一元二次函数、方程和不等式教案

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.2基本不等式（共2课时）

（第1课时）

教材分析

本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等

式》第1课时。从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形

相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导

学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。引导学生学会观察几何图形，进行几何与

代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理

等数学核心素养。

教学目标与核心素养

课程目标素养

A.推导并掌握基本不等式理解这个基本不a.数学抽象：将问题转化为基本不等式；

等式的几何意义，并掌握定理中的不等号b.逻辑推理：通过图形，分析法与综合法等证明

取等号的条件是：当且仅当两个数相基本不等式；

等；c.数学运算：准确熟练运用基本不等式；

B.通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒d.直观想象：运用图像解释基本不等式；

体体会基本不等式—<4ah等号成立条e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；

2

件，进一步掌握基本不等式；

C.积极倡导同学们进行几何与代数的结合

运用，发现各种事物之间的普遍联系.

教学重难息

1.教学重点：从不同角度探索不等式向〈审的证明过程'会用此不等式求某些简单函数的最

值；

2.教

教学过程教学设计意图

学难

核心素养目标

点：

（一）.情景导学

基本

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会通过介绍第24届

不等

标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计国际数学家大会会

式

的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。标的背景，进行设

工而

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动问，引导学生观察分2

等号

的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。析，发现图形中蕴藏

成立

条

件；

课前准备

多媒

体

教学过程

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.的基本不等式，培养

思考1:这图案中含有怎样的几何图形？学生数学抽象和逻

思考2:你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？辑推理的核心素养，

(二，探索新知同时渗透数学文化，

1.探究图形中的不等关系和爱国主义教育。

将图中的“风车"抽象成如图，在正方形A.BCD中有4个全等的直

角三角形.设直角三角形的两条直角边

长为a,b(arb),

那么正方形的边长为J/+〃.

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为a2+b2.

由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，

我们就得到了一个不等式：a2+b2>2ab.通过图形得到了

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，重要不等式的.几何

正方形EFGH缩为一个点，解释，为了更准确地

这时有"+〃=2".(通过几何画板演示当a=b时的图像)感知和理解，再从数

2.得到结论(重要不等式)：一般的，对于任意实数a,b,我们有学的逻辑方面给出

/+/22ab,当且仅当a=b时，等号成立.证明，不仅培养了学

生严谨的数学态度，

3.思考证明：你能给出它的证明吗？(设计意图：证明：因为

a1+b'-2ab-(a-b》而且还可以从中学

习到分析法证明的

v(a-Z?)2>0,:.a2+b2>2ab

大体过程，培养和发

当且仅当a=b时等号成立

展数学抽象和逻辑

4.(1)基本不等式:如果a>0,b>0,我们用石、4b分别代替a、

推理的核心素养，增

b,可得a+b»2向,通常我们把上式写作：基本不等式

强数形结合的思想

—>V^(a>0,b>0)(当且仅当时，取等号)

2意识。

5.基本不等式:(1)在数学中，我们称厘为a、8的算术平均数，

2

称而为a、b的几何平均.数.本节定理还可叙述为：两个正数的算

术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。

(2)从不等式的性质推导基本不等式

如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。

用分析法证明：证明不等式审>我(〃>0/>0)

证明：要证应把之而

2

只要证Q+622>[ab

只要证->0

只要证(、石-北，20,显然，是成立的.

当且仅当a=b时，(3)中的等号成立.

(3)理解基本不等式幺心>痣的几何意

2

义

探究：你能利用这个图形得出基本不等式“力、

友<等的几何解释吗？

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过

点C作垂直于AB的弦DE连接AD、BD.(l)AB表示什么?(2)什

2

表示哪个线段?(3)4ab对应哪个线段呢？

(4)OD与CD的大小关系如何？

易证RbACD-RfDCB,那么CD2=CACB即CD=疝.

这个圆的半径为冬，显然，它大于或等于CD,即幺吆>瓢,

22

其中当且仅当点C与圆心重合.，即a=6时，等号成立.

.因此：基本不等式向<土心几何意义是"半径不小于半弦”

2

【归纳总结】

1、由赵爽弦图我们得到了重要不等式：a2+b2>2ah

(1)通过换元我们得到了基本不等式：生心>友

2

(2)两个不等式的区别和联系：区别：a,b范围不同;联系:等号成

立的条件相同

(3)从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；

从数的角度来看，基本不等式揭示了"和"与"积”这两种结构间

的不等关系

从不同的侧面理

(三)典例解析

解不等式，培养学生

利用基本不等式求最值

数形结合的思想意

(1)已知a>0,人>0,〃万=36,求4+阴勺最/卜值。

识。

解析：

Q啜友

/

\a+b?l^ab2/=12(当且仅当a=〃=6时取等)

(2)已知a>0,Z?>0,a+/?=18,求“阴勺最大值。

解析：

c/—7a+b.c‘a+b、?.18.02

Q4ab,M?(丁丁—)2=81

222

(当且仅当a=6=9时取等)

故ab的最大值为81

基本不等式的使用条件

例2、(1)已知x<0,求函数/1(x)=x+』的最小值

X

解"(x)=x+」=-[(-x)+(/)]?2.(-x)?(-)=-2

xxVx

当且仅当-x=-1即x=-l时有最小值-2

X

(2)已知x>3,函数y=》+」一,当x为何值时，函数

x-3

有最值，并求其最值。

解析:

Qx>3

'y="x-3=(X-3)+X_3+3?2\'(x3)?93=5

当且仅当x-3=—L,即x=4时，函数有最小值,

%-3

最小值为5。

⑶若0<x<g,求函数y=x(l-2x)的最大值。

解：v0<x<-,

2

QI-2x>0

2

\y=x(l_2x)=g泰尤(l—2x)W；j1ix+(l-2x)_1

i!28

当且仅当2g(1-2M,即》=‘时，取"="号.

4

当x=!时，函数片*1-2M的最大值是.

4

跟踪训练L设0。<卞求函数y=4x(3-2x)的最大值。

3

W：QO<x<-\3-2%>0

\y=2鬟x(3-2x)W2(-----------)2=-

当且仅当2%=3-2xBPx=-?(0,-)时取等

42

2.函数/Xx)=4r3+-]=^能否用基本不等式求最小值？

X2+2

由基本不等式知G"J+亍1=?2依2

通过典型例题的

当且仅当+2=_^=即丘+2=1时取等,而这是不可解析和跟踪练习，让

&2+2

能的，故此函数不能用基本不等式求最小值。学生明确运用基本

不等式的三个关键

步骤；一正、二定、

三相等，发展严谨细

致的思考习惯，训练

思维的灵活性。

三、达标检测

1.下列不等式中，正确的是（）

4

A.8+一24B.〃+524ab

a

/—a+b3/—

7ab>-D.^+~>2y]3

4

解析：选D.a<0,则a+->4不成立，故A错；a=1,b=1,于

a

i—a+b

+H〈4ab.故B错，a=4,/?=16,贝！,故C错；由

基本不等式可知D项正确.通过练习巩固本节

1所学知识，提高学生

2.若a>1,则a+—消勺最小值是（）

3-1

运用基本不等式解

2yl'a

A.2B.aC.^TD.3决问题的能力，感悟

a-1

其中蕴含的数学思

解析：选D.a>l,所以a-l>0,

想，增强学生的逻辑

11/1

所以a+=a-l++1>2A/（a-1）.+1=3.

a-1a-1\la-1推理和数学运算素

1养。

当且仅当a-1=i即a=2时取等号.

a-1

（川4a）

3.若a,6都是正数，则1+=1+—的最小值为（）

1a）\b）

A.7B.8C.9D.10

解析：选C.因为a,b都是正数,所以

(Z?Y4a)b4a/b4a

l+-l+~=5+~+-->5+2A/---=9,

Iakb)ab\jab

当且仅当b=2a>0时取等号.

19

4.已知x>0,y>0,且［+,=1,则x+y的最小值为_______.

fl9")y9x

解析：x+y={x+y)--+-=10+-+一

VY)xy

(y9x

>10+2A=10+6=16.

xy

即x=4，片12时等号成立，所以x+y的最小值为16.

四、小结生学生根据课堂

本节课，我们学习了重要不等式»+^>2ab;基本不等式；两正数学习，自主总结知识

a、b的算术平均数（等）,几何平均数（/石）及它们的关系要点，及运用的思想

方法。注意总结自己

（等>〃而）.它们成立的条件不同，前者只要求8、6都是实数，

在学习中的易错点；

而后者要求a6都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求

函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）.

五、作业

1.习题2.21,2,4,5题

2.预习下节课内容

2.2.2基本不等式（第2课时）

教材分析

本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等

式》第2课时。从内容上看是对基本不等式在实际问题中应用的学习，通过问题解决，

发展学生数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养。在学法上要指导

学生：从实际问题中列出数量关系式，进而运用基本不等式解应用题，数学建模能力也

是本节要体现的重要素养。对例题的处理可让学生先思考，然后师生共同对解题思路进

行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。

教学目标与核心素养

课程目标素养

A.能够运用基本不等式解决生活中的应用a.数学抽象：在实际问题中抽象出不等式；

问题；b.逻辑推理：运用基本不等式求最值的条件；

B.围绕如何引导学生分析题意、设未知量、c.数学运算：灵活运用基本不等式求最值；

找出数量关系进行求解这个中心。例题的安d.直观想象：运用图像解释基本不等式；

排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；

知水平；

C.进一步培养学生学习数学、应用数学的意

识以及思维的创新性和深刻性.

教学重难息

1.重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值；

2.难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件

课前准备

教学过程教学设计意图

多媒

核心素养目标

体

（一）、小试牛刀

教学过程

1.判断正误.（正确的打"V",错误的打"X"）通过课堂小测，

（1）对任意的a,6eR,若a与b的和为定值测8b有最大值.（）了解学生对基本不

⑵若9=4,则x+y的最小值为4.（）等式的掌握情况，暴

露问题及时纠正。通

（3）函数ZW=M+必+i的最小值为）

过解题培养学生数

答案：（l）x（2）x（3）V

学抽象和逻辑推理

11

2.已知x+y=l且x>0,y>0,则[+,的最小值是（）的核心素养。

A.2B.3C.4D.6

11x+y11

解析：；去一：+==>/、=4,

xyxyxy[x+yj

12/

1

当且仅当x=y=Q时取等号，

11x+yx+yyx1

法二：+=+=2++24,当且仅当x=p二今时取等

xyxyxy2

当

通过简单的应用

答案：c

性问题，让学生体会

(二，探索新知在实际问题中运用

问题1.用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、基本不等式的步骤。

宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？培养和发展数学抽

象和数学建模的核

心素养。

解：(1)设矩形菜园的长为Xm,宽为ym.^xy=100,

篱笆的长为2(x+y)m

由亨2国，

可得X+y>2V100,2[x+y)>40

等号当且仅当X、时成立，此时x=y=10,因此，这个矩形的

长、宽为10m时，

所用篱笆最短，最短篱笆为40m

结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相

等时取最值.简记”积定和最小”.

问题2.用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的

长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解：设矩形菜园的长为Xm,宽为ym厕2(x+y)=36,

x+y=18,矩形菜园的面积为孙m2,

由历工号若=9,

可得xy<^,

可得等号当且仅当x=3，时成立，此时x=y=9

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积

为81小

结论2:两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相

等时取最值.简记”和定积最大”.

(三)典例解析

均值不等式在实际问题中的应用

例1、某工厂要建造一个长方形无盖贮水(二)

池，其容积为4800m)深为3m。如

果池底每平方米的造价为150元，池壁-------

每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造

价为多少元？

分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化

为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。

解：设底面的长为Xm,宽为ym,水池总造价为Z元，

根据题意，有通过典型例题解

z=150x^^+120(2x3%+2x3y)=240000+720(%+>)析，发展学生数学抽

象和数学建模的核

由容积为4800，/,可得心素养。

3xy-4800xy-1600

由基本不等式与不等式性质，可得

240000+720(x+y)>240000+720x2^/xy

即z>240000+720x271600z>297600

可得等号当且仅当x=y时成立，此时X=y=4()

所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低

造价为297600元

跟踪训练1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所

示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000m2,其中场地四

周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2m,中间的三个矩形区域将铺

设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地

占地面积为5平方米.

(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；

(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？

［解析］Q)由已知以=3000,2a+6=y,

3000

贝Uy=*(6<%<500),

y-6

S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a=(2x-10)-?=(x-5)(y-6)=

15000

3030-6-x(6<x<500).

150001—15000

(2)S=3030-6x-*43O3O-21/6¥*=3030-

2x300=2430.

15000

当且仅当6x=*，即50时，"="成立，此时*=502=

60,

Smax=2430.即设计x=50m,y=60m时，运动场地面积最大，

最大值为2430m2.

2.某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格为每件

105

M504X480)元时，每天销售的件数为—402，若想每天获得的利润

最多，则销售价应定为多少元？

解析：方法一：设当销售价格为每件x元时，获得的利润为y,由题

105

意知，片(x-50)*402

________105________

=(八5。)X-502+20%-50+100

105通过典型例题的

100

x-50+r+20解析和跟踪练习，让

x-50

学生总结归纳，运用

100

：x-50>0,:.x-50+-220,

x-50基本不等式解决应

105用问题的基本步骤。

“=2500,

J20+20

100

当且仅当%-50=即x=60或x=40(舍去)时，等号成立，

X~5U

J4nax=2500.

105

方法二：由题意知，片(X-50)-,

X—4U

令*-50=t,x=t+50(f>0),

105f105f105105

贝v~—=<=2500

/t+102f+20t+100100-20+20

f+—+20

100

当且仅当t=—},即t=10时，等号成立，

此时x=60,为1ax=2500.

答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多，最多利润为2

500元.

【归纳总结】

求实际问题中最值的一般思路

Q)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式.

(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.

(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等

式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性.

(4)正确写出答案.

利用基本不等式证明简单的不等式

例2已知8力都是正数且"6=L

求证（1+加+引9.

分析:结合条件a+/?=L将不等式左边进行适当变形，然后利用基本不

等式进行证明即可.

证明:因为a>O,b>O,a+b=l,

所以ii=1+^=2+-,

+aaa

同理1+：=2+*

bb

故（/（1+加MW+加

5+2信+今25+4匠=5+4=9.

\abJqab

所以（1+3（1+3之9（当且仅当（1=8=；时,等号成立）

becaab

跟踪训练L已知：d,b,ceR+,求证：一+—+—>a+b+c.

abc

beca/beca

证明：由基本不等式：一+722A/—•—=2c,

ab\\ab

caababbe

同理：~+—>2a,—+—>2b.

bccc

becaab

三式相加即得：一+7+—>a+b+c

abc

（当且仅当'时取"二〃）.

【归纳总结】利用不等式用+加22ab和a+b>2y[^b

（a>0,620）时，关键是对式子恰当地变形，

合理造成"和式"与"积式”的互化，必要时可多次应用.

三、达标检测

1.已知正数a、。满足ab=10,则a+b的最小值是（）

Ao10B.25C.5D.2\［10

［解析］a+b>2-\［ab=2y110，等号在a=时成立，二选D.

2.小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和队a〈坊,

其全程的平均时速为心则（）

A.a<B.v=y/ab

通过练习巩固本节

1—a+b3+b

C.ab<i/<2D.1/=2

所学知识，提高学生

［解析］设从甲地到乙地的路