2023届上海徐汇区高三二模数学试题及答案

高中PAGE1高中2022-2023学年上海徐汇区第二学期学习能力诊断卷高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，，则_________.2.若角的终边过点，则的值为_____________.3.抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm）数据如下：163165161157162165158155164162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________.4.命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________.5.在正项等比数列中，，则______．6.设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为___________.7.如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________.8.若，，则_________.9.已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为_________.10.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则_________.11.已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.12.已知数列满足：对于任意有，且，，其中.若，数列的前项和为，则_________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设，则是为纯虚数的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题正确率的极差大于讲座前正确率的极差15.设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8.下列判断正确的是（）A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题16.如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（）①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为.A.0 B.1 C.2 D.3三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.分组区间人数30751056030支持态度人数2466904218（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；年龄50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数不支持态度人数总计（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.参考数据：参考公式：18.已知向量，，函数.（1）设，且，求的值；（2）在中，，，且的面积为，求的值.19.如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别在，，且，.设.（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）当平面平面时，求的值.20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E.（1）当时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求的周长；（2）当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；（3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值.21.已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数.（1）函数，是否为函数﹖请说明理由；（2）若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；（3）若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式.参考答案：一．填空题：1、；2、；3、；4、；5、10；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；二．选择题：13、B；14、B；15、C；16、D；三．解答题：17、【答案】（1）列联表、答案见解析（2）分布列见解析，小问1详解】完成列联表如下，年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数60180240不支持态度人数303060总计90210300提出原假设年龄与所持态度无关，确定显著性水平，，，从而否定原假设，故有95%的把握认为年龄与所持态度具有相关性.【小问2详解】依题意，服从二项分布，故，,,,,所以分布列如下表，1234所以.18、【答案】（1）或（2）【小问1详解】.，得，故，，故或.【小问2详解】，由（1）知，在中，设内角、的对边分别是，则，故.由余弦定理得，故.解得或，于是，由正弦定理得，故.19、【答案】（1）60°（2）解：因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，，又因为，所以建立分别以，，为轴的空间直角坐标系.（1）设，则，，各点的坐标为，，，.，.因为，，所以.所以向量和所成的角为120°，所以异面直线与所成角为60°；（2）因为，，，设平面的法向量为，则，且.即，且.令，则，.所以是平面的一个法向量.同理，是平面的一个法向量.因为平面平面，所以，，解得.所以当平面平面时，.20、【答案】（1）（2）证明见解析，（3）；小问1详解】当时，椭圆：，的周长为；【小问2详解】当且直线过点时，椭圆：，直线斜率存在，，联立，消去得：，恒成立，设，，则，由，点的横坐标为0，考虑向量横坐标得到，，从而，，所以为定值3；【小问3详解】，解得，故椭圆方程，联立，消元得，，即，设，，则，，则，当为定值时，即与无关，故，得，此时，又点到直线的距离，所以，当且仅当，即时，等号成立，经检验，此时成立，所以面积的最大值为1.21、【答案】（1）是，理由见解析（2）（3），【小问1详解】是函数，理由如下，对任意，，，故【小问2详解】（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在严格递减，由，即，得，又，，则，（构造时，等号成立），所以；（ⅱ）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在严格增，由，同理可得，又，，则，（构造时，等号成