新教材高中数学必修第一册5 .4 三角函数的图象与性质

5.4三角函数的图象与性质

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象

【学习目标】1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图

象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一正弦函数的图象

1.正弦曲线的定义

正弦函数》=$m尤，尤GR的图象叫正弦曲线.

2.正弦函数图象的画法

⑴几何法：

①利用单位圆上点T（xo,sinxo）画出y=sinx,尤G［0,2兀］的图象；

②将图象向左、向右平行移动（每次2兀个单位长度）.

（2）五点法:

①画出正弦曲线在［0,2兀］上的图象的五个关键点包2，住1），（兀，0），卷—1），（2兀，0）,

用光滑的曲线连接；

②将所得图象向左、向右平行移动（每次2兀个单位长度）.

思考为什么把》=$抽.［0,2兀］的图象向左、向右平移2兀的整数倍个单位长度后图象形

状不变？

答案由公式sin（x+2E）=sinx,%£Z可得.

知识点二余弦函数的图象

1.余弦曲线的定义

余弦函数〉=85%，x£R的图象叫余弦曲线.

1y=cosx,xER

-4TT-37T-27r_2L-1TT31T5P7TT

2W丁工

2.余弦函数图象的画法

（1）要得到y=cosx的图象，只需把y=sinx的图象向左平移微个单位长度即可，这是由于

⑵用“五点法”：画余弦曲线y=cosx在［0,2n］上的图象时，所取的五个关键点分别为近1）,

俘0）,fa,-1）,（苧，0）,（2K,1）,再用光滑的曲线连接.

■思考辨析判断正误

1.正弦函数的图象向左右是无限伸展的.（V）

2.正弦函数y=sin%的图象在［2攵兀，24兀+2兀］,（左£Z）上的图象形状相同，只是位置不

同.（J）

IT

3.函数y=sinx的图象向右平移/个单位得到函数y=cosx的图象.（X）

4.函数y=cosx的图象关于x轴对称.（X）

题型探究探究重点素养提升

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一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识

例1（1）下列叙述正确的个数为（）

©y=sinx,［0,2兀］的图象关于点P（兀，0）成中心对称;

［0,2兀］的图象关于直线x=n成轴对称；

③正、余弦函数的图象不超过直线y=l和y：—1所夹的范围.

A.0B.1个C.2个D.3个

答案D

解析分别画出函数y=sinx,尤e［0,2兀］和ycos尤，Xd［0,2兀］的图象，由图象（略）观察可知

①②③均正确.

（2）函数y=sin|x|的图象是（）

答案B

fsinx,

解析y=sin|x|=，结合选项可知选B.

[—sinx,尤＜0,

反思感悟解决正、余弦函数图象的注意点

对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同,

只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.

跟踪训练1关于三角函数的图象，有下列说法：

©y=sinx+l.l的图象与x轴有无限多个公共点；

②y=cos(—了)与y=cos|x|的图象相同；

③y=|sinx|与y=sin(一尤)的图象关于x轴对称；

@y=cosx与y=cos(—x)的图象关于y轴对称.

其中正确的序号是.

答案②④

解析对②，y=cos(—x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其图象相同；

对④，y=cos(—x)=cosx,故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确.

二、用“五点法”作简图

例2用“五点法”作出下列函数的简图：

(l)y=sinx—1,尤6[0,2兀];

(2)y=2+cosx,尤e[0,2兀].

解⑴列表：

三3兀

X0712兀

2~2

sinx010-10

sinx—1-10-1-2-1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图.

(2)列表:

匹3兀

X0712兀

2~2

cosX10-101

2+cosx32123

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图.

反思感悟作形如y=〃sinx+b(或y=〃cosx+b),［0,2兀］的图象的三个步骤

I列表上在［O,2n］内先分别找出确定所求函数图象的五

个关键点；在表中列出相应的五点的坐标

根据所列出的五个关键点的坐标，在坐标系中描

|描点卜

出相应的点

r—«—I用平滑的曲线将所描出的五个关键点连接起来,

I连线L便得到所求函数的图象

跟踪训练2利用“五点法”作出函数y=l—sinx(0W%W2兀)的简图.

解(1)取值列表:

7C3兀

X0712兀

2~2

sinx010-10

1—sinx10121

⑵描点连线，如图所示.

三、正弦(余弦)函数图象的应用

例3利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合.

(l)sin%2；；(2)cos

解(1)作出正弦函数y=sinx,］£［0,2兀］的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x

71571

的集合为4+2%兀，d+2左兀，fcez.

y=sinx,xG[0,2TT]

(2)作出余弦函数y=cosx,xe［0,2兀］的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集

兀5兀

合为g+2E,-y+2^71,女£Z.

反思感悟用三角函数图象解三角不等式的步骤

⑴作出相应的正弦函数或余弦函数在［0,2同上的图象；

(2)写出不等式在区间［0,2句上的解集；

(3)根据公式一写出定义域内的解集.

跟踪训练3在［0,2兀］上，使cosxW一；成立的x的取值集合为

答案X

解析画出y=cosx在［0,2兀］上的简图，如图所示.

由于COSX=­1时,

I127r4

由图象可知，在［0,2兀］上，使cosxW-］成立的角x的取值集合为同不忘尤・了

-核心素养之直观想象•

根据函数图象求范围

典例函数兀r)=sinx+2|sinx|,xe［0,2兀］的图象与直线>=上有且仅有两个不同的交点，则上

的取值范围是.

答案(1,3)

解析用数形结合法判断k的取值范围.

[3sinx,OWxW兀，

.I.图象如下图所示.

L-sinx,兀27t.

结合图象可知l<k<3.

［素养提升］关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象

交点的个数问题来解决.

随堂演练基础巩固学以致用

Jr37r

1.函数〉=一sinx,尤e［一耳］的简图是（）

答案D

解析函数y=—sinx与y=sinx的图象关于x轴对称，故选D.

2.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx,xG［0,2兀］与y=sin尤，尤€［2%，4同的图象（）

A.重合

B.形状相同，位置不同

C.关于y轴对称

D.形状不同，位置不同

答案B

解析根据正弦曲线的作法可知函数>=$111尤，尤G［0,2兀］与y=sinx,尤02兀，4兀］的图象只是

位置不同，形状相同.

3.用“五点法”画函数y=2—3sinx的图象时，首先应描出五点的横坐标是（）

itit3nit3兀〜

A.0，4，2，4，兀B.0，2，兀,2，2兀

7171712兀

C.0,7iJ2兀,3兀,47rD.0,$，3，2，3

答案B

解析所描出的五点的横坐标与函数尸sinx的五点的横坐标相同，即0,I，兀，y,2兀，

故选B.

4.不等式cosx<0,［0,2兀］的解集为

解析由函数y=cosx的图象可知，不等式cos*：。，xG[0,2同的解集为《，号).

5.函数y=cosx,XG[0,2TI]的图象与直线y=一：的交点有个.

答案2

解析作〉=35彳，xG[0,2无]的图象及直线y=—[(图略)，知两函数图象有两个交点.

■课堂小结

1.知识清单：

(1)通过单位圆画正弦函数图象；

(2)通过平移得余弦函数的图象；

(3)五点法作图；

(4)函数图象的应用.

2.方法归纳：数形结合.

3.常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象.

课时对点练注重双基强化落实

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X基础巩固

1.用五点法画y=3sinx,xd[0,2兀]的图象时，下列哪个点不是关键点()

答案A

解析五个关键点的横坐标依次是0,I，兀，y,2兀.

2.函数y=sin(—x),尤6[0,2兀]的简图是()

答案B

解析由y=sin(一九)=—sinx可知，其图象和y=sinx的图象关于x轴对称.

3.函数y=l+sinx,。2兀］的图象与直线y=2交点的个数是（

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析由函数y=l+sinx,［0,2兀］的图象（如图所示），

可知其与直线y=2只有1个交点.

4.在［0,2兀］内，不等式sin%v—V的解集是（）

A.（0,兀）B.（j,yjC.gyjD.g2可

答案c

解析画出y=sin%,元W［0,2兀］的草图如下.

即在［0,2兀］内，满足sinx=一坐的％=与或中.

可知不等式sinx一坐的解集是俘笺）.故选C.

5.如图中的曲线对应的函数解析式是（）

答案C

解析排除法，可知C正确.

6.用“五点法”画出y=2sinx在［0,2兀］内的图象时，应取的五个点为

答案（0,0）,（冬2）,（兀，0）,（苧，-2）,（2兀，0）

解析可结合函数y=sinx的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的

2倍即可.

7.函数y=cosx+4,XG[0,2TI]的图象与直线y=4的交点的坐标为.

答案便4俘S

[y=cosx+4,

解析由j得cosx=0,

当兀£[0,2兀]时，或竽，

,交点为《，4）,（苧，4）.

8.函数y=Jlog；sin犬的定义域是.

答案{x\2kn<x<2kji+7i,kGZ}

解析由logisinx20知0<sinxW1,

2

由正弦函数图象（图略）知2左兀<%<2航+兀，kRZ.

9.用“五点法”作下列函数的简图.

(l)y=3sin%(%£[0,2兀])；

(2)y=sin^x-71部•

T

解⑴列表如下:

匹3兀

0兀2兀

X2~2

3sinx030-30

描点连线如图:

-y

（2）列表如下:

匹3兀5兀

2兀

X271T~2

010-10

描点连线如图:

10.根据y=cosx的图象解不等式：一坐x£［0,2兀］.

解函数y=cosx,［0,2兀］的图象如图所示：

根据图象可得不等式的解集为卜,或普4W竽j.

口综合运用

11.如图所示，函数y=cosx|tanx|（0Wx〈学且xW?的图象是（

答案c

解析当OWxv/时，y=cosx-1tanx\=sinx；

兀

当］兀时，y=cosx・|tanx|=-sinx；

3兀

当兀-时，y=cosx-|tanx|=sinx,

故其图象为C.

12.方程sinx=云的根的个数是（）

A.7B.8C.9D.10

答案A

Y

解析在同一坐标系内画出和y=sinx的图象如图所示.

根据图象可知方程有7个根.

13.函数y=2cosx,[0,2兀]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是.

答案4兀

解析如图所示，将余弦函数的图象在1轴下方的部分补到x