高中数学学案2：高中数学人教A版2019必修 第二册 平面与平面垂直

8.6.3.2平面与平面垂直的性质

【新知初探】

要点平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面

文字语言

的________,那么这条直线与另一个平面_________

符号语言acB=1,______,_________=>a_LB

图形语言

J

【基础1自)m

［判断］

1.若平面平面£,则平面。内所有直线都垂直于平面£.()

2.若平面平面£,则平面。内一定存在直线平行于平面£.()

3.若平面a不垂直于平面£,则平面a内一定不存在直线垂直于平面£.()

［训练］

若平面aj_平面£,平面£1.平面人则()

A.a口丫B.a_L/C.。与r相交但不垂直D.以上都有可

能

【题型通关】

题型一垂直关系的相互转化

【例1】已知加，〃表示直线，*£,7表示平面，给出下列三个命题：

(1)若an£=加，nua,〃_)_勿，则n±£；(2)若a_L£,aAy=m,BCy

—n,则nl.ni；

⑶若/，a,〃_L£,〃，则a_L£.其中正确的命题为()

A.(1)(2)B.(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

跟踪训练1若加，〃是两条不同的直线，a,£,7是三个不同的平面，则下列

命题中正确的是()

A.若/仁£,aJ_£,则ffl_LaB.若aCy=m,£Ay=n,m//n,则

a〃

C若

/_L6,勿〃a,则a_L£D.若a_Ly,aJL£,则£_L7

型

题二平面与平面垂直的性质及应用

度

角

1证明直线和平面垂直

I例

2］如图所示，四棱锥2一/凡力中，底面力腼是/%8=60°且边长为a

的菱形，侧面必〃为正三角形，其所在平面垂直于底面/四，G为边的中

点.求证：

(1)式1平面PAD；

②)ADLPB.

角度2与面面垂直的性质有关的计算问题

【例3】如图，在四面体力腼中，平面力比」平面应力，ABLBC,AC=AD=2,

BC=CD=\,求四面体力灰力的体积.

角度3面面垂直的性质在探究性问题中的应用

【例4】如图1,在矩形第力中，4?=1,48=3,〃为"上一点，且0仁2M.

将△/血/沿4"折起，使得平面匕平面ABCM,如图2,点夕是线段阴的中点.

⑴求四棱锥〃一ABCM的体积；

(2)求证：平面初£1平面4比肮

(3)过6点是否存在一条直线/,同时满足以下两个条件：

①上平面/比断②AL/。请说明理由.

跟踪训练2如图，在三棱锥［一比7?中，ABLAD,BCLBD,平面48区L平面比D

点£,F(E与A,〃不重合)分别在棱4〃BD上,旦瓯L被

求证：⑴如'〃平面48。；

ADA.AC.

题型三线线、线面、面面垂直的综合应用

【例5】如图所示，△力优为正三角形，笈人平面46GBD//CE,且==。=

2劭，M是劭的中点.

求证：⑴DE=DA；

(2)平面MILL平面ECA；

(3)平面〃劭，平面ECA.

【变式】本例条件不变，试求平面/应与平面/8C所成二面角的大小.

跟踪训练3如图，在四棱锥尸一/腼中，AB//CD,ABLAD,CD=2AB,平面必〃

，底面/腼，PALAD,£'和歹分别是缪和民的中点.

求证：⑴阳，底面48s

(2)应'〃平面PAD；

(3)平面比7U平面PCD.

【课堂达标】

1.在空间中，下列命题正确的是()

A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行

2.已知互相垂直的平面。，?交于直线］,若直线勿，A满足而〃a,则

()

A.m//1B.m//nC.z?±7D.mVn

3.如图，点尸为四边形力腼所在平面外一点，平面必。1.平面

ABCD,PA=PD,6为/〃的中点，则下列结论不一定成立的是()

A.PELACB.PELBC

C.平面小_L平面ABCDD.平面阳口_平面PAD

4.如图所示，三棱锥产一46。中,平面必6_L底面ABC,

且PA=PB=PC,则△力a'是—三角形.

5.如图，在三棱台ABC-DEF中,平面犯小平面ABC,ZACB=^O°,

BE=EF=FC=\,BC=2.

求证：6/L平面U

【札记】

参考答案

【新知初探】

交线

垂直

aua

a_L1

【基础自测】

［判断］

1.X平面。内的直线也可能平行于平面£或相交但不垂直.

2.V

3.V

［训练］

解析两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，

故A,B,C都有可能，故选D.

答案D

【题型通关】

【例1】解析对于(1),依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面

内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而〃只与£内的一条直线加

垂直，不能得到〃，£,故⑴不正确.对于(2),如图所示，在长方体/四一/'

B'CD'中，平面〃D'，平面/比〃平面48。'D'与平面〃3'〃'的交

线为广〃，与平面/腼的交线为力6,但CD'〃/笈故⑵不正确.对于⑶，

由于R_La,mLn,则n在平面a内或〃〃a.若〃在平面a内，由6可得a

J.£；若〃〃a,过A作平面与a交于直线/,则〃〃/,由得/_L£,从

而a_L£.故⑶正确.

答案B

跟踪训练1解析由线面平行、垂直的有关知识可排除A,B,D；对于C,因为

m//a,过/作平面7交a于〃，则加'〃勿，由于/_1_£,故加',又加'

ua,则a_L£,所以C正确.

答案C

【例2】证明(1)由题意知△必〃为正三角形，G是/〃的中点，.•.尸

又平面为〃，平面/比〃平面为〃n平面缪=/〃，2七平面必〃，

平面ABCD,由Bk平面48(%，：.PGLBG.

又•.•四边形/颇是菱形且N的8=60°,

劭是正三角形，：.BGA.AD.

又ADCPG=G,AD,PGu平面必〃，

.•.8C_L平面PAD.

(2)由⑴可知6G_L/〃，PGLAD,BGCPG=G,BG,Pk平面P8G,

所以4a平面如C,

又PBa平面PBG,所以A9_L/^

【例3】解如图所示，在平面/切内过〃点作〃EL/&垂足为色故由平面

48CL平面力修，力。为交线，DFu平面ACD,知殴1_平面ABC,即加是四面体

48(力的面/8C上的高.

设G为边切的中点，连接力G,则由AC=AD,知AGLCD,

从而AG=^A(^—C(}=^^22—=^^-

逅XI

,11/口AG•CD2V15

由〉。・郎=55・4G得DF=-T-=---=；.

乙乙zlCz乙X

在RtZX/a1中，AB=ylA"Bg=小,

=

S&ABC=~^B•BC^~.

I、氐

故四面体力题的体积卯=£.

OO

【例4】⑴解由已知力=〃%£是4犷的中点,

：.DEVAM.

,：平面平面ABCM,平面ADMC平面ABCM—AM,DEu平面力〃肌

.•.庞，平面ABCM.

四棱锥〃一4比¥的体积以=[x]lX3—gxiXl)xgxq^=4g.

⑵证明由⑴可得，鹿平面力比弘DEu平面DEB,

，平面颂，平面ABCM.

(3)解过8点存在一条直线/，同时满足以下两个条件：

①/<=平面4比肱②AL49.理由：

在平面力比"中，过点8作直线/,使/_L4Z

平面/平面ABCM,平面ABCMC平面ADM=AM,lu平面ABCM,

平面4W,

又Y/IZt平面ADM,

：.1LAD.

跟踪训练2证明⑴在平面力劭内，ABLAD,EFLAD,

则AB//EF.

'：ABa5F®ABC,EN平面砒,

...跖〃平面ABC.

(2)'JBCYBD,平面4被A平面比劭，平面/应小平面比〃at平面比〃

.•.8C_L平面ABD.

•.3代平面C.BCLAD.

VAB±AD,BC,加平面的BCCAB=B,

平面ABC,

又ACa平面力8C,

，ADLAC.

【例5】证明⑴设朝a,如图，作分'〃区交"于凡

则CF=DB=a.

因为区L平面力比；BCu平面/比；

所以BCLCE,所以〃4EC,

所以所=N欧+W=/a.

又因为被〃密所以〃6,平面力欧

因为/代平面ABC,所以DBLAB,

所以DA=平两市=邓a,

所以DE=DA.

⑵取。的中点爪连接楙；BN,则助脱若龙统血.

乙

所以四边形物劭为平行四边形，

所以MD//BN.

又因为比'_1_平面Z8C,BAc平面ABC,

所以£C_L刚所以反工的

又施=的，物为£4的中点，

所以DMLAE.

因为£以=平面4仇7,AECEC=E,

所以〃心平面AEC,又Z!Jfc平面BDM,

所以平面做匕平面ECA.

⑶由⑵知〃区L平面AEC,

而〃W=平面DEA,

所以平面姐J_平面

【变式】解如图延长口交%延长线于点/V,连接AV,设做=a,

由例题知，CE=AC=BC=AB=2a.

BD]

在△四V中，由笈=5知8为GV中点，

CE2

：.CB=BN=2a.

.•.△/员¥中，ZABN=120°,ZBAN=Z^=30°,

/.ZC4A^=90°,即阴

又比上平面48GA为u平面/8G

:.EC工NA,又On喈=C,CA,m=平面"E

...胡_L平面/纲又AE,"t平面小石

：.NALAE,NALAC,且曲，为平面力庞与平面的交线.

...N。夕为平面/应与平面48c所成二面角的平面角，

在康△/方中，AC=CE,

/。£=45°,

二平面4龙与平面/a'所成二面角的大小为45°.

跟踪训练3证明(1)因为平面为〃_1底面ABCD,且PALAD,平面为〃n平面

ABCD=AD,处u平面必〃

所以为_1_底面ABCD.

(2)因为48〃切，CD=2AB,£为勿的中点，

所以AB〃旭旦AB=DE.

所以四边形力颇为平行四边形.

所以BE//AD.

又因为幽平面PAD,ADa平面PAD,

所以龙〃平面用〃

⑶因为且四边形/颇为平行四边形，

所以出工切，ADVCD.

由⑴知为，底面力腼，又Cg平面ABCD,

所以PALCD.又ADHPA=A,AD,PAa平面PAD,

所以切，平面PAD.又Pg平面PAD,所以CDLPD.

因为少和少分别是缪和房的中点，

所以PD//EF.所以CDVEF.

又EFCBE=E,EF,BEu平面BEF,

所以5，平面BEF.

又CZt平面PCD,

所以平面颂，平面PCD.

【课堂达标】

1.解析A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，

平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个

平面可能平行或相交；D项正确.

答案D

2.解析因为。n