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文档简介
考向1.1有理数(数轴与绝对值)
例1、(2021•山东枣庄•中考真题)如图,数轴上有三个点A、B、C,若点A、B表示的数
互为相反数,则图中点C对应的数是()
-।----1----1--------1----1----1--------->
ACB
A.-2B.0C.1D.4
【答案】C
【分析】首先确定原点位置,进而可得C点对应的数.
解:•.•点A、B表示的数互为相反数,AB=6
..•原点在线段AB的中点处,点B对应的数为3,点A对应的数为-3,
又:BC=2,点C在点B的左边,
.•.点C对应的数是1,
故选C.
【点拨】本题主要考查了数轴,关键是正确确定原点位置.
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
在数轴上原点的两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数.
(1)数轴的三要素:息点、正方向、单位长度(重,点;)
任何有理数都可以用数轴上的点表示,有理数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上的点表示的数从左到右依次增大;原点左边的数是负数,原点右边的数是正数.
【注意】
1.数轴是一条直线,可向两段无限延伸。
2.在数轴上原点,正方向,单位长度的选取需根据实际情况而定。
(2)一般地,〃和-“互为相反数。。的相反数是0。
所表示的意义是:一个数和它的相反数相等。很显然,4=0。
【知识拓展】
1.数轴
实数与数轴上的点是一一对应的.
2.相反数
(1)实数a的相反数是一a,零的相反数是零;(2)a与b互为相反数Oa+b=0.
例2、(2021•湖北鄂州•中考真题)已知实数“、〃满足E+|6+3|=0,若关于A•的一元二
次方程f-如+。=0的两个实数根分别为为、%,则:+:=.
【答案】、
【分析】根据非负性求得。、人的值,再根据一元二次方程根与系数关系求得为+超、*马,
代入‘+’=土马求解即可.
xxx2x}x2
解:•.•实数。、6满足V^I+B+3|=0,
a-2=0,Z?+3=0,
解得:a=2,b=-3,
.•・f-2x-3=0,
•・•一元二次方程f_2x-3=0的两个实数根分别为再、x2,
为+12=2,*x2=-3,
.1I1-Xy+X2__2
••丹x2xxx23'
2
故答案为:
【点拨】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方
程根与系数,熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键.
1、代数意义
一个数a的绝对值有以下三种情况:
正数的绝对值等于它本身;
负数的绝对值等于它的相反数;
零的绝对值等于零。
2、几何意义
一个数的绝对值表示在数轴上的这个点到原点的距离。
3、实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这个数
的点到原点的距离。
【注意】
4、去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认,再
去掉绝对值符号。
【知识拓展】
5、(1)=时;
(2)|a|=a<=>a>0;|«|=-a<=>a<0;
(3)|a|+1/?|=0=>a=0,b=0
经典变式练
1.(2021.陕西交大附中分校模拟预测)如图,数轴上点A表示的数为()
-------1---------------1-------1-------1-------f
-3-2-10123
A.-2B.-1C.0D.1
2.(2021.江苏建湖•二模)实数。与人在数轴上对应点的位置如图所示,则正确的结论是()
ba
1|1Tl1]1114
-5-4-3-2-1012345
A.a<0B.a<bC.|a|>|/?|D.6+3>0
3.(2021•内蒙古包头•三模)实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列结论中正确的是()
-----•----------•------•---->
a0h
A.a>—bB.C.----<0D.+/?)3>0
4.(2021•福建•模拟预测)如图,有理数。、b、c、d在数轴上的对应点分别是A、B、C、
D,若a+c=0,则4(b+c)的值()
DABC
--------••--------•—•------------
dabc
A.大于0B.小于0C.等于0D.不确定
5.(2021•江苏常州•一模)如图,数轴上点M、N对应的数分别为〃?、〃,则下列不等式正
确的是()
M
A.m>nB.m+n<0C.—2f?z>—2〃D.mn<0
6.(2021・福建南平•二模)如图,若a=2,则二的值所对应的点可能落在()
,,,4,4?,?,■
-3-2-1012X
A.点A处B.点B处C.点C处D.点。处
7.(2021•山东诸城•一模)如图,数轴上的A,B,C三点所表示的数分别为。,b,c,且
原点为。,根据图中各点位置,下列数值最大的是()
BCOA
・・••A
bca
A.aB.bC.|cjD.-b
8.(2021・河南•一模)a、6两数在数轴上的位置如图所示,则下列各式正确的有()个.
①“6>0②。+6>0③a-b>0@a2-b2>0=
b0a
A.2B.3C.4D.5
9.(2021•广东广州•中考真题)如图,在数轴上,点A、B分别表示a、b,且a+6=0,若双=上
则点4表示的数为()
••»
AB
A.-3B.0C.3D.-6
10.(2021・贵州安顺・中考真题)如图,已知数轴上AB两点表示的数分别是a区则计算例-时
正确的是()
A01B
A.b—aB.a—bC.a+bD.-a-b
11.(2019•江苏徐州•中考真题)如图,数轴上有。、A、B三点,O为O原点,OA、OB分
别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离(单位:光年).下列选项中,与点B表示的数
最为接近的是()
02.5x10*
A.5xl06B.107C.5xlO7D.10s
12.(2019•黑龙江•中考真题)实效机,〃在数轴上的对应点如图所示,则下列各式子正确的
是()
mn0
A.m>nB.-n>\m\C.-m>|n\D.Im|<|n\
13.(2019•山东枣庄•中考真题)点C在数轴上的位置如图所示,。为原点,AC=l,
04=03.若点C所表示的数为。,则点8所表示的数为()
ACOB
—♦・今
a0
A.-(a+l)B.-(a-1)C.a+1D.a—\
14.(2010・山东济宁•中考真题)如图,A、B、C三点在数轴上所表示的数分别为a、b、c,
根据图中各点位置,下列各式正确的是()
<QA号
~c~0~a1%
A.(«-1)(/J-1)>0B.(c-l)(6-l)>0C.(«+1)(/J+1)<0D.(c+l)(b+l)<0
15.(2020•内蒙古赤峰•中考真题)一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点。起跳,
落点为4,点4表示的数为1;第二次从点4起跳,落点为04的中点4;第三次从A2
点起跳,落点为042的中点43;如此跳跃下去……最后落点为042019的中点A2020.则点A202。
表示的数为.
第一次
幺20204344
16.(2015•广西南宁•中考真题)如图,在数轴上,点A表示1,现将点A沿X轴做如下移
动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点,第二次将点/向右移动6个单位长度到
达点逐,第三次将点为向左移动9个单位长度到达点A.,按照这种移动规律移动下去,
第,:次移动到点A:,如果点乩与原点的距离不小于20,那么";的最小值是.
AiA2A3A4
▲ii」」▲」i▲」.
-5-4-3-2-1012345
参考答案
1.B
【分析】根据数轴的定义判断数轴上数的大小.
解:由图可知:点4在-1的位置,表示的数为-1.
故选:B.
【点拨】本题考查数轴的基础知识点,正确理解数轴上的数的表示是解题的关键.
2.D
【分析】根据。、b在数轴上的位置,可得出-3<b<-2<0<“,即可作出判断.
解:由。、〃在数轴上的位置,可得-3<bV-2V0<a,
.'.a>0,a>b,
故A、B选项错误,
到原点的距离小于h到原点的距离,
,同〈依,
故C选项错误,
.,2+3〉0,
故D选项正确,
故选:D.
【点拨】本题主要考查数轴的性质,关键是要牢记数轴从左到右对应的数依次增大,一个数
的绝对值表示这个数到原点的距离.
3.B
【分析】根据数轴得到。,6的范围,再根据实数的运算法则,二次根式的性质,立方根的
性质分别判断.
解:由数轴可知:a<O<b,|a|>|&|»
:.a<-b,yfa^=|6f|>|Z>|=,
a+b<0,
.a+ba।--------r
••------>0,^(a+h)3=a+h<0>
a
故选:B.
【点拨】本题考查的是实数与数轴,二次根式的性质,立方根的性质,熟知实数与数轴上各
点是•一对应关系是解答此题的关键.
4.B
【分析】根据相反数的概念确定原点是AC的中点,然后根据利用数轴比较数的大小,结合
有理数的混合运算法则求解.
解:*/a+c=0.
•••«,。互为相反数,
原点是AC的中点,
Ac>0,b>0,d<0,
b+c>0,
d(b+c)<0.
故选:B.
【点拨】本题考查数轴、相反数、有理数混合运算法则,利用数形结合思想解题是关键.
5.C
【分析】通过观察数轴上〃,、〃的位置结合不等式的性质即可选出正确答案.
解:由图易知:m<n,
故4错误;
•••原点位置不确定,
:.B、。错误,
in<n,
:.由不等式性质易得:-2%>-2n,
故C正确,
故选:C.
【点拨】本题考查数轴上点的特征,熟练掌握数轴上点的特征以及不等式的基本性质是解题
关键.
6.C
【分析】先将〃的值代入代数式计算出得数,再在数轴上找到对应的点即可
解:将a=2代入」♦得:原式=],
。+13
2
V()<y<1,且接近1
故选:C
【点拨】本题考查求代数式的值、数轴上的点与实数的对应,熟练掌握数轴与实数一一对应
的关系是关键
7.D
【分析】根据数轴,确定〃也c的属性,进行绝对值的化简,利用实数大小比较原则判断即
可.
解:根据题意,得bVcVOVm且由
•“<0
^\b\=-b,\a\=at
-b>\c\>a>c>b9
-b最大,
故选D.
【点拨】本题考查了数轴,绝对值,绝对值的化简,有理数的大小比较,熟练掌握绝对值及
其化简,灵活运用有理数大小比较的基本原则是解题的关键.
8.A
【分析】根据题意可知6V0<“,问<同,所以可以判断出选项中每种情况的对错,根据对
错个数选出正确的个数即可.
解:根据图形可得a>0,。<0,且向<问,
①而<0,故本小题错误;
②a+b<0,故本小题错误;
③。-万=。+(询>0,正确;
@a2-b2<0,故本小题错误;
⑤H=正确,
所以正确的有③⑤共2个.
故选A.
【点拨】本题考查了有理数的加减、乘除,数轴,绝对值等有关知识点,能够提炼关键信息
并结合定理是解决问题的关键.
9.A
【分析】由A8的长度结合A、B表示的数互为相反数,即可得出A,8表示的数
解:*."+6=0
AA,B两点对应的数互为相反数,
可设A表示的数为〃,则8表示的数为-。,
•/AB=6
-a-a=6,
解得:a=-3,
・••点A表示的数为-3,
故选:A.
【点拨】本题考查了绝对值,相反数的应用,关键是能根据题意得出方程
10.C
【分析】根据数轴上.两点的位置,判断。力的正负性,进而即可求解.
解:•・•数轴上A8两点表示的数分别是〃力,
・・・aV0,b>0.
|/J|—1<^|—b—(—u)—ci+b,
故选:C.
【点拨】本题考查了数轴,绝对值,掌握求绝对值的法则是解题的关键.
11.D
【分析】用各选项的数分别除以2.5x106,根据商结合数轴上AO、OB间的距离进行判断即
可.
解:A.(5xl06)+(2.5X106)=2,观察数轴,可知A选项不符合题意;
B.IO,-(2.5xl06)=4.观察数轴,可知B选项不符合题意;
C.5x10?+(2.5xl06)=20,观察数轴,可知C选项不符合题意;
D.108-(2.5xl06)=40,从数轴看比较接近,可知D选项符合题意,
故选D.
【点拨】本题考查了数轴,用科学记数法表示的数的除法,正确进行运算,结合数轴恰当地
进行估算是解题的关键.
12.C
【分析】从数轴上可以看出m、n都是负数,且m<n,由此逐项分析得出结论即可.
解:因为m、n都是负数,且m<n,|m|>|n|,
A、m>n是错误的;
B、-n>|m|是错误的;
C、是正确的;
D、是错误的.
故选C.
【点拨】此题考查有理数的大小比较,关键是根据绝对值的意义等知识解答.
13.B
【分析】根据题意和数轴可以用含“的式子表示出点8表示的数,本题得以解决.
解:。为原点,AC=1,04=08,点C所表示的数为。,
点A表示的数为a-1,
・・•点8表示的数为:一(。一1),
故选B.
【点拨】本题考查数轴,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
14.D
【分析】根据数轴得出eV-求出a-l<0,b-1>0,c-KO,tz+l>0,
〃+l>0,c+KO,再根据有理数的运算法则判断即可.
解:,从数轴可知:c<-
:.a-KO,b-1>0,c-KO,a+1>0,6+1>0,c+l<0,
(a-I)(6-1)<0,(c-1)(/?-1)<0,(a+1)(ft+1)>0,(c+1)"+1)<0,
,只有选项。正确;选项A、B、C都错误,
故选D
【点拨】本题考查了数轴和有理数的运算法则,能根据数轴得出eV-l<0<aVl<b是
解此题的关键.
15-^―
?2019
【分析】先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点A,&,43,4表示的数,再归纳类
推出一般规律,由此即可得.
解:由题意得:点A表示的数为1=最
点人表示的数为;=g=/
点
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