第七章第三节第2课时《正弦函数、余弦函数的图象》苏教版（2019）高中数学必修第一册

正弦函数、余弦函数的图象

目标要求

L理解并掌握正弦曲线、余弦曲线的图象；

2.正弦函数、余弦函数图象的初步认识；

3.会用“五点法”作三角函数的图象；

4.掌握正弦函数、余弦函数图象的应用.

重点难点

重点：用“五点法”作三角函数的图象；

难点：正弦函数、余弦函数图象的应用.

学科素养目标

三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形

数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系.在本章中，充分渗透了数形结合的思想.一方面是

以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用.如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥

单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同

角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图

象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质；另一方面以数助形.特

别值得一提的是诱导公式的推导.首先提出问题：”由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三

角函数值相等.

教学过程

基础知识点

1.正弦曲线

(1)正弦曲线

正弦函数产sin的图象叫正弦曲线.

(2)正弦函数图象的画法

①几何法：

(i)利用正弦线画出y=sinx,尤e[0,2句的图象;

(ii)将图象向左、向右平行移动(每次2〃个单位长度).

②“五点法”：

(i)画出正弦曲线在[0,2日上的图象的五个关键点(0,0),,(0),—,(20),用光滑的曲线

连接；

(ii)将所得图象向左、向右平行移动(每次2〃个单位长度).

(3)本质：正弦曲线是正弦函数的图形表示,是正弦函数的一种直观表示.

(4)应用:根据正弦曲线,能帮助学生更直观地认识正弦函数,进而根据正弦曲线推导正弦函数的一些常用

性质.

【思考】在作y=2+sinx的图象时,应抓住哪些关键点?

2.余弦曲线

（1）余弦曲线

余弦函数丫=＜：05X,XGR的图象叫余弦曲线.

y.

_7n_5n_3n1.v=cosx,xeR

（2）余弦函数图象的画法

TT

①要得到产COSX的图象，只需把〉=豆!1X的图象向—平移5个单位长度即可.

②用“五点法”画余弦曲线产cosX在［0,2句上的图象时，所取的五个关键点

7T3万

分别为（0,1）,（5,0）,,（y50）,，再用光滑的曲线连接.

【思考】

产cos%（x£R）的图象可由尸sinx（x£R）的图象平移得到的原因是什么？

【课前基础演练】

题1.函数y=l—sinx,xd［o，2“］的大致图象是（）

22------------Z.

O匹K3n2nXoA冗3n2nx

2T2T

AB

1N

3^\2nx0号兀鱼2冗x

CD

题2.函数y=cosx与函数y=—COSX的图象（）

A.关于直线x=l对称B.关于原点对称C.关于X轴对称D.关于y轴对称

题3.在同一平面直角坐标系内，函数y=sin%,工£［0,2"］与＞=$111羽元£［2",4"］的图象（）

A.重合B.形状相同,位置不同C.关于y轴对称D.形状不同，位置不同

题4.y=l+sin尤，［0,2〃］的图象与直线y=］交点的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

sinx<0,

题5.不等式组jn的解集是

万WxW5

题6.函数；y=cosx+4,xG[0,2的图象与直线y=4的交点的坐标为

题7.用“五点法”作出下列函数的简图.

(l)y=l+2sinx,[0,27]；

(2)y=2+cosx,xG.[0,2〃].

【课堂检测达标】

题8.函数y=sinx,xG[0,句的图象与直线y=0.99的交点有)

A.1个8.2个C.3个D4个

x+yl，g(x)

题9.已知/(x)=sinCOS,则/(x)的图象)

A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称

JTJI

c.向左平移5个单位，得g(x)的图象D.向右平移了个单位，得g(尤)的图象

题10.方程|x|=cosX在(一8,十8)内)

A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根

题11.函数y=—cosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()

A.1万，ijB.(",1)C.(0,1)D.(27,1)

题12.将余弦函数y=cosx的图象向右至少平移m个单位,可以得到函数y=一sinx的图象，则m=()

题13.(多选)用“五点法”画尸3sin尤，正[0,2*的图象时，下列哪些点是关键点()

A.信，B.(字3)C.0)D.(2*,0)

为、m[cosx（一兀Wx<0），1

题14.（多选）已知函数尸~/、若y=[,则x的可能取值为（）

••[sinx（OWxW兀）.N

JInJI5兀

题15.利用余弦曲线，写出满足cosx>0,xe[0,2〃]的龙的区间是—

题16.函数y=lg（sinx—"+7镜―2sinx的定义域为.

题17.用“五点法”画出y=-2cosx+3（0WxW2〃）的简图.

题18.在同一坐标系中，作函数y=sinx和y=lg尤的图象，根据图象判断出方程sinx=lgx的解的个数.

【综合突破拔高】

题19.点M（5，-mj在函数y=sinx的图象上，则相等于

)

A.0B.1C.-1D.2

题20.（多造函数y=sin冗一1,[0,2与y=〃有一个公共点，则〃的值可以为（）

A.-1B.0C.1D.-2

题21.与图中曲线（部分）对应的函数解析式是（）

-2n_2nx

A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=—sin\x\D.y=—|sinx|

题22.若函数y=2cosx（0W%W2"）的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面

积是)

A.4B.8C.2"D4"

题23.关于三角函数的图象，有下列说法:

①y=sinx+1.1的图象与x轴有无限多个公共点;

②y=cos（一%）与丁=以）$|x|的图象相同；

③y=|sin冗|与y=sin（一元）的图象关于x轴对称;

@y=cosx与y=cos（—x）的图象关于y轴对称.

其中正确的序号是.

题24.函数y=N数ir^x+sinx—1的定义域是.

题25.已知函数/（x）=2cosx+l,若/（x）的图象过点停，"*），则机=;若/（尤）〈0，则尤的取值集

合为.

题26.当［—JT,时,x与y=sinx的图象交点的个数为，这些交点的横坐标之和为.

题27.若集合sinO2；1,

N=0cos0《5[0,2%],求MGN.

1---AJI

题28.方程sinx=i厂在xd方，JI上有两个实数根，求a的取值范围.

编号：046课题：§7.3.2.1正弦函数、余弦函数的图象

目标要求

L理解并掌握正弦曲线、余弦曲线的图象；

2.正弦函数、余弦函数图象的初步认识；

3.会用“五点法”作三角函数的图象；

4.掌握正弦函数、余弦函数图象的应用.

重点难点

重点：用“五点法”作三角函数的图象；

难点：正弦函数、余弦函数图象的应用.

学科素养目标

三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形

数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系.在本章中，充分渗透了数形结合的思想.一方面是

以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用.如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥

单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同

角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图

象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质；另一方面以数助形.特

别值得一提的是诱导公式的推导.首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三

角函数值相等.

教学过程

基础知识点

L正弦曲线

(1)正弦曲线

正弦函数产sin的图象叫正弦曲线.

y

F-2R节.1

(2)正弦函数图象的画法

①几何法：

(i)利用正弦线画出产sinx,xd[O,2句的图象;

(ii)将图象向左、向右平行移动(每次2〃个单位长度).

②“五点法”：

(i)画出正弦曲线在[0,2句上的图象的五个关键点

(0,0),—(1,1),(耳0),—(y,-l)—,(2凡0),用光滑的曲线连接；

(ii)将所得图象向左、向右平行移动(每次2"个单位长度).

(3)本质：正弦曲线是正弦函数的图形表示,是正弦函数的一种直观表示.

(4)应用:根据正弦曲线,能帮助学生更直观地认识正弦函数,进而根据正弦曲线推导正弦函数的一些常用

性质.

【思考】在作y=2+sinx的图象时,应抓住哪些关键点？

提示:作正弦函数y=2+sin尤,xd[0,2的图象时,起关键作用的点有以下五

7T3万

个：(0,2),(—,3),(4,2),(《"J),(2兀,2).

2.余弦曲线

(1)余弦曲线

余弦函数,=<：05的图象叫余弦曲线.

7，

_7n_5n.3n1,v=cosx,xeR

(2)余弦函数图象的画法

①要得到尸cosX的图象,只需把产sinX的图象向一左—平移!•个单位长度即可.

②用“五点法”画余弦曲线产cos尤在[0,2句上的图象时，所取的五个关键点

7T3万

分别为(0,1),(1>0),―(乃1)，(三，°)，一(2况1)—,再用光滑的曲线连接.

【思考】

y=cosx(xGR)的图象可由广sinx(xGR)的图象平移得到的原因是什么？

JT7T

提示:因为COSX=sin(x+—),所以y=sinx(xGR)的图象向左平移5个单位长度可得产8$尤(xWR)的图

象.

【课前基础演练】

题1.函数y=l—sinx,xd)

JI3JT

【解析】选8,当％=0时，y=l；当时，y=0；当x="时，y=l；当时，丁=2；

当冗=2"时，y=l.结合正弦函数的图象可知3正确.

题2.函数y=cos%与函数y=—cosx的图象()

A.关于直线x=l对称B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称

【解析】选C由解析式可知y=cosx的图象过点(〃，/?),则y=—cosx的图象必过点(〃，一。)，由

此推断两个函数的图象关于x轴对称.

题3.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx,[0,2"]与〉=5由冗，x£[2",4"]的图象()

A.重合B.形状相同，位置不同C.关于y轴对称D.形状不同，位置不同

【解析】选A根据正弦曲线的作法可知函数〉=$山尤，[0,2〃]与？=$山》,[2n,47]的图

象只是位置不同，形状相同.

3

题4.y=l+sin%，了£[0,24]的图象与直线y=]交点的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

3

【解析】选C用“五点法”作出函数y=l+sinx,冗£[0,2句的图象，作出直线>=万的图象如图

所示，

由图可知，这两个函数的图象有2个交点.

sinx<0,

题5.不等式组《兀一一的解集是________.

万WxW5

JI.,,

【解析】当万WxW"时，OWsinxWl,当％VxW5时sin%V0,所以原不等式的解集为（"，5].

答案：（勿，5]

题6.函数y=cosx+4,[0,2"]的图象与直线y=4的交点的坐标为.

【解析】

|y=cosx+4,n3n，兀\，3兀、

由j-4得cos%=0,当[0,2"]时,％=5或一万一，所以交点坐标为仁，4J，仁-，4J

答案:仔,4）,4）

题7.用“五点法”作出下列函数的简图.

（l）y=l+2sinx,[0,2"]；

（2）y=2+cosx,冗£[0,2"].

【解析】⑴列表：

JI3兀2

X—

TJI

sinxi(-10

l+2sin

31-11

X

在直角坐标系中描出五点（0,1）,仔，3）,（〃，1）,（三二一1）,（2〃，1）,然后用光滑曲线顺

次连接起来，就得到y=l+2sinx,尤6[0,2*的图象.

⑵列表:

3

2

JI2

XTJI

JI

JI

cosX001

1

2+cos

2123

X

描点连线，如图,

【课堂检测达标】

题8.函数y=sin尤，xG[0,句的图象与直线y=0.99的交点有()

A.1个3.2个C.3个D.4个

【解析】选区观察图象(略)易知：有两个交点.

题9.已知/(x)=sin(x+高，g(x)=cos(x—高，则/(尤)的图象()

A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称

J[兀

C.向左平移了个单位，得g(x)的图象D.向右平移了个单位，得g(x)的图象

【解析】选D/(x)=sinfx+—

JI

/W的图象向右平移万个单位得到g(x)的图象.

题10.方程|x|=COSX在(一8,十8)内()

A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根

【解析】选C.求解方程|x|=COSX在(一8,+8)内根的个数问题，可转化为求解函数/(x)=|x|和

g(x)=cosX在(-8,+8)内的交点个数问题./㈤=|x|和g(x)=COSX的图象如图,

-1Tg(x)=cosX

显然有两交点，即原方程有且仅有两个根.

题11.函数y=—cosx（x〉0）的图象中与y轴最近的最高点的坐标为)

A•生1

B.("，1)C.(0,1)D.(2〃，1)

【解析】选A用“五点法”作出函数y=—cosx,尤〉0的图象如图所示，可知3正确.

题12.将余弦函数y=cosx的图象向右至少平移机个单位,可以得到函数y=—sin尤的图象，则m=（）

ji3兀3兀

A.—B.nC.D.一j-

3,3兀、

【解析】选C.根据诱导公式得，y=—sinx=cos（-/J一T一%）=cos|^x—,故欲得到y=—sinx

3JI

的图象，需将y=cosx的图象向右至少平移亍个单位长度.

题13.侈选）用“五点法”画尸3sin尤，xe[0,2句的图象时，下列哪些点是关键点（）

A.停'习B.15’3）C.0）D.（2JI,0）

【解析】选BCD.

JI3JI

五个关键点的横坐标依次是0,V'口，F，2万.代入横坐标，计算得B,C,。正确.

-3[cosX（一兀WxCO），1

题14.（多选）已知函数丫=一/、若y=[,则x的可能取值为)

••Isinx（OWxW兀）./

itji5n

A.D.

I艮E

【解析】选ABD作出函数

Hs[iconsx（一兀Wx<0），的图象'再作直线尸51'如图所示,则当一公〈。时，

.31JI5兀

由图象知X=—了，当OWxW〃时，k8或彳=3

【光速解题】根据题意，画出函数/(x)的图象及直线y=；的图象，分别求出交点坐标即可.

题15.利用余弦曲线，写出满足cosx>0,xe[0,2句的x的区间是

【解析】画出y=cosx,[0,2"]上的图象如图所示.

的区间为3兀

cosx>00,yjU-211

3兀

答案：0,yjU

-211

题16.函数y=lg(sinx-"+^/^3

—2sinx的定义域为.

【解析】要使原函数解析式有意义，必须满足;<sin

.首先作出y=sinx在[0,2句上的图

象，如图所示,

I兀5兀

作直线尸5,根据特殊角的正弦值，可知该直线与尸sinx,xd[0,2句的交点横坐标为石和7-；

作直线丁=乎，该直线与>=5111X,[0,2的交点横坐标为弓和^^•

、一一.兀n25兀1\3

观察图象可知，在[0,24]上，当二~<x^—或一丁^x<—r~时，不等式弓<sin成立，

633622

1

-....................nJI2兀5兀

2的解集为的瓦+2壮〈尤+2"或亍+2k^x<—+2Ek^Z].

兀兀2JI5兀

答案：{次|7~+2k兀+2Z"或+2左"WxV二一+2左"，k^Z}

633O

题17.用“五点法”画出y=—2cosx+3(04W2")的简图.

【解析】列表：

JI3几2

XJI—

TJT

cosX001

1

-2cosx3531

+3

描点、连线得出函数y=-2cosx+3（0WxW2〃）的图象.

题18.在同一坐标系中，作函数y=sinx和y=lgx的图象，根据图象判断出方程sinx=lg%的解的个数.

【解析】建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sinx,的图象.

描出点（1,0）,（10,1）,并用光滑曲线连接得到y=lgx的图象，如图所示.

由图象可知方程sinx=lgx的解有3个.

【综合突破拔高】

题19.点从万，一[在函数y=sinx的图象上，则相等于（）

A.0B.1C.-1D.2

JT

【解析】选C由题意得一根=sin5，所以一m=1,所以m=-1.

题20.（多造）函数y=sinx—1,[0,2与有一个公共点，则〃的值可以为（）

A.11B.0C.1D.—2

【解析】选BD画出y=sinx—1的图象.如图.

依题意a=0或a=-2.

题21.与图中曲线（部分）对应的函数解析式是（）

/一

-2K2nx

A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=—sin\x\D.y——Isinx|

【解析】选C.注意图象所对应的函数值的正负，可排除选项A,D当xd（0,〃）时，SinLrl>0,而

题图中显然小于零，因此排除选项A

题22.若函数y=2cosx(0WxW2")的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面

积是()

A.4B.8C.2%D4%

【解析】选。.作出函数y=2cosx,［0,2"］的图象，函数y=2cos%,［0,2刀］的图象

与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.

利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形0A5C的面积，又因为。4=2,OC=2R,

所以S阴影部分=S矩形OABC=2X2"=4

【误区警示】解此题，往往忽视对称，我们需要将不规则图形转化为规则图形.

题23.关于三角函数的图象，有下列说法：

①y=sinx+1.1的图象与％轴有无限多个公共点；

②,二^^(―1：)与丁=85|x|的图象相同；

③y=|sin%|与y=sin(—%)的图象关于x轴对称；

@y=cosx与y=cos(—%)的图象关于y轴对称.

其中正确的序号是.

【解析】对②，y=cos(―x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其图象相同；

对④，y=cos(-x)=cosx,故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确.

答案：②④

题24.函数y=^2sin2x+sinx—1的定义域是.

【解析】由ZsinG+sinx—ieO得sin或sinx——l,

,JI5兀、Ji

所以x—2k^――，k^Z.

662

答案：{x\2kJi+^~WxW2Z"+等或％=2%"一三，k^Z}

662

题25.已知函数/(x)=2cosx+l,若/(x)的图象过点(万，m),则根=；若/(x)〈0,则x的取值集

合为.

,兀兀1

【解析】当％=5时，/(x)=2cos—+1=1,所以机=l./(x)<0即cosx<-",

作出y=cosx在［0,2"］上的图象，如图所示.

,,,2n4兀

由图知x的取值集合为+2k+2女"，k^Z}.

I.2n4兀

答案：1x|—+2kJi<x<—+2kJi,kez

题26.当xd［—〃，