m−1(m,n为正整数且n>m>1)

B.满足方程C16x2−x=C165x−5的x值可能为x=1或x=3

10.下列命题中，正确的有(

)A.若随机变量X∼N2,σ2，P(X>1)=0.68，则P(2≤X<3)=0.18

B.若P(A)=0.6，P(B)=0.4，PBA=0.4，则事件A与事件B独立

C.若随机变量X∼B6,13，则DX=4311.函数fx=xex与A.若∃x1∈R，∃x2∈0,+∞，使得a≤fx1+gx2成立，则a≤2e

B.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知变量x,y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为y=0.85x+a，据此模型预测，当x=10时yx12345y34.54.86.46.313.若函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极小值，则实数c=____________________．14.根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X(X为正整数)满足：对于任意的n∈N∗，X=n+1的样本在X>n的样本里的数量占比与X=1的样本在全体样本中的数量占比相同，且均等于15，即四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在x+1a4(1)求展开式中含x1(2)求展开式中所有项的二项式系数的和及二项式系数最大的项．16.(本小题12分)某工厂有10000名工人，想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病，抽样化验显示，当前携带该细菌的人约占0．9％，若逐个化验需要化验10000次．统计专家提出一种化验方法：随机按n人一组进行分组，将各组n人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性(未感染)，则这n人的血样全部阴性;若混合血样呈阳性(感染)，则说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．该疾病主要通过人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上人群．该细菌进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对已发现的90个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为7．2年龄/人数长期潜伏非长期潜伏40岁以上15

50

40岁及40岁以下10

15

(1)依据α=0．05(2)假设潜伏期X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差附：χα

0.1

0.05

0.010

xα2.706

3.841

6.635

若ξ∼ N(μ,σ2)，则P(μ−σ<17.(本小题12分)已知函数f(x)=1(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)=f(x)−6x在区间[1,e]上是增函数，求实数a的取值范围．18.(本小题12分)在信息理论中，X和Y是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：P(X=xi)=mi，P(Y=xi)=ni，mi>0，ni>0，i=1，2，(1)若X∼B(3,12(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为p(0<p<1)，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为q，发出信号1(ⅰ)若p=12,q=23，求接收台收到信号为(ⅱ)记随机变量X和Y分别为发出信号和收到信号，证明：KL(X||19.(本小题12分)若函数f(x)的定义域为I，有x0∈I，使f′(x0)=0且f(x0)=0，则对任意实数k，(1)判断函数f(x)=x⋅sinx(2)若函数g(x)=aex(ⅰ)求实数p的取值范围;(ⅱ)当p取最大值时，若函数ℎ(x)=g(x)⋅ex+1+2m为恒切函数，记A=(−3e(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数.参考数据：e3答案1.A

2.C

3.A

4.B

5.D

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.ABC

11.ABD

12.10.95

13.2

14.1515.解：(1)二项式(x+1a4x)8展开式的通项为Tr+1==C8r(1a)r(x12)8−r(x−14)r=C8r1arx16−3r4，

所以第一项的系数为C80(1a)0=1，

第二项的系数为：C81(1a)1=16.解:

(1)零假设H0:“长潜伏期”与年龄无关.

根据列联表中的数据得χ​2=90×(15×15−50×10)265×25×25×65=2178845≈2.58<3.841,

故依据α=0.05的独立性检验,认为“长潜伏期”与年龄无关.

(2)因为潜伏期X~N(7.2，2.252),

由P(X≥13.95)=1−0.9974217.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

则f′(x)=x2−ax=x3−ax，

 ①当a≤0时，f′(x)>0，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;

 ②当a>0时，令f′(x)>0，可得x>3a;

令f′(x)<0，可得0<x<3a，

所以函数f(x)在(3a,+∞)上单调递增，在(0,3a)上单调递减．

综上知， ①当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;

 ②当a>0时，函数f(x)在(3a,+∞)上单调递增，在(0,3a)上单调递减．

(2)由g′(x)=f′(x)−6=3x2−ax−18=x3−6x−ax，

若函数g(x)=f(x)−6x在区间[1,e]上是增函数，

则x∈[1,e]时，a≤x3−6x恒成立，18.解：(1)因为X∼B(3,12)，pX=k=X0123P1331

H(X)=−(18log218+38log238+38log238+18log218)=3−34log23;

(2)(i)记发出信号0和1分别为事件Ai，

接受信号0和1分别为事件Bi，

则P(A0)=p，P(A1)=1−p，

P(B0|A0)=P(B1|A1)=q，

P(B1|A0)=P(B0|A1)=1−q，

所以P(B1)=P(A0)P(B119.解：(1)函数f(x)=x⋅sinx是恒切函数，理由如下：

设函数f(x)=x⋅sinx为恒切函数，则有x0∈I，使f′(x0)=0且f(x0)=0，

即sinx0+x0cosx0=0x0sinx0=0,

解得x0=0，

故函数f(x)=x⋅sinx是恒切函数．

(2)(i)由函数g(x)=aex2−x−pa为恒切函数可知，

存在x0，使得g′(x0)=0且g(x0)=0，

即aex02