沪科版八年级平行四边形全章培优经典习题★

平行四边形讲义【平行四边形】如图，ABCD中，M是BC的中点，且AM=9,BD=12,AD=10,那么该平行四边形的面积为_______(平移AM，使分散的条件集中到一个三角形中)例3例2例1例3例2例1如图ABCD中，∠DAB=600，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB求证：四边形AFCE是平行四边形；假设去掉条件的“∠DAB=600如图，△ABC中，∠C=900，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC,AM与BN相交于点P，求证∠BPM=450(条件给出的是线段的相等关系，结论是求角的度数，条件中国有直角和相等的线段，联想到等腰直角三角形；故平移AN,构造平行四边形)四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA都是锐角，点P是对角线BD上一点，PQ∥AB交AD于Q，PS∥BC交DC于S，四边形PQRS也是平行四边形.〔1〕当P于点B重合时，图〔1〕变为图〔2〕，假设∠ABD=900，求证△ABR≌△CRD〔用不同的方法〕〔2〕对于图〔2〕假设四边形PRDS也是平行四边形，此时你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？.四边形ABCD中,DB交AC于P,EF过P点分别交AD、BC于E、F，且PE=PF，PA+AE=PC+CF.求证：PA=PC.【矩形、菱形】如图，矩形ABCD中对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=150，那么∠BOC=______如图，四边形ABCD是菱形，△AEF是正三角形，点E、F分别在边CB、CD上，且AB=AE,那么∠B=()例7A.600B.800C.1000例7例例6矩形纸片ABCD沿EF折叠，点B落在AD上的B1处，点A落在A1处.〔1〕求证：B1E=BF〔2〕设AE=a，AB=b，BF=c，试猜测a,b,c之间有何等量关系，并证明。〔2008年湖北省咸宁市〕如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．〔1〕求证：EO=FO；〔2〕当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．ABCDEF图2〔山东东营〕如图2，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为ABCDEF图2〔A〕〔B〕〔C〕 〔D〕８ABCDFEOABCABCDFEOABCDA．1B．2C．D．答案：D【正方形】正方形的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点；那么DN+MN的最小值是多少？ABCPDE例13〔海南省〕如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点〔P与A、C不重合〕，点E在射线ABCPDE例13〔1〕求证：①PE=PD；②PE⊥PD；〔2〕设AP=x,△PBE的面积为y.①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；〔08武汉〕正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上的一动点，过P作PF⊥DC于F.如图，当点P与点O重合时，显然有DF=CF.〔1〕如图2，假设点P在AO上〔不与点A，O重合〕，PE⊥PB且PE交CD于点E.求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你结论.〔2〕假设P在线段OC上〔不于O，C重合〕，PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3，并判断〔1〕中的两个问题是否分别成立？假设不成立写出相应的结论.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．⑴求证：CE＝CF；⑵在图1中，假设G在AD上，且∠GCE＝45°，那么GE＝BE＋GD成立吗？为什么？⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC〔BC＞AD〕，∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．图2图1BCAGDF图2图1BCAGDFEBCADE〖例〗小明在研究正方形ABC的有关问题时，得出“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”。小明是一个善于提问题的同学，他想：假设把正方形ABCD改为矩形，其他的条件不变，是否还有EF⊥AE的结论呢？请你对上述的两个问题作出解释。按照上述的思路你会进一步提出什么问题？并对你提出的问题给予解释。〔考虑在菱形中，在一般的平行四边形中的情形；进一步研究图形还会发现与四边形AFCD有关的结论：AF与CF、AD的关系〕【梯形】：梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=900，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，求S1，S2，S3之间的关系。〔2008年甘肃省白银市〕如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．〔1〕〔2〕〔1〕〔2〕如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=900，AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求〔1〕t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？〔2〕t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？.等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，对角线AC⊥BD于O，假设DC=3cm,AB=8cm,求这个梯形的面积。〖例20〗梯形ABCD，AD∥BC，∠ABC=900，AD=3，BC=5，以D为旋转中心，逆时针方向把DC旋转900得线段DE，求△ADE的面积。〔根据AB长的不确定，在特殊情况下探索三角形的面积，在一般情况下给出证明。利用的数学思想是：一般与特殊的关系〕【中点相关的问题】1.任意四边形各边中点的连线是什么图形？当得到的四边形是矩形、菱形时，原四边形应满足什么条件？2．如图，矩形的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形，再顺次连结四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是。3.如图，△ABC中，CD是AB边上的高，D为垂足，M为AB中点，DM=AC，求证：∠A=2∠B4．如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么以下结论成立的是A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P的位置有关5.〔2008乌鲁木齐〕．如图，在四边形中，点是线段上的任意一点〔与不重合〕，分别是的中点．〔1〕证明四边形是平行四边形；〔2〕在〔1〕的条件下，假设，且，证明平行四边形是正方形．6.△ABC中，CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE.7.梯形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=600，AC与BD交于O，E是OD中点，F是OC的中点，G是AB的中点。求证：△GEF是等边三角形8.梯形ABCD中，AD∥CB，∠B+∠C=900，AD=1，BC=3，E，F分别是AD，BC的中点，那么EF的长是多少？9.平行四边形的两条对角线的长分别为4，6.那么其边的取值范围是_________10.〔2007山东临沂〕如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是。答案：AD＝BC，或ABCD为等腰梯形〔答案不唯一〕11.△AEB及△AFC是直角三角形，∠AEB=∠AFC=90，∠ABE=∠ACF，M是BC的中点，探究ME和MF的大小关系.12.D在AB上，E在AC上，BD=CE，M是BE中点，N是CD中点.M，N交B于P交AC于Q. 求证：∠APQ=∠AQP13..如图，M，N，P，Q分别是五边形ABCDE的边的中点，O是PQ的中点，K是MN的中点，探究线段OK与BC的关系.【练习】1.〔08潍坊〕如图，ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于点F，BE于E点.〔1〕求证：DF=FE；〔2〕假设AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；〔3〕在〔2〕的条件下，求四边形ABED的面积.2.，D，E分别是正△ABC的BC，AB边上的点，且CD=BE，以AD为边作正△ADF，连接EF。判断四边形CDFE的形状。当∠EFD=300时，求D点的位置。〔拓展到正方形中〕3.如图，以△ABC的三边AC，BC，AB为边作等边△ACD，等边△BCE，等边△ABF，使D，A，F，E在BC的同侧。试判断四边形ADEF的形状，并说明理由△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？菱形？△ABC满足什么条件时，四边形ADEF不成在？4.如图,四边形ABCD中,假设AB=BC，∠ABC=∠CDA=