2023-2024学年河北省廊坊市文安一中高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省廊坊市文安一中高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(2−i)(1+3i)在复平面内对应的点所在的象限为(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.某校高一年级有男学生600人，女学生400人，已知男学生、女学生的平均身高分别为170cm和160cm.则该校高一年级全体学生的平均身高为(

)A.168cm B.164cm C.165cm D.166cm3.已知单位向量a与b的夹角为π3,a⊥(kaA.12 B.32 C.−4.已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，m⊂α，n⊂β，α∩β=l，m⊥l，n/​/α，则下列命题正确的是(

)A.m/​/n B.l/​/n C.α⊥β D.m⊥β5.在正方形ABCD中，点E满足DE=2EC，点F满足BF=12BA+A.−12 B.12 C.36.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的截面α与AC交于点G，与BD交于点H，AB=1，若AB/​/截面α，且CD/​/截面α，四边形GEHF是正方形，则CD=(

)

A.12 B.1 C.32 7.如图，一艘船航行到点B处时，测得灯塔A在其北偏西60°的方向，随后该船以20海里/小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点C，测得灯塔A在其南偏西75°的方向，此时船与灯塔A间的距离为(

)A.203海里

B.403海里

C.208.如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且∠BAC=30°，OA=OS=2，D为线段AB上的动点，则SD+CD的最小值为(

)A.5+1

B.5−1

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面向量a=(1,3),A.|a+b|=27 B.b⋅(b−a)=6

C.a10.关于复数z，下面是真命题的是(

)A.若z−z∈R，则z∈R B.若z2∈R，则z∈R

C.若z2=|z|11.如图，该多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上.若MN=2，则(

)A.AB=32

B.该多面体外接球的表面积为(10+42)π

C.直线MG与直线PQ的夹角为π4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某社区有男性居民900名，女性居民600名，该社区卫生服务站为了解该社区居民的身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用等比例分层随机抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则样本中男性居民的人数为______．13.某同学将一张圆心角为π3的扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的侧面，已知OB=2OA=60cm，则制成的简易笔筒的高为______cm．14.已知|a|=3,|b|=2,|c|=1，且四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cosC(acosB+bcosA)=c．

(1)求cosC的值；

(2)若c=22，△ABC的面积为2，求△ABC16.(本小题15分)

在等腰梯形ABCD中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A(−2,4)，D(−3,0)，BC=4BE．

(1)求CE⋅DE；

(2)若点F在线段CD上，FE17.(本小题15分)

如图，在六面体ABCDEF中，DE/​/CF，正方形ABCD的边长为2，DE=2FC=2，AE=22,BE=23．

(1)证明：平面ADE//平面BCF．

(2)求直线EF与平面ABCD所成角的正切值．

18.(本小题17分)

如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，∠DAB=90°．

(1)若AD=AB=2,∠ABE=150°,∠C=30°，求AE；

(2)若AD=AB=2，∠C=45°，求AE19.(本小题17分)

如图①所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别是AC，AB上的点，且DE/​/BC，AC=2BC=3DE=6.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②所示.M是线段A1D的中点，P是A1B上的点，EP//平面A1CD．

(1)求A1PA1B

答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.D

6.B

7.C

8.A

9.ABD

10.CD

11.BCD

12.60

13.514.[−215.解：(1)已知3cosC(acosB+bcosA)=c，

代入正弦定理得3cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，

即3cosCsin(A+B)=sinC，又sin(A+B)=sinC>0，则cosC=13．

(2)由于cosC=13，则sinC=1−cos2C=223，

△ABC的面积为2，则12ab⋅sinC=2，所以ab=316.解：(1)根据题意，可得B(2,4)，C(3,0)，BC=(1,−4)，

设E(x,y)，可得BE=(x−2,y−4)=14BC=(14,−1)，所以x−2=14y−4=−1，解得x=94y=3，得E(94,3)．

所以CE=OE−OC=(−34,3)，DE=OE−OD=(17.解：(1)证明：∵DE/​/CF，DE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，

∴CF/​/平面ADE，

在正方形ABCD中，AD//BC，又∵AD⊂平面ADE，

BC⊄平面ADE，∴BC/​/平面ADE，

∵CF∩BC=C，CF⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，

∴平面ADE//平面BCF．

(2)连接BD，延长EF，DC交于点O，

∵正方形ABCD的边长为2，DE=2FC=2，AE=22,BE=23．

∴AD2+DE2=AE2，∴AD⊥DE，

∵BD=AB2+AD2=22，∴BD2+DE2=BE2，∴BD⊥DE，

∵AD∩BD=D，∴DE⊥平面ABCD，

∴∠DOE为直线EF与平面ABCD所成的角，

在△ODE中，由CODO=18.解：(1)连接BD.在△ABD中，AD=AB=2,∠DAB=90°，

∴BD=2+2=2，∠ABD=45°．

∵∠ABE=150°，∴∠CBD=105°，∠BDC=180°−∠C−∠CBD=45°．

在△BCD中，BCsin∠BDC=BDsin∠C，∴BCsin45∘=2sin30∘，

∴BC=4sin45°=22，∵E为线段BC的中点，∴BE=2．

在△ABE中，AE=AB2+BE2−2AB⋅BEcos∠ABE=4+23=3+1．

(2)设∠DBC=θ∈(0,3π19.(1)解：过点P作PN/​/BC交A1C于点N，连接DN，设DN∩CM=O，

∵BC/​/DE，∴PN//DE，

∴点P，N，D，E在同一平面内，

∵EP//平面A1CD，平面PNDE∩平面A1CD=DN，

∴EP//DN，

∴四边形DNPE为平行四边形，即PN=DE，

故A1PA1B=NPBC=DEBC=23．

(2)证明：在△A1CD中，A1C⊥CD，A1D=4，CD=2，∴∠CA1D=30°，

∵M是线段A1D的中点，∴∠MCA1=30°，∠MCD=60°，

∵A1NA1C=A1PA1B=23，∴CN=233，

在△NCD中，∠NDC=30°，

∴∠