人教高中数学A必修1教师用书

据央视新闻报道，中国于2016年年中至2017年上半年间，组织实施载人航天工程空间实验室任务．中国发射了“神舟”十一号飞船，搭乘2名航天员，与天宫二号对接，在飞船进入预定轨道的过程中包含了一些可以用函数描述的变化规律，如上升过程中飞船离地面的距离随时间的变化而变化，飞船外的温度和气压随飞船与地面的距离的变化而变化，等等．而高中的函数是用集合来刻画的，集合语言是一种抽象的数学语言，学习集合语言最好的方法就是使用，非洲大草原上生存着几千种动物，它们常常面临着生与死的考验，为了生存，它们过着“群居”的生活，这种“物以类聚”就产生某种动物集合．让我们一起走进“集合”世界，探索集合的奥秘.1．1集合1.1.1集合的含义与表示Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”问题1：数学家说的集合是指什么？问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？Xeq\o(\s\up7(新知导学),\s\do5(inzhidaoxue))1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的__总体__叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的__元素__是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa__∈__Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa__不属于__集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号__N____N*或N＋____Z____Q____R__(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__一般符号__及__取值(或变化)范围__，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的__共同特征__.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．Yeq\o(\s\up7(预习自测),\s\do5(uxizice))1．下列各组对象中不能组成集合的是(C)A．清华大学2019年入校的全体学生B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员C．中国著名的数学家D．不等式x－1>0的实数解[解析]“著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．2．已知a∈R，且a∉Q，则a可以为(A)A．eq\r(2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．－eq\f(1,3)[解析]eq\r(2)∈R，且eq\r(2)∉Q，故选A．3．设x∈N，且eq\f(1,x)∈N，则x的值可能是(B)A．0 B．1C．－1 D．0或1[解析]∵x∈N，∴x≠－1，排除C，又∵eq\f(1,x)∈N，∴x≠0，排除A、D，故选B．4．下列说法中①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合N中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的个数是__2__.[解析]由数集的性质可知①③错误，②④正确．5．已知集合A中含有三个元素0,1，x，若x2∈A，求实数x的值．[解析]当x2＝0时，得x＝0，此时集合A中有两个相同的元素，舍去．当x2＝1时，得x＝±1.若x＝1，此时集合A中有两个相同的元素，舍去．若x＝－1，此时集合A中有三个元素0,1，－1，符合题意．当x2＝x时，得x＝0或x＝1，易知都不符合题意．综上可知，符合题意的x的值为－1.Heq\o(\s\up7(互动探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命题方向1⇨集合的基本概念典例1下列各组对象：①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；④eq\r(2)的所有近似值．其中能够组成集合的是__②③__.[思路分析]结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．[解析]①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.『规律方法』1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．〔跟踪练习1〕下列每组对象能否构成一个集合：(1)我国的小城市；(2)某校2019年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．[解析](1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合．命题方向2⇨元素和集合的关系典例2已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．[思路分析]－3是集合的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解．[解析]由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.当x－2＝－3时，x＝－1，把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；当2x2＋5x＝－3时，x＝－eq\f(3,2)或x＝－1(舍去)，当x＝－eq\f(3,2)时，集合的三个元素分别为－eq\f(7,2)，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x＝－eq\f(3,2).『规律方法』解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．〔跟踪练习2〕已知集合A中仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为__0或－1__.[解析]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a的值为0或－1.命题方向3⇨用列举法表示集合典例3用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y＝x－1与y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(4,3)的图象的交点组成的集合．[思路分析](1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1,y＝－\f(2,3)x＋\f(4,3)))→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示．[解析](1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合为{2,4}．(3)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝1,2x＋3y＝4))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,5),y＝\f(2,5))).所求集合为{(eq\f(7,5)，eq\f(2,5))}．『规律方法』1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．〔跟踪练习3〕用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．[解析](1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．命题方向4⇨用描述法表示集合典例4用描述法表示下列集合：(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合；(3)使y＝eq\f(\r(2－x),x)有意义的实数x组成的集合；(4)200以内的正奇数组成的集合；(5)方程x2－5x－6＝0的解组成的集合．[思路分析]用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件．[解析](1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}．(2)第二象限内的点(x，y)满足x<0，且y>0，故集合可表示为{(x，y)|x<0，y>0}．(3)要使该式有意义，需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x≥0,x≠0))，解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}．(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．(5){x|x2－5x－6＝0.}『规律方法』用描述法表示集合应注意的问题1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他对象；2．准确说明集合中元素所满足的特征；3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号；4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系．〔跟踪练习4〕用描述法表示下列集合：(1)大于4的全体奇数组成的集合；(2)二次函数y＝3x2－1图象上的所有点组成的集合；(3)所有的三角形组成的集合．[解析](1)奇数可表示为2k＋1，k∈Z，又因为大于4，故k≥2，故可用描述法表示为{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥2}．(2)点可用实数对表示，故可表示为{(x，y)|y＝3x2－1}．(3){x|x是三角形}．Yeq\o(\s\up7(易混易错警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))忽略集合中元素的互异性典例5设集合A＝{x2，x，xy}、B＝{1，x，y}，若集合A、B所含元素相同，求实数x、y的值．[错解]由A＝B，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝1,xy＝y))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝y,xy＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1)).[错因分析]当x＝1，y∈R时，A＝B＝{1,1，y}，不满足集合元素的互异性，当x＝1，y＝1时，A＝B＝{1,1,1}也不满足元素的互异性，当x＝－1，y＝0，A＝B＝{1，－1,0}，满足题意．[正解]由错解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1)).经检验当取eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))与eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))时不满足集合中元素的互异性，所以x＝－1，y＝0.[点评]在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．Xeq\o(\s\up7(学科核心素养),\s\do5(uekehexinsuyang))解决集合的新定义问题的基本方法集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．典例6当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为__{5}__.[思路分析]准确理解题中给出的新定义，并将其翻译成自然语言是解答此类题的关键．[解析]由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1相伴，1,2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}，故填{5}．『规律方法』解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．Keq\o(\s\up7(课堂达标验收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．下列语句能确定一个集合的是(D)A．充分小的负数全体 B．爱好飞机的一些人C．某班本学期视力较差的同学 D．某校某班某一天的所有课程[解析]由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C，故选D．2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(D)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形[解析]由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D．3．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是(C)A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A[解析]由于集合A中只含有一个元素a，由元素与集合的关系可知，a∈A，故选C．4．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－2y＝－1))的解集是(C)A．{x＝1，y＝1} B．{1}C．{(1,1)} D．{(x，y)|(1,1)}[解析]由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－2y＝－1))，可得3y＝3，解得y＝1，x＝1.故方程组的解集为{(1,1)}，故选C．5．用列举法表示下列集合．(1)A＝{x∈Z|eq\f(6,3－x)∈Z}；(2)B＝{y|y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0}；(3)C＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．[解析](1)要使x，eq\f(6,3－x)是整数，则|3－x|必是6的约数，当x＝－3,0,1,2,4,5,6,9时，|3－x|是6的约数，∴A＝{－3,0,1,2,4,5,6,9}．(2)由y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0，可知0<y≤9.当x＝0，±1，±2时，y＝9,8,5符合题意，∴B＝{5,8,9}．(3)点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝2)).∴C＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．A级基础巩固一、选择题1．(2019·山东金乡县高一期中测试)下列各组对象可以组成集合的是(B)A．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第四象限的一些点D．所有小的正数[解析]由集合的含义，根据集合中元素的确定性，排除A、C、D，故选B．2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(B)A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}[解析]∵x2－2x＋1＝0，∴x＝1，故选B．3．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为(D)A．{1,2}B．{(1,2)}C．{(1,1)，(2,2)}D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}[解析]x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D．4．集合A中含有3个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a的值为(D)A．2 B．4C．6 D．2或4[解析]∵a∈A，A＝{2,4,6}，∴当a＝2时，6－a＝4∈A，当a＝4时，6－a＝2∈A，当a＝6时，6－a＝0∉A，∴a＝2或4，故选D．5．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,2x－3y＝27))的解集是(D)A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－7)) B．{x，y|x＝3且y＝－7}C．{3，－7} D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}[解析]解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,2x－3y＝27))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－7)).用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D．6．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝eq\r(2)＋eq\r(3)，则a与集合A的关系是(A)A．a∈A B．a∉AC．a＝A D．{a}∈A[解析]由于eq\r(2)＋eq\r(3)＜10，所以a∈A，故选A．二、填空题7．用符号∈与∉填空：(1)0__∉__N*；eq\r(3)__∉__Z；0__∈__N；(－1)0__∈__N*；eq\r(3)＋2__∉__Q；eq\f(4,3)__∈__Q.(2)3__∈__{2,3}；3__∉__{(2,3)}；(2,3)__∈__{(2,3)}；(3,2)__∉__{(2,3)}．(3)若a2＝3，则a__∈__R，若a2＝－1，则a__∉__R.[解析](1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±eq\r(3)，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．8．设a，b是非零实数，则eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)可能取的值构成的集合中的元素有__－2,0,2__.[解析]a>0，b>0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(b,b)＝2，a>0，b<0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(－b,b)＝1－1＝0，a<0，b>0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(b,b)＝－1＋1＝0，a<0，b<0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(－b,b)＝－1－1＝－2，∴eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)可能取的值构成的集合中的元素有－2,0,2.三、解答题9．用描述法表示下列集合．(1){2,4,6,8,10,12}；(2){eq\f(1,3)，eq\f(2,4)，eq\f(3,5)，eq\f(4,6)，eq\f(5,7)}；(3)被5除余1的正整数集合；(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(5)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))的解组成的集合．[解析](1){x|x＝2n，n∈N*，n≤6}．(2){x|x＝eq\f(n,n＋2)，n∈N*，n≤5}．(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．(4){(x，y)|xy<0}．(5)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))))))或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝0)))))).B级素养提升一、选择题1．下列集合中，不同于另外三个集合的是(C)A．{x|x＝2019} B．{y|(y－2019)2＝0}C．{x＝2019} D．{2019}[解析]选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2019，都是数集．而选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．2．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是(D)A．矩形 B．平行四边形C．菱形 D．梯形[解析]由于集合中的元素具有“互异性”，故a、b、c、d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(B)A．2 B．3C．0或3 D．0或2或3[解析]因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B．4．已知x，y，z为非零实数，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(D)A．0∉M B．2∈MC．－4∉M D．4∈M[解析]当x>0时，eq\f(x,|x|)＝1，当x<0时，eq\f(x,|x|)＝－1，故当x，y，z全为正时，原式＝4；当x，y，z两正一负时，xyz<0，原式＝0；当x，y，z两负一正时，xyz>0，原式＝0；当x，y，z全为负时，xyz<0，原式＝－4，故M的元素有4,0，－4，∴4∈M.故选D．二、填空题5．用列举法写出集合{eq\f(3,3－x)∈Z|x∈Z}＝__{－3，－1,1,3}__.[解析]∵eq\f(3,3－x)∈Z，x∈Z，∴3－x为3的因数．∴3－x＝±1，或3－x＝±3.∴eq\f(3,3－x)＝±3，或eq\f(3,3－x)＝±1.∴－3，－1,1,3满足题意．6．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为__4__.[解析]当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．三、解答题7．由三个数a，eq\f(b,a)，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2019＋b2019的值．[解析]由a，eq\f(b,a)，1组成一个集合，可知a≠0且a≠1.由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1,a＝a＋b,\f(b,a)＝0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a,a＋b＝1,\f(b,a)＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝0))(舍去)．∴a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.8．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A中只有一个元素，求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．[解析](1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{eq\f(2,3)}，符合题意；当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq\f(9,8)，此时A＝{eq\f(4,3)}，符合题意．综上所述，当a＝0时，A＝{eq\f(2,3)}，当a＝eq\f(9,8)时，A＝{eq\f(4,3)}．(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{eq\f(2,3)}符合题意；当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，则Δ＝9－8a≥0，解得a≤eq\f(9,8)且a≠0.综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤eq\f(9,8).9．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析](1)由于2的倒数为eq\f(1,2)不在集合A中，故集合A不是可倒数集．(2)若a∈A，则必有eq\f(1,a)∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝eq\f(1,a)，即a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，eq\f(1,2)}或{－1,2，eq\f(1,2)}或{1,3，eq\f(1,3)}等．1.1.2集合间的基本关系Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))根据集合的定义，我们知道集合有无数多个，可以用集合来区分事物．如{四足动物}，{两足动物}，{绿色植物}，{菌类植物}，{植物}，{动物}，{汽车}．但有些集合之间有密切的关系．如{四足动物}与{动物}，前一个集合的元素都是后一个集合的元素，且后一个集合元素的个数比前一个集合元素的个数多很多，这两个集合之间的关系如何用简短的数学语言来表达呢？学完本节内容就明白了！Xeq\o(\s\up7(新知导学),\s\do5(inzhidaoxue))1．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用__封闭曲线__的__内部__表示集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念[知识点拨](1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．3．空集(1)定义：不含__任何__元素的集合叫做空集，记为__∅__.(2)规定：__空集__是任何集合的子集．4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC．(3)若A⊆B，A≠B，则AB．Yeq\o(\s\up7(预习自测),\s\do5(uxizice))1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，则有(D)A．M＜N B．M∈NC．N⊆M D．MN[解析]∵1∈{1,2,3}，∴{1}{1,2,3}．故选D．2．下列四个集合中，是空集的为(B)A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}[解析]x>8，且x<5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B．3．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)设集合A＝{x|x＝eq\f(n,2)，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋eq\f(1,2)，n∈Z}，则下列图形能表示集合A与B的关系的是(B)[解析]解法一：对于集合A，其组成元素是eq\f(n,2)，分子部分表示所有的整数；对于集合B，其组成元素是eq\f(1,2)＋n＝eq\f(2n＋1,2)，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，BA．解法二：用列举法表示集合如下：A＝{…，－eq\f(3,2)，－1，－eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，…}，B＝{…，－eq\f(3,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(3,2)，eq\f(5,2)，…}，所以BA．4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝__4__.[解析]因为B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，比较A，B中的元素可知m＝4.5．(2019·吉林榆树一中高一期末测试)已知集合A＝{x|x≤a＋5}，B＝{x|x<－1或x>6}，若A⊆B，求a的取值范围．[解析]∵A⊆B，∴将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．由图可知，a＋5<－1，∴a<－6.Heq\o(\s\up7(互动探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命题方向1⇨集合间关系的判定典例1指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路分析]先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系．[解析](1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB．(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如下图所示，由图可知AB．(4)解法一：两个集合的元素都是正奇数，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.解法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.『规律方法』判断两个集合A，B之间是否存在包含关系有以下几个步骤：第一步：明确集合A，B中元素的特征．第二步：分析集合A，B中元素之间的关系．(1)当集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B．(2)当集合A中的元素都属于集合B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB．(3)当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有A＝B．(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A，B互不包含．〔跟踪练习1〕判断下列各组集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；(3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．[解析](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB．(2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝∅，所以BA．(3)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而CABD．命题方向2⇨确定集合的子集、真子集典例2设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．[思路分析]eq\x(\a\al(用列举法表,示集合A))→eq\x(\a\al(根据子集中所含元,素的个数写出子集))→eq\x(\a\al(从子集中除去集合,A本身即得真子集))[解析]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，由0个元素构成的子集为：∅.由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}．由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}．因此集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．『规律方法』(1)若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集．(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集……一一写出，保证不重不漏．〔跟踪练习2〕满足{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是(C)A．2 B．6C．7 D．8[解析]由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．命题方向3⇨由集合间的关系求参数的值和范围典例3(1)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝__1__；(2)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[思路分析](1)根据子集的定义建立等量关系，注意分类讨论思想的运用；(2)对集合B是否为空集进行讨论，列出有关不等式(组)，进而求出a的取值范围．[解析](1)因为B⊆A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1.当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，满足B⊆A，故m＝1.(2)当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a,a＋3<－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a,2a>4))，解得a<－4或2<a≤3.综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.『规律方法』(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；(2)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；(3)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．〔跟踪练习3〕已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．(1)若B⊆A，则a的取值范围是__a≤3__；(2)若A⊆B，则a的取值范围是__a≥3__；(3)若AB，则a的取值范围是__a>3__；(4)若A＝B，则a的值是__3__.[解析](1)若B⊆A应满足a≤3.(2)若A⊆B应满足a≥3.(3)AB应满足a>3.(4)若A＝B则a＝3.00Yeq\o(\s\up7(易混易错警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))典例4已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．[错解]由题意并结合数轴(如下图)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1,m＋1≥－2,2m－1≤5))，解得2≤m≤3.[错因分析]错解中忽略了B＝∅时的情形．[正解]①当B＝∅时，∅⊆A，符合题意，此时m＋1>2m－1，解得m<2.②当B≠∅时，由题意结合数轴(如下图)．得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1,m＋1≥－2,2m－1≤5))，解得2≤m≤3.综合上可知m的取值范围是m≤3.『规律方法』空集是一种特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，当B⊆A时，B为空集的情况容易被忽略，因此，当条件不明确时，要注意分情况讨论，本题中若不考虑B为空集的情况，将会丢掉m<2这一部分解．Xeq\o(\s\up7(学科核心素养),\s\do5(uekehexinsuyang))分类讨论思想的应用分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．典例5已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．[思路分析]根据集合相等的定义和集合元素的互异性求解．由于A＝B，元素a在两个集合中都有，故其余两个元素的情况需分类讨论．[解析]①若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ac,a＋2b＝ac2))，消去b得a＋ac2－2ac＝0，即a(c2－2c＋1)＝0，当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1.当c＝1时，集合B中的三个元素也相同，∴c＝1舍去，即此时无解．②若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ac2,a＋2b＝ac))，消去b得2ac2－ac－a＝0，即a(2c2－c－1)＝0，∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.又∵c≠1，∴c＝－eq\f(1,2).当c＝－eq\f(1,2)时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(1,4)a,a＋2b＝－\f(1,2)a))，∴b＝－eq\f(3,4)a，∴A＝{a，eq\f(1,4)a，－eq\f(1,2)a}，B＝{a，eq\f(1,4)a，－eq\f(1,2)a}，∴A＝B．综上可知c＝－eq\f(1,2).『规律方法』1.两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．Keq\o(\s\up7(课堂达标验收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2⊆A；②{－2}∈A；③∅⊆A；④{－2,2}＝A；⑤－2∈A．则上列式子表示正确的有(C)A．1个 B．2个C．3个 D．4个[解析]∵集合A＝{－2,2}，故③④⑤正确．2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则(A)A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3[解析]由题意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－b,1×2＝c))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－3,c＝2)).3．(2019·吉林榆树一中高一期末测试)已知集合A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,8}，C＝{1,3,8,9}，则集合A可以是(A)A．{1,8} B．{2,3}C．{0} D．{9}[解析]∵A⊆B，A⊆C，∴集合A中的元素既是集合B的元素又是集合C的元素，∴集合A可以是集合{1,8}，故选A．4．满足{1}A{1,2,3}的集合A是__{1,2}或{1,3}__.[解析]∵{1}A，∴1∈A，又∵A{1,2,3}，∴2∈A时，3∉A,3∈A时，2∉A，∴A＝{1,2}或{1,3}．5．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，求实数a的值．[解析]A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，∵B⊆A，∴当B＝∅时，a＝0，当B≠∅时，B＝{x|x＝eq\f(1,a)}，∴eq\f(1,a)＝－1或eq\f(1,a)＝1，∴a＝－1或a＝1.综上可知，实数a的值是a＝0，a＝－1或a＝1.A级基础巩固一、选择题1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有(C)A．M⊆N B．M∈NC．N⊆M D．M＝N[解析]∵M＝{菱形}，N＝{正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N⊆M.2．下列四个集合中是空集的是(B)A．{∅} B．{x∈R|x2＋1＝0}C．{x|1<x<2} D．{x|x2＋2x＋1＝0}[解析]方程x2＋1＝0无实数解，∴集合{x∈R|x2＋1＝0}为空集，故选B．3．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集个数是(C)A．5 B．6C．7 D．8[解析]A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集个数为7，故选C．4．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(C)A．2 B．－1C．2或－1 D．4[解析]∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2.5．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有(D)A．3个 B．4个C．5个 D．6个[解析]集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．6．设A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|x>a}，若AB，则a的取值范围是(B)A．{a|a≥3} B．{a|a≤－1}C．{a|a>3} D．{a|a<－1}[解析]由AB，画出数轴如图可求得a≤－1，注意端点能否取得－1是正确求解的关键．二、填空题7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是__{(1,2)}，{(－3,4)}__.[解析]集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．8．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|eq\f(y,x)＝1}，则A，B的关系是__BA__.[解析]∵B＝{(x，y)|eq\f(y,x)＝1}＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，∴BA．三、解答题9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．[解析]∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．B级素养提升一、选择题1．已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|x－5<0}，则P与Q的关系为(A)A．PQ B．QPC．P＝Q D．不确定[解析]∵Q＝{x|x－5<0}＝{x|x<5}，∴利用数轴判断P、Q的关系．如图所示，由数轴可知，PQ.2．已知集合A＝{x|1<x<2019}，B＝{x|x≤a}，若AB，则实数a的取值范围是(A)A．a≥2019 B．a>2019C．a≥1 D．a>1[解析]∵AB，故将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．由图可知，a≥2019，故选A．3．集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))，则下列结论中正确的是(B)A．1∈A B．B⊆AC．(1,1)⊆B D．∅∈A[解析]B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))＝{(1,1)}，又点(1,1)在直线y＝x上，故选B．4．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为(D)A．7 B．12C．32 D．64[解析]集合P*Q的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P*Q的子集个数为26＝64.二、填空题5．已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是__m≥1__.[解析]∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1.6．已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝__0或2或－1__.[解析]由B⊆A得m∈A，所以m＝m3或m＝2，所以m＝2或m＝－1或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m＝0或2或－1.三、解答题7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，求a的值．[解析]∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.(1)当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，符合题意．(2)当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不符合题意．综上所述，a＝－1或a＝2.8．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅且B⊆A，求实数a、b的值．[解析]∵B中元素是关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根，且B⊆{－1,1}，∴关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}⊆A＝{－1,1}，且B≠∅，∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．当B＝{－1}时，Δ＝4a2－4b＝0且1＋2a＋b＝0，解得a＝－1，b＝1.当B＝{1}时，Δ＝4a2－4b＝0且1－2a＋b＝0，解得a＝b＝1.当B＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a，(－1)×1＝b，解得a＝0，b＝－1.9．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解析]∵B⊆A，∴当B＝∅时，a>2a－1，∴a<1，当B≠∅时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>3,a≤2a－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1<－2,a≤2a－1))，解得a>3.综上可知实数a的取值范围是a<1或a>3.1.1.3集合的基本运算第一课时并集和交集Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了．Xeq\o(\s\up7(新知导学),\s\do5(inzhidaoxue))1．并集和交集的定义定义并集交集自然语言一般地，由所有属于集合A__或__集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作__A∪B__一般地，由属于集合A__且__属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作__A∩B__符号语言A∪B＝{x|__x∈A__，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且__x∈B__}图形语言[知识点拨](1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．2．并集和交集的性质并集交集简单性质A∪A＝__A__；A∪∅＝__A__A∩A＝__A__；A∩∅＝__∅__常用结论A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆BA∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆AYeq\o(\s\up7(预习自测),\s\do5(uxizice))1．(2019·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(A)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}[解析]∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故选A．2．(2019·江苏宿迁市高一期末测试)设集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，则M∪N＝(D)A．{0,1,2} B．{2}C．{2,4} D．{0,1,2,4}[解析]M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．3．(2019·全国卷Ⅰ理，1)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(C)A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}[解析]N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－4<x<2}∩{x|－2<x<3}＝{x|－2<x<2}，故选C．4．(2019·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝__{1,6}__.[解析]A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝__3__.[解析]因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.Heq\o(\s\up7(互动探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命题方向1⇨并集的概念及运算典例1(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；(2)设集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求A∪B．[思路分析]第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．[解析](1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)画出数轴如图所示：∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．『规律方法』并集运算应注意的问题(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．〔跟踪练习1〕(1)(2019·江西宜丰中学高一检测)已知集合A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|－1≤x<3}，则A∪B＝(A)A．{x|－2<x<3} B．{x|1≤x<2}C．{x|－2<x≤1} D．{x|2<x<3}(2)(2019·山东潍坊市高一期末测试)满足条件M∪{a}＝{a，b}的集合M的个数是(C)A．4 B．3C．2 D．1[解析](1)A∪B＝{x|－2<x<2}∪{x|－1≤x<3}＝{x|－2<x<3}．(2)∵M∪{a}＝{a，b}，∴M＝{b}或M＝{a，b}，故选C．命题方向2⇨交集的概念及其运算典例2(1)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}则M∩N＝(B)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{1} D．{0}(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于(D)A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝__{(1,2)}__.[思路分析](1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助数轴求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A、B的交集即为方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))的解集．[解析](1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故选B．(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故选D．(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))))))＝{(1,2)}．『规律方法』求集合A∩B的方法与步骤(1)步骤①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式；③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．〔跟踪练习2〕(1)(2019·天津和平区高一期中测试)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B等于(A)A．{1,3} B．{2,4}C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}(2)(2019·广州荔湾区高一期末测试)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝(D)A．{－3,1} B．{0,1}C．{1,5} D．{1,3}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，∴A∩B＝{1,3}，故选A．(2)∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．命题方向3⇨集合交集、并集运算的性质及应用典例3已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝__－14__.[思路分析]－2是不是方程x2－px－2＝0的根？怎样确定集合B?[解析]∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，∴A＝{1，－2}，∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}，∴q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，∴p＋q＋r＝－14.『规律方法』利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．(2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解．〔跟踪练习3〕已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}．(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．[解析]由已知得M＝{2}，(1)当m＝2时，N＝{1,2}，所以M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．(2)若M∩N＝M，则M⊆N，∴2∈N，所以4－6＋m＝0，m＝2.Yeq\o(\s\up7(易混易错警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))集合运算时忽略空集致错典例4集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，求a的取值范围．[错解]由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴1∈B，或者2∈B，∴a＝2或a＝1.[错因分析]A∩B＝B⇔A⊇B．而B是二次方程的解集，它可能为空集，如果B不为空集，它可能是A的真子集，也可以等于A．[思路分析]A∩B＝B，B可能为空集，千万不要忘记．[正解]由题意，得A＝{1,2}，∵A∩B＝B，当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意；当1∈B且2∈B时，此时a无解．综上所述，a≥2.Xeq\o(\s\up7(学科核心素养),\s\do5(uekehexinsuyang))数形结合思想的应用对于和实数集有关的集合的交集、并集等运算问题，常借助于数轴将集合语言转化为图形语言，或借助Venn图，通过数形结合可直观、形象地看出其解集．典例5已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围．[思路分析]先将A∪B＝A等价转化，再借助于数轴直观表达A、B之间的关系，列出关于m的不等式组，解不等式组得到m的取值范围．[解析]∵A∪B＝A，∴B⊆A．∵A＝{x|0≤x≤4}≠∅，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，有m＋1>1－m，解得m>0.当B≠∅时，用数轴表示集合A和B，如图所示，∵B⊆A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤1－m,0≤m＋1,1－m≤4))，解得－1≤m≤0.检验知m＝－1，m＝0符合题意．综上可得，实数m的取值范围是m>0或－1≤m≤0，即m≥－1.『规律方法』求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．Keq\o(\s\up7(课堂达标验收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)若集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝(B)A．{x|1<x<2} B．{x|－1<x<3}C．{x|－1<x<2} D．{x|1<x<3}[解析]A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．2．设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是(C)A．{2,4,6} B．{1,3,6}C．{1,2,3,4,6} D．{6}[解析]图中阴影表示A∪B，又因为A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故选C．3．(2019·天津文，1)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(D)A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}[解析]∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，故选D．4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__a≤1__.[解析]利用数轴画图解题．要使A∪B＝R，则a≤1.5．设集合A＝{a2，－3,9}，B＝{4，－3,8}，若A∩B＝{4，－3}，求实数a的值．[解析]∵A∩B＝{4，－3}，∴4∈A．∴a2＝4，a＝±2.∴实数a的值为±2.A级基础巩固一、选择题1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B．其中正确的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①不正确，②③④正确，故选C．2．(2019·大连市高一期末测试)设集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则正确的是(D)A．A∩B＝{1,3,4} B．A∪B＝{2,3,4}C．{1}∈A D．1∈A[解析]A∩B＝{1,2}∩{2,3,4}＝{2}，A∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，排除A，B；∵1∈A，故选D．3．(2018·北京文，1)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝(A)A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}[解析]A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，A∩B＝{x|－2<x<2}∩{－2,0,1,2}＝{0,1}．4．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝(D)A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[解析]A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D．5．(2019·全国卷Ⅱ理，1)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(A)A．{x|x<1} B．{x|－2<x<1}C．{x|－3<x<－1} D．{x|x>3}[解析]∵A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|(x－2)(x－3)>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．∴A∩B＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}，故选A．6．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝(D)A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝4))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))，∴M∩N＝{(3，－1)}，故选D．二、填空题7．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0<x≤1}，则M∪N＝__{x|0≤x≤1}__.[解析]∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．8．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝__2__.[解析]∵A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，A∩B＝{2}，∴a＝2.三、解答题9．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a的值．[解析]∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B．∵a2＋1≠－3