高中数学-函数的基本性质-奇偶性教学设计学情分析教材分析课后反思

2.1.4函数的奇偶性

执教教师：—指导教师：—

一.教学目标

1、知识目标：（1）了解函数奇偶性的定义.

（2）掌握函数奇偶性的判断和证明方法.

（3）会应用奇、偶函数图象的对称性解决简【单问题

2、能力目标:通过设置问题情境培养学生判断，推理的能力

3、情感目标:通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操.通

过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认

识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品

质.

二教学重点难点

重点是函数的奇偶性的概念，难点是函数奇偶性的判断

三教学方法

本节课采用观察，归纳，启发探究相结合的数学方法，运用现代

化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规

律，由形及数，数形结合，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形

成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考，探索和

交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解，对于奇偶性的

应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同

时设计问题，探究问题，深化对概念的理解.

四教学过程

教教学内容师生互动设计意图

学

环

-4-H

复复习在初中学习的教师提出问题，学生回为学生认识奇偶函

习轴对称图形和中心答数的图像特征做好

引对称图形的定义准备

入

概1.要求学生画出1.教师巡视指导，学1.要求学生动手作

念函数生作图。学生作完图后图以锻炼须生的动

形/(X)=/与g(x)=X2教师提问:观察大屏幕手实践能力，为下步

成的图像；观察大屏上我们画的两个函数问题的提出做好准

幕的图像，分别具有怎么备，并通过问题的提

样的对称性？出来引导学生从形

学生回答：/(x)=x3的角度认识两个函

关于原点成中心对称数各自的特征。

图形;g(x)=%2关于y

轴成轴对称图形。通过更多的例子

让学生知道函数图

像的对称性，即关于

原点成中心对称，以

及关于y轴成轴对

称，锻炼学生的观察

能力。

概2.老师在黑板上画2.老师边让学生计算2.通过特殊值让学

念出函数/(X)=/与相应的函数值，边操作生认识两个函数各

形g(x)=/的图象，并课件，引导学生发现规自的对称性的实质；

成让学生分别求出律，总结规律。然后要是自变量互为相反

x=0,±l,±2时的函数求学生给出证明，学生数时，函数值互为相

值同时让学生在两通过观察和运算逐步反数和相等这两种

个函数图象标明对发现两个函数具有的关系

应的图像上的点。不同特性：

让学生发现两个函3通过引例使学生对

数的对称性反映到3教师引导归纳，这时奇函数和偶函数的

函数值上具有特们称像f(x)=x3这样形和数的特征有了

性：的函数为奇函数，像函初步的认识，此时再

/(—X)=f(-x)g(-x)=g(数/(x)=/这样的函让学生给奇函数和

然后通过解析式给数为偶函数，请同学们偶函数下个定义应

出证明，进一步说根据奇函数偶函数的该是水到渠成.

明这两个特性对定初步认识来加以推广，

义域内的任意一个给奇函数和偶函数分

X都成立。别下一个定义。

3奇函数偶函数的学生讨论后回答，然后

定义：老师引导使定义完善，

奇函数：设函数在并在黑板上板书奇

y=/(x)的定义域为函数偶函数的定义。

D,如果对于D内的老师：根据定义，哪位

任意一个X,都有同学能举出另外一些

-x)=-f[x),奇函数和函数的例

则这个函数叫奇函子？

数学生；

偶函数：设函数

f(x)=X1

y=g(x)的定义域为

/(幻=_工6_4%4等

D,如果对D内的任

意一个X,都有

g(-x)=g(x),则这个

函数叫做偶函数.

概1.强调定义中任意教师设计以下问题组通过对两个问题的

念二字。说明函数的织学生讨论思考回答：探讨，引导学生认识

深奇偶性是函数在定问题1：奇函数和偶函以下两点：1.函数的

化义域上的一个整体数的定义中有任意二奇偶性是函数在定

性质。它不同于函字，说明函数的奇偶性义域上的一个整体

数的单调性。是怎样的一个性质？性质。它不同于函数

2.奇函数和偶函数与单调性有何区别？的单调性。

的定义域的特征是问题2：结合函数2.函数的定义域关

关于原点对称。/(x)=Y的图象回答于原点对称是一个

3.奇函数和偶函数以下问题：函数为奇函数或偶

图象的对称性：1.对于任意一个奇函函数的必要条件。教

如果一个函数是奇数,图象上的点师层层深入地提出

函数，则这个函数产(xj(x))关于原点的问题，学生根据教师

的图象是以坐标原对称点P’的坐标是什的诱导，思考问题并

点为对称中心的中么？点P是否也在函积极回答问题，加深

心对称图形。反之，数f(x)的图象上？由对定义的理解。

如果一个函数的图此可得到怎样的结论。由于学生对函数

象是以坐标原点为2.如果一个函数的图f(x)=x3与g(x)=x2

对称中心的中心对象是以坐标原点为对的图象的对称性已

称图形，则这个函称中心的中心对称图有所认识，在此加以

数是奇函数。形，能否判断它的奇偶推广得到奇函数和

如果一个函数是偶性？学生通过回答问偶函数的图象是比

函数，则它的图象题3可以把奇函数图较容易的，经过由形

是以y轴为对称轴象的性质总结出来，然到数的过程，可使学

的轴对称图形，反后教师让学生自己研生加深对本小节内

之，如果一个函数究以下偶函数图象的容的理解。

的图象关于y轴对性质

称，则这个函数是

偶函数

一、函数奇偶性的一、函数奇偶性的判断

应1.通过例1解决

判断例1判断下列函数

用如下问题

例1判断下列函的奇偶性：

举1根据定义判断一个

数的奇偶性：⑴f(力=2—x;

例函数是奇函数还是

(l)F(x)=2—X;(2)f(x)=1+

偶函数的方法和步

⑵f(x)=—1也一总

+[1—/；V骤是：第一步先判断

⑶/'⑸一］;

X—1

V函数的定义域是否

⑶f(x)=-7;

X—1(4)f(x)=

关于原点对称，第二

⑷F(x)=x+1,x>0,

步判断f(-x)=f(x)

Jx+1,x>0,—x+1,XO.

还是/(-X)=-f(x)

[-x+1,x<0.解⑴函数Hx)的

定义域为R,关于原点

对称，

又f(—x)=2——X

=2一|x"(x)，

所以"x)为偶函数.

(2)函数f(x)的定义

2通过例1中的第(3)

域为{-1,1},关于原

题说明有的函数既

点对称，

则F(x)=0,不是奇函数也不是

又f(—x)=f(x),且偶函数.

f{­X)=­f(x)，

所以Ax)既是偶函数

又是奇函数.

(3)函数f(x)的定义

域为{x|#l},不关于

原点对称，

所以Ax)既不是奇函

3例1中的第(4)小题

数也不是偶函数.

(4)f(x)的定义域是说明判断函数的奇

(—8,0)u(0,+°°),偶性先要看一下定

关于原点对称.义域是否关于原点

当x>0时，一下〈0,/1(一

对称.

x)=l—(―x)=l+x

=广(X);

当x<Q时，一X>0,/'(一

x)=l+(—x)=l-X

=f(x).

综上可知，对于

(—8,0)U(0,+°°),4/(x)=0既是奇函数

都有—x)=f(x),

又是偶函数，可进一

所以Ax)为偶函数.

步引导学生探究一

反思感悟判断函数

个函数既是奇函数

的奇偶性，一般有以下

又是偶函数的函数

两种方法

(1)定义法：若函数定是函数值为0的常值

义域不关于原点对称，函数，前提是定义域

则函数为非奇非偶函关于原点对称

数;若函数定义域关于

原点对称，则应进一步

跟踪训练1判断判断a—X)是否等于

下列函数的奇偶士f(x),或判断/(-

性.才)土/'(X)是否等于0,

从而确定奇偶性.

(1)f(x)

X

(2)图象法：若函数图5总结：对于一个函

(2)f{x)=x{x+

象关于原点对称，则函数来说，它的奇偶性

2).

数为奇函数;若函数图有四种可能：是奇函

象关于y轴对称，则函但不是偶函数，是偶

数为偶函数.

函数不是奇函数，既

跟踪训练1判断下

是奇函数又是偶函

列函数的奇偶性.

数，既不是奇函数又

(1)f(x)

X不是偶函数

(2)f{x)=x(/+2).

解(l)F(x)=’的定

X

义域为(-8,0)U(0,

+°0),6对于例2主要让学

/、1

/(—x)=—生体会学习了函数

X

的奇偶性后为研究

F(x),

函数的性质带来的

=,是奇函数.

二、奇、偶函数的

X方便，在此问题的处

图象及应用(2)£(X)=*(<+2)的

理上要先求一下函

例2已知函数尸定义域为R.

数的定义域，这是研

f(x)是定义在R上—=f(x),...究函数性质的基础，

的偶函数，且当xF(x)=x2(f+2)是偶

然后判断函数的奇

W0时，f(x)=/函数.

偶性，再根据奇偶函

+2x.现已画出函二、奇、偶函数的图象

数图象的对称性，只

数f(x)在y轴左侧及应用

的图象，如图所示.例2已知函数y=研究函数在y轴一侧

)上*"!--

-■\ln---kr--f-Ii-H4---h-----i---rAx)是定义在R上的的图象和性质就可

!\!!2!!!!r

-L-1—L-4-L-J-L偶函数，且当xWO时，以知道在另一侧的

：-2k!Jo!!!!rTf{x}=/+2x现已画

;p:zlI::;:'图象和性质

出函数F(x)在y轴左

(1)请补全函数y=

侧的图象，如图所示.

f(x)的图象；

-V「丁JrirrV

(2)根据图象写出《千一斗一卜修*一

!\!!2!!!!r

函数y=F(x)的单内i3.

!-2K!Jo：\•!r7

调递增区间；

⑶根据图象写出⑴请补全函数y=

使f(x)〈0的x的取f(x)的图象；

值集合.(2)根据图象写出函数

y=f(x)的单调递增区

间；

⑶根据图象写出使

F(x)<0的x的取值集

合.

解(1)由题意作出函

数图象如图.

⑵据图可知，单调递

增区间为(一1,0),(1,

+°°).

⑶据图可知，使

f(x)<0的x的取值集

合为{x|—2<x<2,且x

#0}.

反思感悟巧用奇、偶

函数的图象求解问题

⑴依据：奇函数=图

象关于原点对称，偶函

延伸探究

数Q图象关于y轴对

若将本例中的“偶

称.

函数”改为“奇函

⑵求解：根据奇、偶

数”，其他条件不

函数图象的对称性可

变，如何解答本

以解决诸如求值、比较

题？大小及解不等式问题.

(教师)

延伸探究

若将本例中的“偶函

数”改为“奇函数”，

其他条件不变，如何解

答本题？

解(1)由题意作出函

数图象如图所示.

21111

1L-Xj-5

---1---T---

।।三斗

⑵据图可知，单调增

跟踪训练2定义

区间为(-1,1).

在[-3,-1]U

⑶据图可知，使

[1,3]上的函数

f{x)<0的x的取值集

是奇函数，其

合为3—2<^r<0或

部分图象如图所

x>2}.

示.

跟踪训练2定义在

[-3,-1]U[1,3]±

-3-2-1Ol123x的函数f(x)是奇函

⑴请在坐标系中

数，其部分图象如图所

补全函数/•(*)的图

示.

象；y

(2)比较f(l)与

-3-2-1Oi23x

*3)的大小.

(1)请在坐标系中补全

函数f(x)的图象；

(2)比较/•⑴与A3)

的大小.

解⑴由于f(x)是

奇函:数，则其图象关于

原点:对称,其图象如图

所示

y

.!0

-3-2-112

(2)

察图2象知

A3XAD

归从知识，方法两个让学生谈本节课的收关注学生的自主

纳方面来对本节课的获，并进行反思体验，反思和发表本

小内容进行归纳总结堂课的体验和收获

结

布层次一：教材第85

置页，练习1、2、3o

作层次二:教材第585通过分层作业使

业页，习题3.2,第学生进一步巩固本

5,11题节课所学内容，并为

层次三:补充题，判学有余力和学习兴

断下列函数的奇偶趣浓厚的学生提供

性：进一步学习的机会。

(1)

V1-x

(2)

f(X)=yjl—x2・ylx2-1

学情分析

一、学生已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法

有了一定的了解。尽管他们尚不知函数的奇偶性，但学生在初中已经

学习过函数的轴对称与中心对称，对图像的特殊对称性早已有一定的

感性认识。

二、在研究函数的单调性方面，学生懂的了由形象到具体，然后

再由具体到一般的科学处理方法，具备一定数学研究方法的感性认识。

三、高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性和稳定性也

都还有待于提高。

四、高一学生的学习心理具有一定的稳定性，有明确的学习动机,

能自觉配合教师完成教学任务。

效果分析

本节课的教学过程设计主要有两个阶段：奇偶函数定义的形成和

奇偶函数的证明一定义法。第一阶段经历了“利用已经学过的二次函

数一做出函数的图象一寻找图像的特征一引出奇偶函数一得出奇偶

函数的定义”的过程，第二阶段也经历“观察猜想-推导论证-讨论归

纳-拓展提升”的过程，让学生了解不只有奇函数、偶函数，还即奇

又偶的函数、非奇非偶的函数，关于单调性与奇偶性的关系，引导学

生拓展延伸，可以取得理想效果。学生经历科学的探求过程，享受数

学学习的乐趣。另外，我一贯注重精心设计细节的小问题，启发、点

拨、诱导学生，使学生思维活动真实的暴露出来，通过学生的答疑和

讨论，师生、学生之间的协作和会话，在“学习共同体”中，每个人

都展示了自己的真实想法，并在交流活动中使意见趋于统一，从中得

到提高。

教学按预定的设计执行下来，总体感到课堂思路清晰、节奏明快,

课堂气氛活跃，基本完成了课前预设的目标，说明课前在学生层面所

做的分析是准确的。感到最成功之处是：学生的数学思维能力得到了

培养，学生的学力得到了训练提高。本节课体现了学生的主体地位,

让每一个学生有充分的时间参与交流讨论，有充分让学生表现的机会。

更要关注一些“困难生”学习情况的了解，在尊重他们的意见和思考

成果的同时一，启发他们反思自身的思维漏洞，纠正错误，还给他一个

正确的认识。本节课总体感觉效果较好,学生学习积极性较高,重视了

知识的生成过程和重点知识的落实。感到遗憾的这节课时间上比较紧,

后面练习讲评显得很急促，深入反思教学过程，教学理念上还是有应

试教育的影响，而没有更多的照顾到每一个个体的有学习情况。

教材分析

函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化，它把自

变量取相反数时函数值间的关系定量的联系在一起，反映在图像上为:

偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点中心对称。这样

就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析。

教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表进行归纳和抽

象，概括出了函数奇偶性的准确定义。

然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函

数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例。

最后，为加强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇

偶性与单调性的联系。

这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的

奇偶性。

评测练习

1.函数尸F(x),x£[—1,a](a>—1)是奇函数，则H等于()

A.-1B.0

C.1D.无法确定

2.(多选)下列函数是奇函数的是()

A.y=x(x£[O,1])B.y=3/

1..

C.y=~D.y=x|x|

X

3.若Hx)为R上的偶函数，且f(2)=3,则2)=.

4.已知函数y=F(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程

f(x)=O的所有实根之和是.

课后反思

本节课我用多媒体展示一个视频与一组图片，使学生感受到生

活中的对称美。再让学生观察几个特殊函数图像，通过让学生观察图

像引入新课，即激发了学生的学习兴趣，又为学习新知识作好铺垫。

通过问题引入，利用函数图像直观获得函数奇偶性的认识，再利

用问题引导学生发现当自变量互为相反数时函数值的关系，对定义域

中的“任意值”都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。

在教学过程中较多的注意了学生的活动，由单一的问答式