高中数学1课时作业40

课时作业（四十）

A级基础达标

1.（2021.豫南豫北精英对抗赛）在四面体ABCQ中，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=

小,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）

A虚B星C也D-巫

八.3D.4J4口，4

B［取80的中点。，连A。，0C,由CA=CB=CQ=BC=2,AB=AD=小,

AO±BD,CO±BD,且。C=小，AO=1.在△AOC中，AC^nAOZ+oc2,故AO-L

0C,又知B£）nOC=。，因此AO-L平面BCD,以OB,OC,04所在直线分别为x轴，y

轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A（0,0』），

8（1,0,0,）,C（0,小，0）,0（-1,0,0）,

.•.b=（i,o,-I）,cb=（-i,一小,0）,

设异面直线AB与CD所成角为0,

|A8CD|1也

则

cos6=|AB||cb|=V2xVT+34，

即异面直线A8与C£）所成南的余弦值为由,

故选B.]

2.在正方体A8CD-4&GA中，点E为8B|的中点，则平面4ED与平面A8CO所成

的锐二面角的余弦值为（）

B[选B.以4为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

设棱长为1,则4(0,0,1),£(1,0,。(0,1,0),所以G)=(0,l,-1),

0,

设平面4EQ的一个法向量为"1=(1,y,z),

m-AJ)=0,'~一°,Jy=2,

则j即j1所以J

“•族=0,［》一于=0,〔z=2.

所以m=(1,2,2).

又平面ABCD的一个法向量为n2=(O,O,l).

22

所以COS</1|,〃2〉

2

即平面AiED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为不］

3.将边长为1的正方形A4。。(及其内部)绕OOi旋转一周形成圆柱,如图，AC长为空,

A由1长为?其中田与C在平面44。。的同侧.则异面直线8c与A4所成的角的大小

B［以0为坐标原点建系如图,

1),《孚，~1,0).所以筋1=(0,0,1),枇=(0,-

1,—1),

所以cos〈441,B\C)=

而枇0X0型X(-1)+1X(二)1__^2

|A4i|m1X^/02+(-l)2+(-l)22'

所以〈/芮，BiC>=竽，所以异面直线81c与AAi所成的角为;.故选B.］

4.在直三棱柱ABC-4BiG中，底面是等腰直角三角形，N4CB=90。，侧棱A4=2,

D、E分别是CG与AiB的中点，点E在平面A3。上的射影是△ABO的重心G,则A|B与

平面所成角的余弦值为()

以C为坐标原点，C4所在直线为x轴，C8所在直线为)，轴，CG所在直线为z轴建立

空间直角坐标系C-xyz,设CA=CB=a(a>0),则A(a,0,0),8(0,a,0),4(a,0,2),D(0,0,D,

又：G为△A8O的重心，

.飞,*

易得GE=。f,I),

ib=(o,-«,i).

•.•点E在面ABD上的射影是△48。的重心G,

：.GE±面ABD.

：.GEBi)=0,解得a=2.

，GE=(J,3,D，防=(2,-2,2).

走L面AB。,

...GZ为面AB。的一个法向量,

设A12与面A3。所成角为0,

.".sin/7=|cos(GE,BAt)|

|G£l|BAi|

4_

3V2.亚

—巫_3,..cos-3.

,X2小

.♦.A山与平面所成角的余弦值为坐，故选B.]

5.如图，在直三棱柱ABCAIBIG中，NAC8=9()o,2AC=A4i=BC=2.若二面角Bi-DC-Ci

的大小为60。，则AD的长为.

以C为坐标原点，CA,CB,CG所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系,则C(0,0,0),A(1,0,0),Bi(0,2,2),G(0,0,2),

设AZ)=a,则。点坐标为(1,0,a),CD=(l,0,a),函=(0,2,2),

设平面B\CD的一个法向量为w=(x,y,z).

一[2y+2z=0,

则由机(0=0,mCBi=0f得到

[x+az=0f

取z=-i,所以，—i),又平面Coe的一个法向量为〃=(o/,o),

由cos60。=|得/|即。=陋.

Rn|-|n|y］a2+22

所以A£>=啦.

［答案］也

6.已知正四棱柱A8CD-48iG£)i中，AB=1,/L4i=2,点E为CG的中点，则点。।

到平面BDE的距离为

DC,所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐

标系,

则£>(0,0,0),5(1,1,0),Di(0,0,2),E(0,1,1),连接£>山，所以加=(1,1,0),5k=(0,1,1),

_»n-DB=0,[x+y=0,

2Di=(-l,—1,2),设”=(x,y,z)是平面8OE的法向量，所以有彳即

〔〃疣=0,〔)'+z=°，

令x=l,则y=—1,z=l,所以平面3OE的一个法向量为〃=(1,—1,1),则点到平面

BDE的距离&=噜且=¥.

解法二：连接。山、DiE,由题意可知BCJL平面。UE,设点。1到平面BOE的距离为

X2X1X1

,1A„SADiDbBC22

h,由VD「BDE=VB-DDiE得aSABDEh=^SADiDEBC,即h=-----------=;--------

33s.三义取嘘小

_2y［3

~3，

...点D\到平面BDE的距离为芈.

［答案］¥

7.如图，在四棱柱P-A8C力中，平面A8CO,底面A8CC是菱形，4B=2,NBAD

=60°.

(1)求证：8。_1_平面PAC-,

(2)若%=AB,求PB与AC所成角的余弦值.

［解］⑴证明因为四边形ABC。是菱形，

p

所以4c_LBD

因为%JL平面4BC£>,所以以JL3D

又因为所以8OJ•平面B4C.

(2)设ACCBO=O.

因为NBA£>=60。，PA=AB=2,

所以BO=1,AO=CO=y［3.

如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz,

则尸(0,一小，2),A(0,—小，0),

8(1,0,0),C(0,小,0).

所以而=(1,小，-2),AC=(0,2^3,0).

设尸8与AC所成角为。，则

丽.辰'6V6

侬肃=^^=4.

即PB与AC所成角的余弦值为坐

8.(2021.成都第一次诊断性检测)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,

兀,

AABC=yB4JL平面A8C£>,点M是棱PC的中点.

(1)证明：以〃平面8WD；

⑵当出=小时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值.

［解］⑴证明：如图1,

图1

连接AC交HD于点O,连接MO.

,：M,。分别为PC,AC的中点,

：.PA//MO.

平面BMD,

MOU平面BMD,

,以〃平面BMD.

(2)如图2,取线段BC的中点H,连接AH.

Pl

图2

■JT

四边形ABCD为菱形，^ABC=y

：.AH±AD.

以A为坐标原点，分别以AH,AD,AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直南

坐标系A-xyz,

则40,0,0）,B（小,-1,0）,C（小，1,0）,

P（0,0,立）,M坐叫，

1

21

证=(0,2,0),PC=(y[3,1,一小).

设平面PBC的法向番为m=(x,y,z),

m-BC=012y=0

由V，得〈Lr

jn.PC=0〔小x+厂小z=0

取z=1,

・・・/=（1,0,1）为平面PBC的一个法向量.

设直线AM与平面PBC所成的角为8,

Asin0=|cos</n,AM〉|=

必说」乎xi+；xo+坐Xl[@

直线A/W与平面PBC所成角的正弦值为华.

B级能力提升

9.（2021•惠州模拟）在正方体ABCO-ABiGOi中，P为正方形AICQi四边上的动点，O

为底面正方形ABC。的中心，M,N分别为48,BC的中点，点。为平面A8C£>内一点，

线段。I。与OP互相平分，求满足瓶=2曲的实数7的个数（）

A.1B.2C.3D.4

B[建立如图的空间直角坐标系,

4MB

设正方体的棱长为2,则P(x,y,2),0(1,1,0),所以OP的中点坐标为(4］，审，1)，

又知。1(0,0,2),所以Q(x+1,y+1,0),而。在MN上，所以必+%=3,所以x+y=l,即

点P坐标满足x+y=l.所以有2个符合题意的点P,即对应有2个％］

10.(2021.湖南长沙模拟考试)已知三棱锥A-BCD中，底面BCO为等边三角形，AB=

AC=AD=3,BC=2小,点E为CD的中点，点尸为BE的中点.若点M,N是空间中的两

动点，且NF=2，MN=2,则4M,AN=()

A.3B.4C.6D.8

B[

点。是△BCD的中心，也是点A在底面BCD上的射影，AE=\jAC2-CE2=yj6,AO=

.不妨平面化,在平面BCD中，以E为坐标原点，BE所在直线为x轴，CD

所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则8(—3,0),F(-1,0),设M(x,y),由黑=2,可

得(犬+1)2+产=1,同理，在平面ABE内亦如此，所以点M,N在以。为球心，1为半径的

球面上，又MN=2,所以MN是球的直径，所以俞•俞=(前+丽・(n+而=最)2一丽

』4.故选B.］

11.如图，在棱长为2的正方体ABCQ-AIBCQI中，E为3C的中点，点P在线段。点

上，点P到直线CG的距离的最小值为.

［解析］法一：如图，建立空间直角坐标系£)-xyz,

则。1(002),£(1,2,0),

B

EDi=(-l,-2,2).

设尸(x,y,z),EP=AED\,AGIO,1],

则赤=(x-l,y~2,z).

所以(x—1,y~2,z)=2(—1,—2,2).

解得x=l—2,y=2-2z,z=22.

P(l-2,2-2A,22).

设点P在直线CCi上的垂足为Q,得Q(0,2,22),

法二:取囱法的中点Ei,连接。1昂，E\E,

则CG〃平面D\EE\.

所以点P到直线CCi的距离的最小值即为CCi与平面DiEEi的距离.过点G作CtF±

"Ei于广，线段G尸的长即为所求.在直角△GAB中，CiF=孚.

［答案］¥

12.(2021福建五校联考)如图，是一个半圆柱与多面体AB8AC构成的几何体，平面ABC

与半圆柱的下底面共面，S.AC1.BC,P为回4上的动点(不与8”4重合).

(1)证明：平面PBBi；

⑵若四边形ABBAi为正方形，S.AC=BC,求二面角P-AB-C的余弦值.

［解］⑴证明在半圆柱中，BBJ平面力1S,所以

因为是上底面对皮圆的直径，所以以

因为PBICIBBLBI,PBiU平面PBBi,BBC平面PBBi,

所以以|_1_平面PBBi.

(2)根据题意，以C为坐标原点建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示，

设C8=l,则C(0,0,0),4(0,1,y[2),3(1,0,啦),

所以Ei=(0,l,y[2),无i=(l,0,<2).

平面PA\B\的一个法向量ni=(0,0,l).

设平面C4iBi的法向量为n2=(x,y,z),

y+y[2z=0

则

..x+yl2z=0

令z=l,则x=一也，y=—也，所以可取“2=(一啦，—5，1),

所以cos<m,“2〉=］［小=坐.

由图可知二面南P-Ai5-C为钝角，所以所求二面角的余弦值为一杀

13.(2021.江西七校第一次联考)如图，正三棱柱4BC-4SG的底面边长是2,侧楼长

是小

(1)求二面角A}-BD-A的大小.

(2)在线段44上是否存在一点E,使得平面SGEJ_平面AiBD?若存在，求出AE的

长；若不存在，说明理由.

［解］(1)如图，作C0J_A8于0,所以CO-L平面AB8A,

所以在正三棱柱ABC-AIBIG中，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

因为AB=2,4A=小，。是AC的中点，

所以41,0,0),一一1,0,0),C(0,0,回AQ,邓,0),

所以D

防=(|,0,

扇产(2,小，0).

设〃=(x,y9z)是平面A］8£)的法向量,

〃，BD=O

则.

,n&4i=0

.2x+y[3y=0

令x=一小，则y=2,z=3,

所以"=（一小，2,3）是平面48。的一个法向量.

由题意可知筋i=（0,小，0）是平面48。的一个法向量.

•".cos〈心s\up6（f））,A4i>=多扇i,|”,\s\up6（f））|国

由题意知二面角A}-BD-A为锐角，

TT

所以其大小为

（2）由题意知。（0,小,小）,B（-l,事,0）,

设E（l,xo,0）,则丽=（1,出一小,一小），GBi=（-l,0,一小）,

设平面BiGE的法向量为m=（即，y\9zi）

则错误!错误!=0））,

xi+(xo-y/3)yi-\f3z\=0

即

-x\—y]3z\=0

令z[=-瓜

则xi=3,yi=~r^一,

Y3-xo

.'.m=（3,小）.,一小）为平面BiGE的一个法向量.