高中数学专题复习

第一章集合

容斥定理：设4a=1,2,...,〃)是一列集合,，(4)为4中元素的个数(例如4=［1,2,3},则(4)=3。),有

r(A,uA2。…UA“)=ZN4)-CAJ)+…+(-1)"r(A,nA2c…cA.)

i=lj>ii=\

特别地，当〃=2时，r(AuB)=r(A)+r(B)-r(AnB)

当〃=3时，“A。8uC)=r(A)+r(5)+r(C)-r(Ac8)—r(AcC)一r(BcC)+r(Ac8cC)

以上公式可连同概率论中的容斥定理一同记忆。

例1：在1~1000中能被3或5整除的数有儿个？

解：设能被3整除的数的集合为A,能被5整除的数的集合为B

则，(A)=［岑匕=333,“8)=［当当=200,"Ac6)=［果匕=66,(其中印是不超过x的最

大整数)，

r(Au8)=r(A)+r(B)-r(AcB)=333+200—66=467

所以，在l~1000中能被3或5整除的数共有467个。

例2：某一个学校，共有34位教师，每一位教师至少要教一门课，最多只教三门课，其中教语文的教师

有14人，教数学的教师有15人，教英语的教师有17人，既教语文又教数学的教师有5人，既

教语文又教英语的教师有5人，既教英语又教数学的教师有5人，问三门都教的教师有几人？

解：设教语文的教师的集合为A,教数学的教师的集合为8,教英语的教师的集合为C,

则r(AuBuC)=r(A)+r(B)+r(C)-r(Ac8)-r(AnC)-r(BnC)+r(AnBnC)

34=14+15+17-5-5-5+r(AnBnC),

/.r(AnBnC)=3

所以，三门都教的教师共有3人

第二章不等式

第一节一次函数与含字母的一元一次不等式（组）的关系

解下列不等式组：

x>2k+1

x<5-2k

x>3-k

V>Ojl+1

解法一：（1）先比较2A+1与5-2Z的大小。即解不等式组：\

x<5-2k

当一N1时,2k+l>5-2k,此时不等式组无解。

当左<1时，2k+l<5-2k,此时不等式组的解是2k+l<x<5-2左。

（2）再比较2攵+1与3-女的大小。

当攵2—时，2左+123-&,此时不等式组解是x>2人+1。

3

7

当A<—时，2k+\<3-k,此时不等式组的解是x>3—。

3

（3）综合比较：

当上<▲时，不等式组解是3-k<x<5-20

3

9

当<1时,此时不等式组的解是2—+1<x<5—2:。

3

当上N1时，此时不等式组无解。

解法二：我们知道形如x>跟+8的不等式就表示一次函数x=ak+人的上部（不含该直线）；

形如x<aZ+b的不等式就表示一次函数％=以+力的下部（不含该直线）。

先画出上述不等式的一次函数图像，并求得可行域部分（即有解的部分），如图阴影部分所示。

并求得交点横坐标，由图像易得出上述结论。

第二节均值不等式

平方平均数：。卜:+4+,,•+”

Vn

代数平均数：A”=%+"2+•••+/

几何平均数：G,,=如。2…4

调和平均数：〃“=-j―P——「

-------1----------F••,-----

%a2%

对于任意生〉0时，总有。“NA,；G“NH“，当且仅当=%=-=*'时取"="

重要不等式：4+电+二+%之*&…a”,当且仅当“％=Q,=…=%“时取一

n

推论：(%+电+…+%)"*出…%,当且仅当％=〃，=…=%"时取"="

n

例1：已知a,。,c>0,试证：(a+b+c)(—I---1—)29

abc

证明：(a+。+c)(—I---1—)N3,Ncibc,3•4------=9

abcVabc

例2：已知x>0,求/+J■的最小值？

X

角星：,/x>0,/.x2+—=x2+—+—>3------=—V2

x2x2xv2x2x2

例3：已知a,0,c>0试证:。+匕+c>Va+VF+Vc

4b4c4a

证明:—尸+y[b22^/^，9+八N2后,-~j=+y[ci22"\/c

:与++8

\bJcNa

例4：已知a,4c>0且〃+b+c=l,求R?2c的最大值?

角星：vab^c--(2a)-b-h-(2c)<—•(------------------)=——

44464

所以，a/c的最大值为工。

64

第三节△法

求形如：y="+3+J（其中％,%不同时为0）的值域问题

a2x+c2x+c2

2

将原式化为（a2y-a｝）x+（h2y-h｝）x+（c2y-c｝）=0（1）

当•时,要（1）有解，必须A20,即（“了一仇）？一4（以2丁一。］）（。2号一臼）之0（2）

a2

由（2）解出），的范围即可。

当)，=色■时，要⑴有解，只需血丁-，口+(。2'-6)=0有解。

Q2

0Y1

例1：求.=】的值域

+3x+2

解：上式可化为yx1+(3y-2)x+(2y-1)=0

.tA=(3y-2)2-4y(2y-1)=y2-8y+4>0(y0)

解得：y24+2省或yK4—2g且y。0

当y=o时，X=--,,2x+l的值域为yN4+2Vi或yM4—2百

2+3x+2

第四节变量替换

例1：已知/+丁=],求&+J_)2+(y+^)2的最小值？

%y

解:设x=cos9,y=sin8,

贝lj原式=(cos6+—?-)2+(sin8+—-)2

cos®sin。

=1+2+1+tan2e+2+l+cot?6=7+tan2<9+cot20>1+2tancot0=9

所以，(x+2)2+(y+32的最小值为9。

%y

例2：试求y=c°s“+2sinx—2的值域

cos龙一sinx+1

解：设/=1211土，利用万能公式，则cosx=^~!，sinx=,2?

21+/21+/2

工2.且-22

原式J+C"尸+4一

1—广2t—2f+2

——r----r+1

1+产1+产

上式可用△法求解

第五节构造(数形结合)

有些不等式，如果从代数方面入手，问题很难解决，有时根本就是不可能，但若结合它的几何图形,

问题则可迎刃而解。

例1：求(cosa-x)?+(sina+2-x)2的最小值？

解：该问题初看起来，似乎无从下手，但若将上式改写一下，则可发现点端倪。

原式={-J(cosa-x)2+[sina-(x-2)]2}2

上式可理解为点P(cosa,sina)到点Q(x,x-2)间的距离的平方

其中点P(cosa,sina)在单位圆上，点。(x,x-2)在直线y=x-2上

从图形上易知，距离就是点尸(cose,sine)到点。(x,x-2)距离的最小值

解得：\AB\=^2-1,则原式=3-2行

例2：求、=3.-2的值域?

sinx+1

解：上式可看作P(cos/sina)与点。(2,-1)的斜率公式。

设过点。(2,-1)的斜率为k,则该直线的直线方程为y=k(x-2)-1

从图上易知，斜率攵的范围是直线与单位圆相切时的攵值。

按点到直线的距离公式有：上工=1,解得：k=O,k=--

TTTF3

4

所以，--KyKO

3

y

第六节柯西不等式

已知：ctj9bjER9则(a；+4----卜a；)S[+b；+•—卜b；)之(。也+a2b2+，—卜厂，

当且仅当"生=劝「时取"="

例1：试证：♦+/;22(。+份2

2

证明：v(a2+/?2)(12+12)>(a-1+Z?!)2

.\a2+/2>1(-a--+--b-)L~

2

例2：已知a,/?,c>0,试证：a+b^c>—(yla+42b+V3c)2

6

证明：v[(4a)2+(4b)2+(Vc)2][12+(V2)2+(V3)2]>(Va+V2&+V3c)2

.=a+。+c2—+J2b+J3c)-

第三章函数

第一节基本函数

1.常函数：y=C

2.一次函数：y-ax+b(a^0)恒过点(0,b)

3.二次函数：y-ax2+bx+c(a0)恒过点(0,c)

4.基函数：y=x"恒过点(1,1)

5.指数函数：y=/(a>0)恒过点(0,1)

6.对数函数：>=108/(4>0且4#1)恒过点(1,0)

第二节函数的性质

1.奇偶性：若VxwE(E为x定义域)，总有/(x)=/(-x),称为偶函数。(关于y轴对称)

若VxeE(E为x定义域)，总有/(x)=-/(-x),称为奇函数。(关于原点对称)

既是奇函数又是偶函数的函数是：定义域对称，y=0o

2.单调性：若对于任意为,》2eE(E为x定义域)且王<》2时，总有/(%|)</(》2)，称为单调增函数。

若对于任意X］,》2GE(E为X定义域)且X］<》2时，总有了区)〉/。2)，称为单调减函数。

3.周期性：若对于任意x,总有/(x+T)=/(x),则称/(x)为周期为|T|的周期函数。

4.对称性：若对于任意x,总有/(a+x)=/(a-x)或/(x)=/(2a-x)时，则称/(x)关于x=a对称。

例1：试判断函数/(x)=ln(Vx2+1-x)的奇偶性？

解：/(x)=ln(7x2+1-x)/./(-x)=ln(Vx2+1+x)

/(x)+/(-x)=ln(7x2+l-x)+ln(7x2+1+x)=In1=0/./(-x)=-/(x)

•••x的定义域对称，所以/(x)=ln(Jx2+-x)的奇函数。

例2：试求/(x)=--2x-3的单调递增区间？

解：•••/(X)的对称轴为x=l,.•J(X)=X2—2X-3的单调递增区间为［1,+8)

23

例3：已知/(x)是最小正周期为2的偶函数，在［0,1］上=求/(5)?

解—)的最小周期为2,.•.吟:小)

又•••/(x)是偶函数,

第三节复合函数

1.复合函数：若一个函数是由几个基本函数复合而成，则称为复合函数。

2.二元复合函数：设函数/(x)的定义域为O,函数g(x)的定义域为E,则函数〃g(x)],g(x)e。,

g"(x)]J(x)eE就是二元复合函数。

例1：已知：/(x)=«,g(x)=ln(x—1),求"g(x)]，g[f(x)],并求出相应的定义域？

解：/[g(x)]=—1)]=Jln(x-l)，vln(x-1)>0x>2

g[/(x)]=g(yfx)-ln(Vx-1)>v(Vx-1)>0/.x>1

3.复合函数的单调性判断：记单调增加为+,单调减少为一，则规律与乘除法则相同。

例1：求/(x)=-2—2x-3的单调区间？

解：该函数可看作g(x)=6和％(x)=/-2%-3复合而成，即/(X)=g[/?(x)],

v/?(%)>0x2-2x-3>0xN3或

又h[x)=/一2%-3在》21时单调增加，在x41时单调减少。

x23时/(x)单调增加，x4-1时/(X)单调减少。

例2：求/(%)=0.2*2的单调区间及最小值？

解：•.•力(》)=-1一2%在》2-1时单调减少，在x4-l时单调增加。

x2-1时/(%)单调增加，x<-l时单调减少，

.•.x=-l时，/(X)最小，/Wmin=/(-1)=0.2

4.函数方程：带函数的方程。

简单函数方程：形如/[g(x)]=/z(x)的函数方程。其中函数g(x)的定义域为E。

解法一：设f=g(x),则％=8“(，)，并求出，的定义域为。。

/⑺=h[g-'⑺]JeD：./(x)=h[g-'(x)],xeD

解法二:若〃(x)=p[g(x)],则f(x)=p(x)

例1：已知:/(3X-2)=9X2-6X,求/(x)

解一：设，=3》一2,则设x=等，/(。=9(野)2—6(野)=产+2，

/(x)-x2+2x

解二：v/(3x-2)=(3x-2)2+2(3x-2)，/(x)=F+2x

一元函数方程：只含一个未知数的函数方程

例1：已知：2/(x)-/(-)=x2+2%,试求/(x)?

X

解：V2/(x)-/(-)=x2+2x(1)

X

让(1)中的X取Lc/dL/aMd>+z,(2)

XXXX

联立(1)(2)两式可解得：f(x)=-x2+-x+-^+—

333/3x

例2：已知：2/(x)+f(l-x)=x2,试求fM?

解：v2f(x)+f(l-x)=x2,2/(l-x)+/(x)=(l-x)2

,121

..f(X)=—X24---X---

333

二元函数方程：含二个未知数的函数方程

例1：已知：/(x)+/(y)=/(孙)对于x、ye/?均成立，试求/(x)?

解：:/(x)+/(y)=。(盯)对于x、yGR均成立,

y=0时也成立.•./*)+/(0)=/(0)/(x)=0

•・・X是任意的，三0("三"表示恒等于)

例2:已知:/(了)+/(>)=/。+>)[1-/(幻/(则对于小了€/?均成立，试证明/(X)=-/(一%)

解：设x=y=o,2/(0)=/(0)[1-/(0)/(0)]y(0)[1+f2(0)]=0

解得：/(0)=0

.../(x)+/(-x)=/(0)[l-/(x)/(-x)]=0

/(%)=-/(-%)

第四章三角函数

第一节三角公式

1.平方关系：sin-x+cos2x=1tan2x+l=sec2xcot2x+1=esc2x

111

2.倒数关系：sinx=------cosx=------tanx=------

cscxsecxcotx

3.诱导公式：sin(227r+2)=sinacos(2&;r+a)=cosatan(上乃+a)=tana

sin(万一a)=sinacos(乃-a)=-cosatan(乃-a)=-tana

sin(乃+a)=sinacos(7r+a)=-cosatan("+a)=tana

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-cr)=-tana

sin号-a)=cosacos(^-a)=sinatan弓-a)=cota

sin(—+a)=cosacos(£+a)=-sinatan(^+a)--cota

红

2-a)=-sinatan(--a)=cota

加

一/3万、

2+a)=sinatan(——+a)=-cota

4.角的和差展开运算:

sin(a+#)=sinacos/7+sin尸cosasin(a一万)=sinacos0-sin0cosa

cos(a+夕)=cosacos夕一sinasin0cos(a一夕)=cosacos/?+sinasin0

tana+tan£八、tana—tan£

tan(a+/?)=tan(za-仍=---------------

1一tanatan01+tanatan/?

5.二倍角公式：sin2a=2sinacosacos2a=cos2df-sin2=1-2sin2ez=2cos2a-1

八2tana

tan2a=----；一

1-tana

例1：求cos20。cos40。cos60。cos80。的值？

.宙716sin20°cos20°cos40°cos60°cos8004sin40°cos40°cos80°

解：原式=-------------------------------=-------------------

16sin20°16sin20°

2sin80。cos80。_sin160。_sin20。_1

16sin20°~~16sin20°-16sin20°-16

v业有八—•a,/l-cos6fa./l-cos(2

6.半角公式：sin—=±J----------tan—=±J----------

2V22Vl+cosa

1-tan2ez2tana

7.万能公式：sin2a=-------；—cos2a=tan2a-

1+tan4■cr1+tan2。1-tan2a

3tana-tan3a

8.三倍角公式:sin3a=3sin«-4sin3acos3a=4cos3a-3cosatan3a=

1-3tan2a

9.积化和差公式：sincifcosP=—[sin(a+/?)+sin(a-/?)]cosasin/?=—[sin(a+/?)-sin(a-/7)]

cosacos加广°s(a+0+c°s(a-0]sin«sin^=--[cos(a+^)-cos(«-^)]

例1：求cos竺+cos也+cos”的值？

777

〜2万4〃6万、.n.3万.4.5万.3万.5万

2(cos——+cos——+cos——)sin-sin------sin〜+sin—•一sin——+sin九一sin——

解：原式二一工——工——工―7=_7__7__7——7----------------L

2sin—2sin—

77

.兀

-sin

7

C.冗2

2sin—

7

G•/。+尸\一、。(a+(a

10.和差化积公式:si.na+,s•m』D=2sin(---)cos0(一-一(5)s,ina-si•npo=2cos(---P\)si•n(-~--P\)

cca+尸a—/3、(a

cosa+cosp=2cos(---)cos(---)cosa-cos°n=-20sin(-+--B)si•n(-~--P\)

第二节解斜三角形

62+。2_〃2「a2+c2-b2c°sC=3出.

1.余弦定理:cosAcosB=--------------

2bc2ac2ah

a2=b~+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=tz2+/?2-2abcosC

2.正弦定理：L=2R（其中R为三角形外接圆的半径）

sinAsinBsinC

3.面积公式：（1）S=—ahsinC=—acsinB=—hcsinA（两边一夹角）

222

⑵s4

4R

（3）SJ"""（其中「为三角形内切圆的半径）

2

（4）海伦公式：S=y/p（p-a）（p-b）（p-c）（其中p=（“+；+'））

例1：已知：a=3,b=5,c=7,求S,R,r?

vcosA=-="sinA=迪S=Lbesin心.

解一:

2bc141424

a_7-x/3.・§_(a+b+c»_2s_V3

2sinA32a+/7+c2

解二：p=("+：+c)=5.s=J，(p-a)(，-b)(〃―c)=

b仁abc八abc7-y32sV3

又・「S=——,.•./?=——=-----,r=---------=—

4R4s3a+h+c2

第五章数列

例题一：已知:an=2an_,+3,a,=1,求明及S“

分析：该题既非等差也非等比，应采用化归的方法化成我们熟悉的形式

解法一：•.•*=2%_］+3/.arl+3-2(an_t+3)

设a=%+3.•也=2%.•也=42"T

又•.•仇=q+3=4.•，“=2"i.•.%=2向一3.•.S“=2"2一3〃一4

解法二：•.・%=2%_|+3.•.4+]=2%+3.-.a„+1-a„=2(a„-a„_t)

设a=。,川—％•,也=2b,i.」“=瓦2"7

n+1n+ln+2

又•.•仇=&—1=4/.bn=2/.a„=2-3Sn=2—3〃一4

例题二：已知：%=2­+3"1吗=1,求明及S“

分析：该题应采用化归的方法化成我们熟悉的形式

解：•.•%=2即］+3"T，4=*+1即4=2(4)+I

”"一］3“一|3〃一［3〃一］3'3'L2/

设b〃=巴/.a=2o+1

n3〃-1n3'I

用例题一的方法可求解得："=3-2(|严・•.%-S.=V»

例题三：已知:an=an_x+an_2,ay=I,a2=1,求

分析：该题为著名的菲波那契数列，一般应采用差分方程求解

hrj、土1+V51—V51+V5

解法一：・・•%=%_|+%-2•二％--------------------------^,,-2)

%=上+(三叵尸用例题二的方法可求解

c1,1+751-V5

•%=二(---)+(---)

222

解法二：=*T+*_2它的特征方程为：r2=r+1

它的特征根沏1苧

它的特征解为：%=*"+网，将卬=1,%=1代入

1

a--

解得：《21FJ+VS

，an2(丁尸尸

0=>2

2

二阶线性递归数列的通项公式求解方法:

aa+ba_+ca

已知：《nn}n-20,(1)

q=p,g=q

(1)的特征方程为：ar2+br+c-0(2)

①△=-ac〉0,它有两个不相等的实根八,弓

它的特征解为：a„=ar；'-'+归一'

a+夕=%

其中：

at\+pr2=a2

②A=-dfc=0,它有两个相等的实根r

它的特征解为：a„=(a+

a+/3=

其中：，

(a+2/7)r=a2

A=/?2-ac<0,它有两个共趣的复根r(cos0+isin0)

n

它的特征解为：an=r-'{<zcos[(n-1)(9]+psin[(n-1)^]}

a=a

其中:x

r(acos6+/?sin6)=a2

2/7-1

例题四：已知：%=〃一11=2,求明

a,i

分析：该题应采用化归的方法化成我们熟悉的形式

解：•.•““J%-1=

___1___=___aanzl_,=____1____|,]

anTan-\~1-]

设b=:.b,、=b_+1；♦b“=瓦+n—1=n

n%—1n]

nn

例题五：已知：%=7%-6吗=4,求4

+2

分析：该题为线形分式递归数列，应采用分式不动点理论求解

解：•.•*=7%—6,..它的特征方程为》=但心

an_x+2x+2

解得：x,=2,x2=3

..%_2_a”_]+2__5♦“_]-2

'-37a6_3武％-3,(1)

%+2

3b-26-5.T-2・4"T

线形分式递归数列通项公式求解方法：（不动点理论）

〃一叫T+B

%+/

它的特征方程为：*=竺上2即/+0-a)x-£=0

x+/

①当△=(/—a)?+4夕中0时，/2=®二手巫

(1)当％=xX2则an=x]2

(2)当火工x12

(、〃-1/

则4一-=7♦—为

、an-X2Ml

②当△=(7—a)?+4/=0时，=(«；,)

(1)当4=xl2则an=xl2

(2)当.Hxl2

则_J_=_1_+20LS1)

一匹«1-x,a+y

例题六：已知：a==—求：a

n2

分析•：上式与半角公式相似，可利用它解题

7171

解：cos—=4=cos——a=cos-------r

213“tt3・2"T

例题七：已知：必=1求：cin

分析：上式两边取对数，可将其化归后求解

解：：%=1°飙;，loga“=l+fog%

设〃,=log%则”,=l+；b11T.也=2—(g).•.4,=10”2)

第六章复数

1.复数相等的条件：两复数相等，必须实部与实部相等，虚部与虚部相等。

例1：已知：3(x+i)i=2x—i,求x

解：设x=a+则原式可化为：一3(6+1)+3山=2a+(2b-l)i

卜地+1)=2。解得…

/.X=---------------1

3a=2h-\71313

13

2.复数的乘方与开方定理(复数的三角形式)：

(1)乘方定理：［“cos。土isin8)］"=r"(cos〃6±sin”。)

(2)开方定理(棣莫佛定理)：可r(cos6+isin8)=寸(cos'++sin°十、一")伏二0,1，…,九一1)

,nn

3.如果一个实系数方程有一个复数根，则它的共现复数也是它的根。

例1：如果z是方程+…+/z+a()=0(〃0，。］,…ER)的一个复根，试证明z也是该方

程的根。

证明：设z=NcosO+isin。)，贝Uz=r(cos^-/sin0)

nn

aHz+an_xz~'+---+a1z+a0^O(ao,ai,---,aneR)

n

/.anr(cos〃9+isin〃8)+…+tztr(cos8+isin6)+4=0

arncosn0-\---\-arcos夕+劭=0

解得：n}

sin几。+•••+〃jsinS=0

%r〃(cos〃6-isin〃6)+・・・+QJ(COS。-isin。)+〃o=0

—n-n-\—

%z+*z+---+a,z+a0=0

所以，z也是该方程的根

4.一些常用的复数化简因子：(l+i)2=2i,—=i,—=i

\-i1+z

5.复数模的性质：忖2=ZZ，忖=口，,忆|=卜遥2|，W