高教社杯全国大学生数学建模竞赛对房价问题分析

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2011年8月20日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：房价问题的分析摘要本文是对我国房地产价格现状和未来变化趋势等一系列问题的研究。基于具有代表性的几类城市从消费者、销售者和国家的角度对房价的合理性进行了评估，用灰色预测得到了房价的大体趋势并通过多元回归模型得到了影响房价的因素。问题一，在房价的合理性分析模型中，我们根据国际通用的权威指标：房价收入比PIR=PH/R；得出了我国房价还处在一个合理的水平，但有上涨的趋势，要注意调控。问题二,在房价的走势预测模型中，利用2008年1月到2010年4月三类不同地域的六个城市的房价分析，建立GM（1，1）预测模型，预测了2011年五月到2012年4月的房价，并通过残差检验法检验到北京、深圳、银川房价的相对误差太大。问题三，我们详细地分析了房价的影响因素，建立了多元线性回归模型，与现实结果基本吻合，证明了模型的合理性与正确性。同时，利用灰色预测模型，较合理的预测出了未来房价走势，模型简单，切合实际。同时，根据房地产价格决定模型，定量的分析了各种改善措施对房地产价格的影响，考虑充分，切实可行，并且分析了房价变动对房地产投资总额和GDP的影响。一、问题重述房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，随着近几年房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市进行分析，解决以下问题：1．选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性问题进行定量分析;2．选取我国具有代表性的几类城市对房价的未来走势问题进行定量分析;3．根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析.。二、问题分析.问题一要求分析房价的合理性，问题二是对房价的未来走势进行预测，问题三要求提出改进措施并对其影响进行定量分析。首先，由于我国各地区经济发展的情况不同，我们将所有城市分为一线、二线、三线等3类，分别选取了北京、深圳、成都、西安、吉林、银川作为其中的代表性城市，以及上海、重庆、呼和浩特三个城市，通过官方的权威网站收集包括建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，为稍后分析奠定基础。对于问题一，要求分析房价的合理性，需要解决的核心问题是找出能表征其合理性的指标。我们认为房价的合理与否虽然富有争议，但直接取决于居民的收入和承受能力，此事关乎国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响。因此我们准备利用居民平均收入构造有关房价的合理性标准。对于问题二，我们为了使问题简化，只考虑房价与时间的关系，从房价数据本身的变化规律来预测房价。利用2008年1月到2010年4月三类不同地域的六个城市的房价分析，建立GM(1,1)预测模型，预测2010年5月到2012年4月的房价问题三要求探讨使房价合理的具体措施，并定量分析其对经济的影响。由于国家的宏观政策可直接影响利率、税率、土地等要素价格，我们计划根据问题二中的分析结果，有针对性的提出改善房地产价格的措施。根据国民收入核算理论，房地产对经济的影响主要表现在消费和投资方面，表现为降低了消费和提升了投资。由于GDP是衡量经济发展的最重要指标，我们可分别定量地分析改进措施通过房价对房地产投资总额的影响，从而通过经济增长理论，得出改进措施对GDP的影响。三、模型假设1.忽略突发因素诸如金融危机等对房地产市场的影响；2.只考虑普通新建商品房的价格，不考虑别墅以及二手房；3.银行利率以及房地产税率最近几年不会发生变化；4.消费者只考虑房屋价格，不考虑周围环境、交通等因素；5.城市经济发展水平由GDP代表6.在一定时期内，一个地区的人口密度较为稳定，没有大的变化7.由于缺乏权威专家评价，因此我们采用从各大网站收集的信息，综合并加以整理作为专家评价8.假定现在的房价影响因素不会再有很大的变化9.假定不同月份间居民户均房产的价值与商品住宅的销售价格成正比四、符号说明月房价的序列累计生成的序列月房价的绝对误差月房价的相对误差月房价的预测序列居民家庭年收入家庭购房总价房价收入比房地产税率银行利率房地产平均价格居民平均年收入建筑成本土地价格房地产投资总额房地产建设面积五、模型的建立与求解5.1分析房价的合理性5.1.1模型的建立房价收入比是指家庭购房总价与居民家庭年收入的比值，用于考察居民的购房能力，我们用来表示,则其中为家庭购房总价,为居民家庭年收入全球范围内的平均值一般在区间（6.4,8.4）之间。通过分析，我们把住房合理性的标准定为：房价收入比（PIR)在(6.4,8.4)之间。5.1.2模型的求解表1：2004-2006年我国房价平均收入比年份200420052006房价收入比6.676.777.72004-2006三年间我国的平均房价[1]收入比在区间（6.4,8.4）上，接近国际的平均水平，且保持增长态势，但我国居民平均收入尚未达到国际平均水平，说明目前我国房价普遍偏高。5.2房价的未来走势预测5.2.1模型的建立设由预测对象的历史数据资料形成的时间序列为首先对作累加生成，得到新的数列，即：通过累加生成的数列,计算模型参数和。记：按以下公式可得到模型参数和:上式中：通过上面的式子得到，后，就有模型如下：模型建立后，应对模型作出检验，如果检验合格，则可以用它进行预测。即用：作为的预测值。残差检验有两种，绝对误差和相对误差检验。绝对误差：相对误差：式中：5.2.2模型的求解用matlab实现（附录1），模型预测出的房价如如下图所示：图1：北京房价的拟合曲线从上图可以看出北京的房价在前几年保持稳定，最近几年增幅较大。图2：深圳房价的拟合曲线上图表明深圳前几年房价有所下降，但最近几年一直保持增长状态，且增幅较大。北京和深圳都属于一线城市，因此两个城市的房价都较高。两个城市房价在2008年的变化幅值较大，且都在2008年开始的时候上涨，在2008年8月的时候开始下降。这跟当时政府的政策和全国的市场经济有密切关系，2008年全国的房价普遍变化幅度较大。不同的是，深圳人均收入水平高、外来人口多，并因此有较强的投资意识使2008期间深圳的房价变化幅度更大且恢复的更快，因此，2008年后，深圳的房价稳定增长。北京是中国的政治、文化的中心，这些优越的条件吸引着大量的外来青年人口，这部分人不论对房地产的刚性需求还是投资行为都对房价产生了很大的影响。因此北京在2008年房价大幅度变化后仍会出现房价不稳定增长的现象。成都和西安都属于二线城市，经济比较发达。这两个城市的房价没有一线城市的房价高，且同样在2008年收到全国房价大幅度变化的影响而有一定的房价变动。同为二线城市，由于地理位置的不同：成都属于中部城市，西安属于西部城市，二者的房价同时期不同，成都的房价高于西安房价。但不同的是，房价会受到各种不同因素的影响，例如政府调控，住房贷款等原因。成都的房价变化幅度很大，而西安的房价变化幅度却很小。图3：吉林房价的拟合曲线图4：银川房价的拟合曲线吉林和银川都属于三线城市，相对于一线和二线城市，它们的房价比较低。但是，它们的房价变化幅度却很不相同。影响房价的因素[2]非常复杂：它受住房市场供给、住房市场需求、住房市场供求关系的影响还受土地储备、土地政策和住房贷款制度的影响。有图表可以看出：吉林的房价稳定增长，说明它的房价较合理。而银川房价增长的幅度忽高忽低，在短短的三个月内，房价变化了一千多人民币。说明银川的房地产市场很不合理，政府没有起到很好的调节作用。表2：各个城市预测结果的误差分析城市时间北京2009-712.3014.930-2.6300.214深圳2009-48.9010.798-1.8980.213成都2010-47.56.6500.8500.113西安2008-33.63.789-0.1890.052吉林2009-62.72.924-0.2240.083银川2009-23.54.145-0.6450.184上表为根据相关的数据应用残差检验的模型检验方法所得，其中呈现的为北京、深圳等六个城市2008.1~2011.4期间相对误差取得最大的相关数据。由残差检验预测精度等级划分标准可以知道，西安、吉林从2008年1月开始的每个月份的房价波动均不超过10%，说明模型比较准确，满足精度要求，误差较小；而成都的最大房价波动也不超过14%，说明所建立的模型较准确；至于北京、深圳、银川三个城市的房价波动的最大值均在20%左右，波动性比较大，不满足精度要求，误差相对较大。5.3对经济的影响GDP是衡量经济发展最重要的指标，根据网上相关资料，房价对经济的影响集中体现在房地产投资总额对GDP的影响，而房地产投资总额取决于房价和房屋建设面积，房屋的建设面积与房价又有一定的相关性，所以我们首先构造改进措施与房价之间的模型，然后得到房价对房地产投资总额的影响，最后化为对GDP的影响。参照房地产价格决定模型，通过对全国房地产历史数据的线性回归，得到房价与居民平均年收入、建筑成本、土地价格、银行利率、房地产税率之间的函数方程[4]：通过matlab将回归系数求解代入上式，即得通过数据分析，我们发现房地产建设面积与房价之间有强烈的相关性，因此，建立房地产建设面积与房价的一元回归模型其中，为房地产建设面积，为房地产平均价格，为回归系数。用matlab计算得：回归结果显著。房地产投资总额等于房地产平均价格和房地产建设面积之积，即根据宋焕如等在《2001年以来我国房价与宏观经济关系的实证研究》[5]中的研究结果，房地产投资总额与GDP有强烈的线性相关性，如图所示，可以看出各点近似的成直线关系.可建立如下一元回归模型其中，为房地产投资总额，、为回归参数，为随机误差，由matlab计算得：,回归结果显著。模型显示，房地产投资总额对GDP的拉动系数为1.5974，即房地产投资总额每增长一亿元，则GDP增长1.5974亿元。由此，改革措施对经济的影响可表示为由上式可知，房地产价格每上升元，则房地产投资总额上升，GDP增长，因此，房地产市场有助于提高GDP，促进经济增长，但是，上海、重庆房价相对过高，令普通居民无法承受。为了减轻中低收入家庭的生活负担，提高人民生活水平，我们认为政府应采取有效措施平抑房价，促进房地产市场的长期繁荣与健康发展。六、模型的评价本文通过对几个具有代表性的城市的房地产市场的分析，提出了房价合理性的评价指标：房价收入比系数，并根据联合国的相关标准，分析了这些城市的房价指标。对问题一，我们使用了简单的收入房价比模型，该模型简单易懂，符合实际，实用性强。对问题二，我们使用了灰色预测GM（1，1）模型，忽略了众多因素的影响，只简单的考虑了房价自身的内部变化规律来对房价进行预测，该模型通用性比较强，应用广泛，得出的结果误差较小，预测效果比较理想。对问题三，我们详细地分析了房价的影响因素，建立了多元线性回归模型，与现实结果基本吻合，证明了模型的合理性与正确性。同时，利用灰色预测模型，较合理的预测出了未来房价走势，模型简单，切合实际。同时，根据房地产价格决定模型，定量的分析了各种改善措施对房地产价格的影响，考虑充分，切实可行，并且分析了房价变动对房地产投资总额和GDP的影响。然而，房地产价格决定模型中考虑的因素不够全面,同时，房地产价格对经济的影响非常复杂，涉及到经济结构、就业、产业调整等众多因素，本文仅做了初步的尝试工作。参考文献[1]中国统计年鉴/tjsj/ndsj/2010/indexch.htm[2]孔煜，我国城市地价波动与房价波动的关系研究[J].中国物价.2009[3]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2007[4]田磊.房地产价格的影响因素分析[J].2008[5]宋焕如.2001年以来我国房价与宏观经济关系的实证研究[J].2009附录附录一：clc,clearx0=[12.800 13.000 13.500 13.100 13.200 13.000 13.300 12.800 12.900 12.700 12.600 12.300 11.400 12.000 12.000 12.300 12.600 12.700 12.300 14.000 14.600 15.200 16.000 16.000 17.700 18.400 19.600 21.000];n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)range=minmax(lamda)x1=cumsum(x0)fori=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));endB=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];Y=x0(2:n)';u=B\Yx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);digits(6),y=vpa(x)%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解yuce=[x0(1),diff(yuce1)]epsilon=x0-yuce%计算残差delta=abs(epsilon./x0)%计算相对误差rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda%计算级比偏差值这是计算北京市的房价价格程序，其它城市类似。附录二：六城市2008.1-2011.4各月房价（单位：千元）北京深圳成都西安吉林银川2008.0112.0811.306.703.602.004.502008.0213.0011.076.703.802.104.702008.0313.511.96.903.602.104.802008.0413.1011.606.703.902.204.402008.0513.2011.206.803.802.304.502008.0613.0011.106.804.002.404.202008.0713.3010.106.904.002.404.302008.0812.8010.66.604.002.304.102008.0912.909.706.304.102.503.802008.1012.709.4003.802008.1112.609.005.904.202.503.702008.1212.309.205.804.102.603.602009.0111.409.105.804.102.703.502009.0212.00