清华附中朝阳校2024届中考联考数学试题含解析

清华附中朝阳校2024届中考联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列计算中，正确的是（）A． B． C． D．2．∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（）A． B． C． D．3．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是()A． B． C． D．4．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A．25° B．50° C．60° D．30°5．在学校演讲比赛中，10名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的是()A．最高分90 B．众数是5 C．中位数是90 D．平均分为87.56．已知一次函数且随的增大而增大，那么它的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数．小昱在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加1．若小昱在某页写的数为101，则阿帆在该页写的数为何？（）A．350 B．351 C．356 D．3588．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B．已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（）A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小9．如图，已知二次函数y=ax2+bx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（1，2），有下面四个结论：①ab＞0；②a﹣b＞﹣；③sinα=；④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤1．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①④ D．③④10．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（）A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x111．四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（）A．﹣1B．2C．0D．﹣312．二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=1，下列结论：（1）4a+b=0；（1）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+1c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y1）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y1；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x1，且x1＜x1，则x1＜﹣1＜5＜x1．其中正确的结论有（）A．1个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直线y=x﹣经过直角顶点B，且平分△ABC的面积，BC=3，点A在反比例函数y=图象上，则k=_______．14．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，则m的值为_____．15．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交BC于点E，且BE=2EC，若四边形ODBE的面积为8，则k=_____．17．如图，在正六边形ABCDEF中，AC于FB相交于点G，则值为_____．18．已知一组数据－3，x，－2，3，1，6的众数为3，则这组数据的中位数为______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）先化简，再求值，，其中x=1．20．（6分）如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．21．（6分）计算:(-1)-1-++|1-3|22．（8分）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．23．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：此次共调查了名学生；将条形统计图1补充完整；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．24．（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中均为整数），则有．∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝，＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空：＋＝(＋)2；（3）若，且均为正整数，求的值．25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B求证：△ADF∽△DEC；若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．26．（12分）已知线段a及如图形状的图案.（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.27．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，E为BC边上一动点（不与B、C重合），AE、BD交于点F．（1）当AE平分∠BAC时，求证：∠BEF=∠BFE；（2）当E运动到BC中点时，若BE=2，BD=2.4，AC=5，求AB的长．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解析】

根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方进行计算即可．【详解】A、（2a）3=8a3，故本选项错误；B、a3+a2不能合并，故本选项错误；C、a8÷a4=a4，故本选项错误；D、（a2）3=a6，故本选项正确；故选D．【点睛】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．2、D【解析】

连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案．【详解】连接CD，如图：，CD=，AC=∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==．故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°．3、C【解析】

易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=,=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【详解】∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD，∴=,=，∴+=+==1.∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=.故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.4、A【解析】如图，∵∠BOC=50°，∴∠BAC=25°，∵AC∥OB，∴∠OBA=∠BAC=25°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=25°.故选A.5、C【解析】试题分析：根据折线统计图可得：最高分为95，众数为90；中位数90；平均分=(80×2+85+90×5+95×2)÷(2+1+5+2)=88.5.6、B【解析】

根据一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小，进行解答即可．【详解】解：∵一次函数y=kx-3且y随x的增大而增大，

∴它的图象经过一、三、四象限，

∴不经过第二象限，

故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与k、b的值有关是解题的关键.7、B【解析】

根据题意确定出小昱和阿帆所写的数字，设小昱所写的第n个数为101，根据规律确定出n的值，即可确定出阿帆在该页写的数.【详解】解：小昱所写的数为1，3，5，1，…，101，…；阿帆所写的数为1，8，15，22，…，设小昱所写的第n个数为101，根据题意得：101=1+（n-1）×2，整理得：2（n-1）=100，即n-1=50，解得：n=51，则阿帆所写的第51个数为1+（51-1）×1=1+50×1=1+350=2．故选B.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．8、C【解析】如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，∴S△ACM=S△BCM=S△ABC，开始时，S△MPQ=S△ACM=S△ABC；由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，S△MPQ=S△ABC；结束时，S△MPQ=S△BCM=S△ABC．△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大．故选C．9、B【解析】

根据抛物线图象性质确定a、b符号，把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系，代入②，不等式kx≤ax2+bx的解集可以转化为函数图象的高低关系．【详解】解：根据图象抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，则a＞0，b＜0，则①错误将A（1，2）代入y=ax2+bx，则2=9a+1b∴b=，∴a﹣b=a﹣（）=4a﹣＞-，故②正确；由正弦定义sinα=，则③正确；不等式kx≤ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象则满足条件x范围为x≥1或x≤0，则④错误．故答案为：B．【点睛】二次函数的图像，sinα公式，不等式的解集．10、D【解析】

先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性，再根据y1＜0＜y2＜y3判断出三点所在的象限，故可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣1＜0，∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵y1＜0＜y2＜y3，∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x3，y3）两点均在第二象限，∴x2＜x3＜x1．故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．11、D【解析】解：∵－1＜－1＜0＜2，∴最小的是－1．故选D．12、B【解析】根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-4a，变形为4a+b=0，所以（1）正确；由x=-3时，y＞0，可得9a+3b+c＞0，可得9a+c＞-3c，故（1）正确；因为抛物线与x轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a﹣3b+1c=7a+11a-5a=14a，由函数的图像开口向下，可知a＜0，因此7a﹣3b+1c＜0，故（3）不正确；根据图像可知当x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x增大而减小，可知若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y1）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y1，故（4）不正确；根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x1，且x1＜x1，则x1＜﹣1＜x1，故（5）正确．正确的共有3个.故选B.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax1+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．

抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b1﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b1﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b1﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1【解析】分析：根据题意得出点B的坐标，根据面积平分得出点D的坐标，利用三角形相似可得点A的坐标，从而求出k的值．详解：根据一次函数可得：点B的坐标为(1，0)，∵BD平分△ABC的面积，BC=3∴点D的横坐标1.5，∴点D的坐标为，∵DE：AB=1：1，∴点A的坐标为(1，1)，∴k=1×1=1．点睛：本题主要考查的是反比例函数的性质以及三角形相似的应用，属于中等难度的题型．得出点D的坐标是解决这个问题的关键．14、1【解析】

由抛物线y=x2-2x+m与x轴只有一个交点可知，对应的一元二次方程x2-2x+m=2，根的判别式△=b2-4ac=2，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．【详解】解：∵抛物线y=x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，∴△=2，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×m=2；∴m=1．故答案为1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则△＞2；②抛物线与x轴无交点，则△＜2；③抛物线与x轴有一个交点，则△=2．15、1【解析】

由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．【详解】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，∴d＝R﹣r＝5﹣2＝1cm，故答案为1．【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．16、1【解析】

连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积，再求出△OCE的面积为2，即可得出k的值．【详解】连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y=（x>0）的图象上，∴△OAD的面积=△OCE的面积，∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=1，∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=2，∴k=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义：在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．17、．【解析】

由正六边形的性质得出AB=BC=AF，∠ABC=∠BAF=120°，由等腰三角形的性质得出∠ABF=∠BAC=∠BCA=30°，证出AG=BG，∠CBG=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出CG=2BG=2AG，即可得出答案．【详解】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝AF，∠ABC＝∠BAF＝120°，∴∠ABF＝∠BAC＝∠BCA＝30°，∴AG＝BG，∠CBG＝90°，∴CG＝2BG＝2AG，∴＝；故答案为：．【点睛】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．18、【解析】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．

详解：∵－3，x，－1，3，1，6的众数是3，

∴x=3，

先对这组数据按从小到大的顺序重新排序-3、-1、1、3、3、6位于最中间的数是1,3，

∴这组数的中位数是=1．

故答案为：1．点睛：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、1．【解析】

先根据分式的运算法则进行化简,再代入求值.【详解】解：原式=（）×=×=；将x=1代入原式==1．【点睛】分式的化简求值20、（1）反比例函数表达式为，正比例函数表达式为；（2），.【解析】试题分析：（1）将点A坐标（2，-2）分别代入y=kx、y=求得k、m的值即可；（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将△ABC的面积转化为△OBC的面积．试题解析：（）把代入反比例函数表达式，得，解得，∴反比例函数表达式为，把代入正比例函数，得，解得，∴正比例函数表达式为．（）直线由直线向上平移个单位所得，∴直线的表达式为，由，解得或，∵在第四象限，∴，连接，∵，，，．21、-1【解析】试题分析：根据运算顺序先分别进行负指数幂的计算、二次根式的化简、0次幂的运算、绝对值的化简，然后再进行加减法运算即可.试题解析：原式=-1-=-1.22、（1）证明见解析；（2）△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．【解析】

（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE=OF；

（2）证明四边形DEBF是矩形，由矩形的性质和等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF；（2）∵OE=OF，OB=OD，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形，∴BD=EF，∴OD=OB=OE=OF=BD，∴腰长等于BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与平行四边形的性质.23、(1)200；(2)见解析；(3)126°；(4)240人．【解析】

(1)根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数(2)根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数;(3)根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数;(4)利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比,从而求出喜欢社科类书籍的学生人数【详解】(1)∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，故答案为200；(2)∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，如图所示：(3)∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%＝12%，∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．【点睛】此题考查扇形统计图和条形统计图，看懂图中数据是解题关键24、（1），；（2）2，2，1，1（答案不唯一）；（3）＝7或＝1．【解析】

(1)∵，∴，∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．故答案为m2＋3n2，2mn．(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝1，b＝2mn＝2．故答案为1，2，1，2(答案不唯一)．(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵2＝2mn，且m、n为正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝1．25、（1）见解析（2）6【解析】

（1）利用对应两角相等，证明