高中数学数列问题函数化

高中数学数列问题函数化

数列是一种特殊的函数：定义域为正整数集N*（或它的

有限子集口，2,3,n｝）的函数，数列的通项公式

就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数

列问题也是一种有效的途径。

1.数列与函数的明显关系

设等差数列&｝的公差为d,则由它的通项公式

*=翁+@-㈤可知,当a*。时,即是n的一次

函数；由前n项和的公式*22U21可

知当dwO时，E是n的二次函数。

设等比数列同｝的公比为q,则由它的通项公式：

前n项和的公式：

芯=^£2=»+&

]—qq-11-q

可知，当"0且”1时，久，S.是与n的指数函数相关的函

数。数列和函数的这种显见关系为我们数列问题函数化

解题提供了可行性。

2.数列问题函数化

（1）利用一次函数

例1.已知｛怎｝是递增数列且对于任意的正整数n,

%=/+%恒成立，求实数;I的取值范围。

解：由数列卜｝递增得到：即+「%>。对于一切甩eN•恒成

立，即2耳+1+4>0恒成立,所以兄>一伽+1）对一切小£川♦恒成

立，设〃加Q+1）,则只需求出/⑺的最大值即可,显

然了⑺有最大值八1）二一3,所以几的取值范围是：A>-3O

（2）利用二次函数

例2.已知等差数列同｝的前n项和且

S,=4Sgge犷且pwg),求邑

解：设&=/(%)="+物(当时),因为〃p)=/g)=』

”-p+q

所以/⑺的图象对称轴方程是丁

M=P+q

因为点(0,f(0))与点(P+0，/3+/)关于直线丁对

称

所以〃P+[)="0)=0

即4=。

当"0时，4为常数列,可知“o

即4=0,所以%=0

(3)利用函数理论

s--…+工

例3.已知*«+1«+22«o

(1)求证数列图｝是递增数列；

(2)对于大于1的一切自然数，不等式

11…J_J_2

^+i+^+2++宙＞也%"一+?恒成立，求实数a的取值

范围。

证明：(1)因为凡+「S*

…+3

+2甩+32(«+1)/1修+1%+22n/

111

=-----1-----------

2«+12总+2%+1

2〃+12总+2

所以数列｛SJ是递增数列。

111

(2)设/⑻=R+f++讥则由(1)的结论可知,

*/⑺是关于n的单调递增函数，要使不等式

^+i+^+2++宙々恒成立，只要求出了⑺的

最小值即可

因为心2且六犷

所以了㈤的最小值为：

/⑵=5+

1,，八2

>12°Sa+3

所以由12

1,^+1

/r1<a

解得

1

所以实数a的取值范围是：I

例4.已知数列®｝满足：

2怎+1=-%3+%*56犷)且℃(0,1)。

(1)证明劭6(0,1)；

(2)试比较明与小的大小；

(3)是否存在正实数C,使a「c对一切%WN♦恒成

立？若存在，求出C的取值范围，若不存在，说明理

由。

证明：(1)由已知条件得到：

13工3

4+1=_2%+*

它是关于斯的三次函数

12

3

人=--x+-x

令八,22

333

rti口〜^f'W=--X2+-=--(X2-1)

则了⑶的导函数222

则当x［0,1］时，/'(x)>0

所以/⑶在［0,1］上是递增函数

若%60,1),则

又〃0)=0,〃1)=1

所以必有。<%+1<1

因此由七e(0,1)及数学归纳法易证对一切附eN♦都有

斯e(0,1)(证明过程略)。

(2)因为由(1)知"(0，1)

所以…”-#+I&

=--1a„3上+一1%

22

12

=一丑/_1)>0

所以即+i>4

(3)因为劭€(0,1)且c>o

0<2

所以

<^>an-c>0且白点4-c<2(ax-c)

=不等式c<等对一切心犷恒成立，又由(2)的结论可

知，数列®｝是递增数列，所以只要n"I可即可满足条

c』0,40<心<2

件，故存在正实数I3人使得不等式一对一

切附wN♦恒成立。

(4)数列应用题化归到函数问题

例5.在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它

们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以

后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺

第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的

基础上递增5队设某人年初被A,B两家公司同时录

用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资

最多时可高出多少元(精确到1元)？

解：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月

工资数分别为

a„=1500+230(»-1)=230»+1270

4=2000x1.05s-1

其中》wN，

设了⑴=即-4=230«-2000x1,05*-1+1270

所以问题转化为研究了⑺最大值

因为当心2时

/(«)-/(«-1)

=[230«-2000x105x-1]-[230(«-1)-2000x

=230-100xl05*-2

初衣―,得：

1.05"-2<2.3

«<-^^+2=19.1

即1g105

所以当419时丁/㈤单调递增，而当此20时，/㈤单调

递减，因而当忍=19时，/㈤有最大值〃19)=心-1=827

(可用计算器计算出)。由此人在A公司工作比在B公

司工作的月工资最多时可高出827元。

3.数列含于函数中的问题

例6.已知〃x)=("l)2,g⑶=4(*1),数列｛%｝满足

即=2,(a*+i—即)

g(aD+/(%)=0,数列｛2｝满足4=3/(%)-g&+i),试求｛2｝最

大项和最小项。

解：由题意知：

(a*+i-%)•4(々-1)+(%-1>=0

所以a*=1或4aa-羽-1=0

又即=2,故/=1舍去

由4ali+i-T=0

n4(%+「l)=34-1)

3

所以数列&-1)是公比为I的等比数列

所以用

+1

又这=3(%-1)2—4(%+】-1)

B=3%)2_0⑴]

它是关于伊⑺的二次函数，图象的对称轴方程为松）=