高中数学必修第一册人教A版（2019）4 5《函数模型的应用》练习（含解析）

《函数模型的应用》

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.第6题为多选题，选对得5分，选

错得0分，部分选对得2分）

1.由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低

那么现在价格为8100元的计算机经过15年的价格为（）

3

A.2300元B.2800元C.2400元D.2000元

2.某股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每

次上涨10%）,又经历了3次跌停（每次下降10%）,则该股民这只股票的盈亏情况

（不考虑其他费用）为（）

A.略有亏损B.略有盈利

C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况

3.某海鲜产品保鲜时间y（单位:小时）与储存温度x（单位:℃）满足函数关系：y=e-K

已知在时保鲜时间是6小时，在-10℃时保鲜时间是24小时，则该海鲜产品在储

存温度为-15℃时保鲜时间为（）

A.28小时B.36小时C.48小时D.64小时

4.国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税率如下：年

收入在280万元及以下的税率为p%；超过280万元的部分按（p+2）%征税.现有一家

公司的实际缴税率为5+0.25）%,则该公司的年收入是（）

A.560万元B.420万元C.350万D.320万元

5.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小.刚放进的新丸体积为经过,天后

4

体积V与天数f的关系式为V=已知新丸经过50天后，体积变为2a.若一个新丸

9

体积变为，则经过的天数为（）

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A.125B.100C.75D.50

6.（多选）下列说法正确的是（）

A.在函数应用问题中，应抓住函数表达式分析问题，不需要考虑定义域

B.指数函数模型和塞函数模型两者结构相似，因此在实际应用问题中两者任选其一

即可

C.一等腰三角形的周长为20,底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为

y=20-2x(5<x<10)

D.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，依此类推，1个细胞

分裂x次后，得到的细胞的个数y与x的函数关系式为y=2x(xeR)

E.以半径为R的半圆上的任意一点尸为顶点，直径A8为底边的VB4B的面积S与上

的高9=%的函数关系式为S=&(0<x,R)

二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)

7.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案：销售额x为8万元时，

奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励方案模型为

y=alog4X+0.某业务员要得至U8万元奖励，则他的销售额应为万元.

8.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程

£(x)a=l,2,3,4)关于时间x(x.O)的函数关系式分别为工(x)=2=l,力(x)=/,

力(尤)=x/(x)=log2(x+l),有以下结论：

①当先>1时，甲在最前面；

②当%>1时，乙在最前面；

③当0<x<l时，丁在最前面，当％>1时，丁在最后面；

④丙不可能在最前面，也不可能在最后面；

⑤如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲.

其中，正确结论的序号为.

三、解答题(本大题共2小题，每小题15分，共30分)

9.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，

为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产

品的月产量y(万件)与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=

(其中a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为L37万件，请问：用以上哪个函

数作为模拟函数较好？并说明理由.

10.我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系.声音的强度/用

瓦/米2(W/n?)来表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平4表示，它们满足

以下公式：L^lOlg-(单位为分贝，其中/°=lxlOT2w/m2,这是人们平均能听

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到的声音的最小强度，是听觉的开端).回答以下问题：

(1)树叶沙沙声的强度是lxl()T2w/m2,耳语的强度是lxlO-ow/m?,恬静的无

线电广播的强度是lxl(Tw/m2,试分别求出它们的强度水平；

(2)某一新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以

下，试求声音强度/的范围.

参考答案

1.

答案：C

解析：该计算机15年后的价格为8100x11-J=2400(元).

2.

答案：A

解析：由题意可得(1+10%)3(1-10%)3=0.970299土0.97<1.因此该股民这只股票的盈

亏情况为略有亏损.

3.

答案：C

解析：由已知得6=e",

1n

所以6=In6,24=/°"6,

则上=—，ln2,

5

|—ln2jx+ln6

所以y=e〔5J.

则当尤=—15时，y=e15>=48.

4.

答案：D

解析：设该公司的年收入为a万元，易知a>280,则

2800%+(a—280)•(p+2)%=a(p+0.25)%,解得a=320.

5.

答案：C

i

解析：由已知条件得=.设经过0天后，一个新丸体积变为

解得「75.

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6.

答案：CE

解析：易知AB错误，CE正确；对于D,y=23D错误.

7.

答案：1024

解析：依题意得

tzlog464+/?=4,

3h=\

即解得a=28=-2.

3。+Z?=4.

y=21og4x-2,当y=8时，210g4彳一2=8,解得x=1024.

故他的销售额应为1024万元.

8.

答案：③④⑤

解析：路程力(%)。=1,2,3,4)关于时间x(x..O)的函数关系式分别是/(x)=2工-1,

2

f2(x)=x,f3(x)=x,f4(x)=\og2(x+l),它们相应的函数模型分别是指数型函数、二

次函数、一次函数和对数型函数.当x=2时，/(2)=3,力(2)=4,.•.①不正确.当x=5

时，工⑸=31,力(5)=25,.•.②不正确.根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化

是先快后慢，当％=1时，甲、乙、丙、丁四个物体相遇，从而可知当0<x<l时，

丁在最前面，当％>1时，丁在最后面，，③正确.结合对数型函数和指数型函数的图

象变化情况，可知丙不可能在最前面，也不可能在最后面，，④正确.指数型函数变

化是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数运动

的物体，即一定是甲物体，.•.⑤正确.，正确结论的序号为③④⑤.

9.

答案：见解析

解析：=/(%)=px-+qx+r(p,%厂为常数，且p/0),

x

y2=g(x)=ab+c,

夕+q+r=L

根据已知有＜4〃+2q+r=1.2,

97+3q+r=1.3

ab+c=l,

和＜ab1+c=1.2,

ctb3+c=1.3.

p=—0.05,a=—0.8,

角军得(q=0.35,《8=0.5,

r=0.7,[c=lA.

所以/(x)=-0.05X2+0.35X+0.7,

g(x)=-0.8X0S+1.4.

所以/(4)=L3,g(4)=L35.

显然g(4)更接近1.37,故选用y=-0.8xx0.5x+1.4作为模拟函数较好.

10.

答案：见解析

解析：(1)由题意可知，树叶沙沙声的强度/]=lxl0T2w/m2,则4=1,

10

：.LIt=101gl=0,即树叶沙沙声的强度水平为0分贝.

耳语的强度/2=lxl()T°W/m2,

则4=102,,4=[03[02=20,即耳语的强度水平为20分贝.

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恬静的无线电广播的强