同步优化设计2021年高中数学模块综合测评含解析北师大版选择性必修第一册

模块综合测评

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要

求的.

1.(2020江西景德镇期末)直线fcr-y-l=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,则实数k的取值范围为

()

222'

*+8)D(*)

ggA

颤由题意可得2。解律产吊产鬻

人口,、

：・--4->0且-2-k--1-<0,

l+2fcl+2k

2.(2020浙江湖州期末)在空间直角坐标系中，若直线/的方向向量为a=(l,-2,1),平面a的法向量为

11=(2,3,4),则()

A./〃aB./±a

C./ua或/〃aD./与a相交但不垂直

ggc

解析由a-n=2xl+(-2)x3+lx4=0,可知a_l_n..：/〃a或/c«.

3.已知圆G：/+。+加)2=2与圆C2:(W+?=8恰有两条公切线,则实数m的取值范围是()

A.(l,3)

C.(3,+oo)D.(-3,-l)U(l,3)

Wgp

解析|丁圆Ci：x2+(y+,H)2=2与圆C2：(x-w)2+y2=8恰有两条公切线，

.:两圆相交.

由圆心C1(O,-M,半径/?=夜，圆心。2(m,0),半径r=2近，

则1(:心|=也|训,

若两圆相交,则满足r-/?<|C|C2|<7?+r,

即方<V2|/n|<3V2,

所以1<|/„|<3,

解得或1<m<3.

4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数

是()

A.36B.24C.72D.144

ggc

噩根据题意，分3步进行分析：

①把3位女生分为2组，有髭=3种情况，

②将2位男生全排列，有A,=2种情况，

③2位男生全排列后形成的3个空位，在其中任选2个，安排2个女生组，需要考虑2个女生组内两人

之间的顺序，

有A专A2=12种情况，

故有3x2x12=72种不同排法，

故选C.

5•椭圆岛+5=1(心0)的焦点为九尸2,上顶点为A,若/尸小尸2=三,则，〃=()

A.lB.V2C.V3D.2

ggc

|解析[设原点为0,由题意可得c=yjm2+1-m2-

又因为/尸14尸2=四,可得

36

可得tanZF)A0=—=工解得m=y/3.

m3

6.过双曲线C:^-g=l的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A,若以双曲线C的右焦点

F为圆心、半径为2的圆经过A,0两点(0为坐标原点)，则双曲线C的离心率为()

A.V3B.2C.V5D.3

ggB

胸画因为双曲线的渐近线方程产±\,

所以A(a,力或43,-力,因此|AF|=c=2,

即J(2-a)2+炉=2,整理可得“2+户4a=0,

因为。2+/=02=4,解得“=],

所以双曲线的离心率为e=--2.

a

7.(2020江苏如皋期末)埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象在埃

及金字塔内有一组神秘的数字142857,因为

142857x2=285714,142857x3=428571,142857x4=571428,…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字

还有如下发现：142+857=999,428+571=999,285+714=999,…，从这组神秘数字中任选3个数字构成一

个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为

()

A.48B.60C.96D.120

ggA

|解析|根据题意，数字142857中，两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组，若x+)，=999,

对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则的百位数字

有禺种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则)，的十位数字必须为7,则

的十位数字有禺种选法内的个位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的个位数字为最后1个，则

x,y的个位数字有©种选法，则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为禺禺G=48(个).

8.某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100

分，经过分析比赛成绩，发现成绩X服从正态分布N(82,16),请估计比赛成绩不小于90分的学生人数

约为()

参考数据:尸(//-O<XW"+(7)W.6826,P(/，-2O<XW〃+2<7)=0.9544,尸(/，-3c<XW〃+3。)=0.9974

A.2280B.3170

C.3415D.460

gm]A

解画由正态分布N(82,16),可得〃=82,k4,

贝"P(74<X<90)=P(82-2x4<X<82+2x4)~0.9544.

.：P(X>90)«|x(l-0.9544)=0.0228.

估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为100000x0.0228=2280.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.已知点尸是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果湘=(2,-1,-4),而=(4,2,0),Q=(-1,2,-1).下列

结论正确的有()

XAPVAB

B.APA.AD

C.万是平面ABCD的一个法向量

D.AP||~BD

|答案|ABC

|解析|对于A,万•»=2x(-l)+(-l)x2+(-4)x(-l)=0,；.AP1同，即AP_LA8,A正确；

对于BjP■同=(-1)x4+2x2+(-l)x0=0,AP1而，即AP±AD,B正确；

对于C,由而1荏，且万1而，得出Q是平面ABCD的一个法向量,C正确；

对于D,由都是平面ABCD的法向量,得出方1.而，则D错误.

10.(2020山东烟台模拟)已知("2+专)"(〃>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开

式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是()

A.展开式中奇数项的二项式系数和为256

B.展开式中第6项的系数最大

C.展开式中存在常数项

D.展开式中含项的系数为45

答案|BCD

解丽：•（加+专）"3>0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，

・•・第=Cg,解得n=10.

:•展开式的各项系数之和为1024,

/3+1严=1024.

原二项式为Q+J?其展开式的通项公式为Tr+i=C{0•（/严匕（*），=依％2吟，

展开式中奇数项的二项式系数和为3XI024=512,故A错；

因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项,故展开式中第6项的系数最大,B对；

令20-|r=0=r=8,即展开式中存在常数项,C对；

令20-|r=15=r=2,C«=45,D对.

11.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白

球的个数为X,则下列结论正确的是（）

A.P（X=2）=|

B.随机变量X服从二项分布

C.随机变量X服从超几何分布

D.E（X）号

I答案|ACD

隆明由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误,C正确；

随机变量X的所有可能为0,1,2,34

P（x=o）=f/，

P（X=1）驾=5

P（X=2）=净=

b10/

P（X=3）=举=—,

''4°35，

尸（X=4）=早=—,

'/Cj0210'

故E（X）=0x5+以2+2x|+3x2+4x由=/故A,D正确.故选ACD.

12.

(2021江苏海安检测)双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有

特殊的有价值的艺术美，是形成其他一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的重要几

何元素.曲线仁。2+)2)2=4(/-)2)是双纽线，如图，则下列结论正确的是()

A.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)

B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2

C.曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为(f+9)2=4(产/)

D.若直线y^kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(-8,-1]U[1,+8)

答案|BCD

解析Y=0时,/=4》2>%=0或2或-2,三个整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图象可知,-2WxW2,令x=±l,得

)2=2g-3<1,此时无整点解.

.：曲线C经过横、纵坐标均为整数的点，共有3个整点,A错误；

22

‘2)W4,曲线C上任取一点尸(x,y)到原点的距离d-yjx4-y<2,B正确；

曲线C上任取一点M关于y=x的对称点为N,

设N(x,y),则在曲线C上，

.：(f+)2)2=4(/-/),C正确.

与曲线C一定有公共点(0,0),

；y=kx与曲线C只有一个公共点，

则/(1+3)2=4/(1-斤),.：1-3W0,

.:后1或%W-1,D正确.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.某校一次高三数学成绩统计中,经过抽样分析，成绩X近似服从正态分布N(110,，),且

P(90WXW110)=0.3,该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数

为.

客剽200

解画因为X近似服从正态分布N(11。,/)，且P(90〈XWl10)=0.3,

所以P(90WX<130)=2尸(90WXW110)=0.6,

所以P(X^130)=|[1-P(90^X<130)]=|x(l-0.6)=0.2,

1000x0.2=200(A),

所以估计该校数学成绩不低于130分的人数为200.

14.(2021浙江杭州月考)某种型号的机器使用总时间X(单位:年)(其中X，4,XdN+)与所需支出的维修

总费用y(单位:万元)的统计数据如表：

M012

Y2：556

根据表中数据可得y与X之间的线性回归方程为y=0.7X+a,若该设备维修总费用超过12万元就报

废，据此模型预测该设备最多可使用年(填整数).

答案|20

盥画亍=[x(6+8+10+12)=9,歹=；x(2+3+5+6)=4,样本中心为(9,4),代入线性回归方程求得：=-2.3,

故线性回归方程为y=0.7X-2.3,当y=0.7X-2.3W12nXW詈,故整数X最大为20.

15.(2020浙江丽水期末)四棱锥S-A8CD的底面是平行四边形，豆=2前，若前=标+)，而+z荏，则

x+y+z=

解画因为豆=2前,所以无=:衣，因为四棱锥S-ABCO的底面是平行四边形，则前+屈=/，所以

BE=BC-VCE=AD+^CS=AD-i-^AS-AC)=AD+/AS-AB-AD)=^AS+料D-建,又

----->......♦—....->1212

BE=xAB+yAD+zAS,^以x=-],y=g,z=5,故x+y+z=-.

16.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F(l,0),过抛物线上的一点A(顶点除外)作切线/,且切线/与

X轴交于点氏则抛物线的标准方程为；若瞿法则k=.

答案[2=4*1

解画抛物线的顶点为坐标原点，焦点为F(1,0),可得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,因为抛物线关于

x轴对称，所以只研究y=2爪的情况，设A(加,2g^i),易知过点A的切线方程为y-2y/m—煮(x-附,所以

仇-孙0),由两点间距离公式可知|E4|=J(m-1)2+(2标)2=1+〃?,|尸3|=1+肛所以巧=1=4,即k=\.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2020安徽黄山期末)圆心为C的圆经过点A(-4,l),B(-3,2),且圆心C在直线/:尤-广2=0上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点尸(3,-1)作直线〃?交圆C于点MN且|MN|=8,求直线m的方程.

国](1)由已知得kAB=1,线段AB的中点坐标为(73)

2'2)

.：A8的垂直平分线方程为x+y+2=0.

则由江0,="解得、二之所以圆心CG2),

因此半径r=\AC\=5,

所以圆。的标准方程为『+(y+2/=25.

⑵由|MN|=8可得圆心C到直线〃?的距离^=V52-42=3,

,:当直线“斜率不存在时，其方程为户3,

当直线机斜率存在时，设其方程为y+l=k(x-3),则"=啜詈=3,解得k=-g,此时m的方程为4x+3y-9=0,

所以直线，〃的方程为x=3或4x+3y-9=0.

18.(12分)(2020湖北宜昌期末)某校举行高一年级组织“知识竞答”活动.每位参赛者第一关需回答三

个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分;第二个问题回答正确得20分，回答错误得-10

分;第三个问题回答正确得30分，回答错误得-20分.规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低

于30分就算闯关成功.若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是I，回答第三个问题正确的概率

是且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(1)求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；

(2)求这位参赛者回答这三个问题的总得分j的分布列和期望;

(3)求这位参赛者闯关成功的概率.

网⑴设事件4表示“参赛者回答对第i个问题”/=1,2,3,

xxxxxx

则+P(AiA2Ai)+P(A1A2A3)=f3J+33J+jf2=,-

(2)<f=-30,-20,0,l0,20,30,50,60,

P(勺一30)=尸(4灰彳3)=看，

P(^=-20)=P(AiA2A3)=l，

----1

P(e=0)=P(i41A2A3)=i

PQ=10)=尸(4A243)=£

P《=20)=P(4万2A3)=2，

lo

—

P《=30)=尸(A44)=g,

P《=50)=P(4iAM3)=g,

2

P(f=60)1A2A3)=",

=P(Ay

的分布列为：

(3)由(2)得这位参赛者闯关成功的概率为尸(。=30)+P《=50)+P《=60)=g.

19.(12分)如图，在长方体ABCD-A\B\C\D\中4)=AA|=1,AB=2,点E在棱AB上移动.

(1)证明:5E_L4Q;

(2)当E为A8的中点时，求异面直线AC与。E所成角的余弦值；

(3)AE等于何值时,二面角D\-EC-D的大小为三

网以D为坐标原点，直线DA,DC,DDi分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则

Ai(l,0,l),D((0,0,l),£(U,0)4(1,0,0),C(0,2,0),0(0,0,0).

⑴•••西=(1,0,1),雇=(l,x,-l),

.•.西•庠=l+0-l=0,.：OiE_LAQ;

⑵:E为AB中点，则£(1,1,0),

从而艰=(1,11),前=(-1,2.0),

设AC与DiE所成的角为6,

|2CD〔E|_1-1+2+01

则cos0-

\AC\\D^E\~V5xV315,

⑶设平面O]EC的法向量为n=3,仇c),平面DEC的一个法向量为E.

•・•CE=(1»-2。)瓦？=(02-1),西二。0,1),

由『更=0,有色c六

\n-CE=0,屹+b(x-2)=0,

令力=1,从而c=2,a=2-x,**n=(2-x,1,2),

\n-DD^\2V2

由题意,COS2=

4同西J(X-2)2+52,

・：x=2+g(不合题意,舍去)，或x=2-V3.

•:当AE=2-V5时,二面角Di-EC・D的大小为三.

4

20.(12分)(2020四川泸州期末)某品牌手机厂商推出新款旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手

机上市时间(X个月)市场占有率(Y%)的儿组相关数据:

1：>345

Y2：1418

根据表中的数据完成下列问题：

(1)用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

(2)用变量间的相关关系分析该款旗舰机型手机市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多少个

月，该款旗舰机型手机市场占有率能超过49%(精确到月).

n___n

A

Extyi-TvcyS(xt^x)(yi-y)A5

附:最小二乘法估计分别为b=吗----—=曰??-------,a=y-b五其中亍=3,歹=10,£(x/-x)2=10.

£xj-nx2£(Xf-X)2i=l

i=li=l

g(l)vx=3,y=10,

5

故£(XrX)(}v-y)=-2x(-8)4-(-1)x(-5)+0X1+1X4+2X8=41,

i=l

5A£(Xi-x)(yt-y)

已知E(X广02=]0,.・"------=—=4.1,

i=l员⑺习2---10

i=i

a=y-bx=10-4.1x3=-2.3,

.：Y关于X的线性回归方程为y=4.1X-2.3;

(2)由上面的线性回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率

都增加4.1个百分点，由y=4.1X-2.3>49,解得X22.5R3,预测自上市起经过13个月，该款旗舰机型手

机市场占有率能超过49%.

21.(12分)(2020湖南湘潭月考)某相关部门推出了环境执法力度的评价与环境质量的评价系统，每项

评价只有满意和不满意两个选项，市民可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了

200位市民的信息，发现对环境质量满意的占60%,对执法力度满意的占75%,其中对环境质量与执法

力度都满意的有80人.

(1)是否有99%的把握判断环境质量与执法力度有关？

(2)为了改进工作作风，针对抽取的200位市民，对执法力度不满意的人抽取3位征求意见，用4表示3

人中对环境质量与执法力度都不满意的人数,求的分布列与期望.

n(ad-bc)2

公式:*=，其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

网(1)对环境满意的有200x60%=120(人)，

对执法力度满意的有200x75%=150(人)，

对环境质量与执法力度都满意的有人，填写列联表如下:

80-

对执法

对执法总

力

满意度力计

度不满

度满意

意

对环境

质8040120

量满意

对环境

质

701080

量不满

意

总计15050200

、痴2200x(80x10-40x70)2100/

计舁-----------------=——>6.635,

人120X80X150X509

所以有99%的把握判断环境质量与执法力度有关.

(2)由题意知，随机变量J的可能取值为0,1,2,3;

翳%=])=等=39

98’

p(勺2)=警/，嶙3)=普=高

则4的分布列为: