2023-2024学年浙江省杭州市联谊学校高一（下）质检数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省杭州市联谊学校高一（下）质检数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z−3i=4−i，则z的虚部为(

)A.2 B.4 C.−2 D.2i2.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10A.0.01 B.0.1 C.1 D.103.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)A.若α⊥β，m/​/α，则m⊥β B.若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

C.若m/​/α，n⊥α，则m⊥n D.若m⊥n，m/​/α，则n⊥α4.已知向量a，b满足|a|=2，b=(3,0)，|a−b|=A.(16,0) B.(13,0)5.函数y=sinxcosx+3cos2A.π B.2π C.π4 D.6.已知关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集为(−∞,m)∪(4m,+∞)，其中m<0A.−4 B.4 C.5 D.87.已知圆锥的轴截面为△PAB，P为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为12π，若∠APB=60°，则该圆锥的体积为(

)A.93π B.123π8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccosA+acosC=6，AC边上的高为33，则∠ABC的最大值为(

)A.π6 B.π3 C.π2二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题为真命题的是(

)A.复数2−2i对应的点在第二象限

B.若i为虚数单位，则i2023=−i

C.在复数集C中，方程x2+x+1=0的两个解分别为−12+32i和−1210.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，则下列叙述正确的是(

)A.若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形

B.若△ABC为锐角三角形且外心为P，AP=xAB+yAC且x+2y=1，则a=c

C.若a=2，b=3，∠A=30°，则解此三角形的结果有一解

D.“11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A.三棱锥A−D1PC的体积不变

B.直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为[π4,π2]

C.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若3a=12，b=log412，则13.从某果树上随机摘下11个水果，其直径为12，13，14，14，16，20，20，21，22，23，25(单位：cm)，则这组数据的第六十百分位数为______．14.已知函数y=2sin(ωx−π3)(ω>0)在区间(π3四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=3，点E为线段PD的中点．

(1)求证：PB/​/平面AEC；

(2)求证：AE⊥平面PCD；

(3)求三棱锥A−PEC的体积．16.(本小题12分)

已知m>0，n>0，如图，在△ABC中，点M，N满足AM=mAB,AN=nAC,D在线段BC上且BC=4BD，点E是AD与MN的交点，AD=3AE．

(1)分别用AB,17.(本小题12分)

在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，已知向量m=(cosC,2cos2B2−1),n=(b,c−4a)且m⋅n=0，D为边AC上一点，BD=25且CD=2AD18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，AD=2．

(1)证明：AM⊥平面PCD；

(2)若二面角M−BC−D为π6，求异面直线AB与PC所成角的正切值．

答案1.A

2.C

3.C

4.C

5.A

6.C

7.A

8.B

9.BC

10.ABD

11.ABD

12.1

13.20

14.(115.解：(1)证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，

如图示：

∵O是正方形ABCD对角线交点，∴O为BD的中点，

由已知E为线段PD的中点，∵PB//OE，

又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，

∴PB/​/平面ACE；

(2)证明：∵PA=AD，E为线段PD的中点，∴AE⊥PD，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

在正方形ABCD中，CD⊥AD，又PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，

∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，

∴AE⊥平面PCD；

(3)∵AE⊥平面PCD，∴三棱锥A−PCE的体积

V=13S16.解：(1)因为BC=4BD，

所以AD=AB+BD=AB+14BC=AB+14(AC−AB)=34AB+14AC，

因为AD=3AE，

所以AE=13AD=13(34AB+14AC)=14AB+11217.解：(1)由m⋅n=0可得，bcosC+(c−4a)(2cos2B2−1)=0，

则sinBcosC+(sinC−4sinA)cosB=0，

即sinBcosC+cosBsinC−4sinAcosB=0，

所以sin(B+C)=4sinAcosB，即sinA=4sinAcosB，

又sinA≠0，

所以cosB=14，即cos∠ABC=14；

(2)由于D为边AC上一点，CD=2AD，

则BD=23BA+13BC，

又BD=25，

18.解：(1)在四棱锥P−ABCD中，由底面ABCD为矩形，得CD⊥AD，

由侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，

得CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，则CD⊥AM，

又侧面PAD是正三角形，M是PD的中点，则PD⊥AM，

又PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，

所以AM⊥平面PCD．

(2)如图，

在平面PAD内，过点M作MH⊥AD，垂足为H，显然MH=32，

由侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，得MH⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，

则BC⊥MH，过H作HN⊥BC，垂足为N，连接MN，显然MH∩HN=H，

MH，HN⊂平面MNH，则BC⊥平面MNH，而MN⊂平面MNH，

因此BC⊥MN，

则∠MNH即为二