模糊模式识别讲义

第九讲模糊模式识别模糊数学的根底知识1、集合及其特征函数：〔1〕集合：论域E中具有性质P的元素组成的总体称为集合。〔2〕集合的运算：集合的常用运算包括：交〔∩〕、并〔∪〕、补〔3〕特征函数：对于论域E上的集合A和元素x，如有以下函数：特征函数表达了元素x对集合A的隶属程度可以用集合来表达各种概念的精确数学定义和各种事物的性质2、模糊集合〔1〕概念的模糊性：许多概念集合具有模糊性，例如：成绩：好、差身高：高、矮年龄：年轻、年老 头发：秃、不秃隶属度函数：如果一个集合的特征函数μA(x)不是{0,1}二值取值，而是在闭区间[0，1]中取值，那么μA(x)是表示一个对象x隶属于集合A的程度的函数，称为隶属度函数。隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性。扎德L.A.Zadeh(1921～)

美国控制论专家，美国工程科学院院士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授。因开展模糊集理论的先驱性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋章。1965年，扎德在《信息与控制》杂志第8期上发表《模糊集》的论文,开创了以精确数学方法研究模糊概念的模糊数学领域。〔3〕模糊子集：设集合A是集合U的一个子集，如对于任意U中的元素x，用隶属度函数μA(x)来表示x对A的隶属程度，那么称A是U的一个模糊子集，记为：A={μA(xi),xi}模糊子集可以用下式表示：x1,x2,…,xn称为模糊子集A的支持点〔4〕模糊集合的根本运算：交集：并集：补集：模糊矩阵的乘积：C=A×B，Cij=∨(aik∧bkj)；3、模糊集合的α水平截集模糊子集本身没有确定边界，其水平截集有确定边界，并且不再是模糊集合，而是一个确定集合。例：年龄的取值集合为U={50岁,45岁,40岁,35岁,30岁,25岁}模糊集“年青”可表示为：A=0/50岁+0.1/45岁+0.3/40岁+0.5/35岁+0.9/30岁+1/25岁A的不同的水平截集为：α=0，A0={50岁，45岁,40岁,35岁,30岁,25岁}α=0.1，A0.1={45岁,40岁,35岁,30岁,25岁}α=0.2，A0.2={40岁,35岁,30岁,25岁}α=0.3，A0.3={40岁,35岁,30岁,25岁}α=0.5，A0.5={35岁,30岁,25岁}α=0.7，A0.7={30岁,25岁}α=0.9，A0.9={30岁,25岁}α=1，A1={25岁}4、模糊关系及模糊矩阵〔1〕集合的笛卡儿乘积设U＝{x},V={y}为两个集合，那么它们的笛卡儿乘积集为：U×V={(x,y)|x∈U,y∈V},(x,y)是U,V元素间的有序对。(x,y)是一种无约束有顺序的组合，笛卡尔乘积的运算不满足交换律，特殊的笛卡尔乘积：A＝{x}，A×A＝{(xi,xj)|xi,xj∈A}〔2〕关系及其表示设U＝{x},V={y}为两个集合，R为笛卡尔乘积U×V的一个子集，那么称其为U×V中的一个关系。关系R代表了对笛卡尔乘积集合中元素的一种选择约束。关系的表示：集合表示法：R＝{(x1,y2),(x2,y1),(x3,y3)}描述表示法：R＝{(x,y)|x>y}图形表示法：关系图矩阵表示法：例：U＝{张三，李四，王五}，V＝{数学，英语，政治}那么关系R〔选课〕可表示为：〔3〕模糊关系如关系R是U×V的一个模糊子集，那么称R为U×V的一个模糊关系，其隶属度函数为μR(x,y)隶属度函数μR(x,y)表示x,y具有关系R的程度该矩阵称为模糊矩阵例1：x为身高，y为体重；x=〔1.4,1.5,1.6,1.7,1.8〕〔单位m〕y=(40,50,60,70,80)〔单位kg〕模糊关系“符合标准”表示为：

40506070801.410.80.2001.50.810.80.201.60.20.810.80.21.700.20.810.81.8000.20.81也可记为：例2：样本集X中各样本之间的相似关系可表示为：模糊模式识别方法1、最大隶属度识别法〔1〕形式一：设A1,A2,….,An是U中的n个模糊子集，且对每一Ai均有隶属度函数μi(x)，x0为U中的任一元素，假设有隶属度函数μi(xo)=max[μ1(xo),μ2(xo),…..μn(xo)]那么xo∈Ai假设有了隶属度函数μ(x)，我们把隶属度函数作为判别函数使用即可。此法的关键是求隶属度函数U中的每一个元素，代表了样本的一种取值情况，而Ai代表了不同的类别例：体型判断这一分类问题中，设样本仅有一维特征，为体型指标，分别有6种取值，取值域为U＝{5,10,15,20,25,30}，三种体型类别用模糊子集可以定义为：“偏胖”＝0/5+0.2/10+0.4/15+0.6/20+0.8/25+1/30“标准”＝0.4/5+0.6/10+0.8/15+1/20+0.6/25+0.4/30“偏瘦”＝1/5+0.8/10+0.6/15+0.4/20+0.2/25+0/30如果某人的体型指标为15,那么根据最大隶属度原那么，可分到“标准”这一类。〔2〕形式二：设A是U中的1个模糊子集，x1～xn为U中的n个元素，假设A的隶属度函数中，μ(xk)=max[μ(x1),μ(x2),…..μ(xn)]那么A属于xk对应的类别U中的每一个元素对应了一个类别A代表一个样本，其隶属度函数代表了这个样本属于不同类别的程度此法不仅能得到样本的分类结果，还可以得到样本与各个类间的相似程度排序例：设U为5种空中飞行目标的集合，U＝{直升飞机，大型飞机，战斗机，飞鸟，气球}，根据对一个飞行物体的运动特征检测，得到其模糊子集表达为：A＝0.7/直升飞机+0.3/大型飞机+0.1/战斗机+0.4/飞鸟+0.8/气球根据最大隶属度原那么，可判断该飞行物体为“气球”。2、择近原那么识别法〔1〕贴近度：贴近度是两个模糊子集间互相靠近的程度，理想的贴近度应当具有以下性质：贴近度定义很多，设A，B为U上的两个模糊子集，可以将它们之间的贴近度定义为：〔2〕择近原那么识别法：设U上有n个模糊子集A1,A2,….,An及另一模糊子集B。假设贴近度样本和类都用模糊子集来表示取值范围U中的每个元素代表了一个特征维度例：某气象台对于当日气象条件的晨练指数预报分为三级，是用模糊集的方式，依据气温、风力、污染程度三个指标来决定的，具体隶属度关系见下表：晨练指数级别对“标准气温”的隶属度对“标准风力”的隶属度对“有污染”的隶属度适宜晨练0.70.90.2可以晨练0.50.60.6不适宜晨练0.40.50.8某天的气象条件用模糊集合来表达为：B=0.8/标准气温+0.7/标准风力+0.5/有污染请问：该天的晨练指数应该预报为哪一级？解：用a来代表“标准气温”，b代表“标准风力”，c代表“有污染”那么该天的气象条件可表示为：B=0.8/a+0.7/b+0.5/c用A1表示“适宜晨练”，A2表示“可以晨练”，A3表示“不适宜晨练”那么各晨练指数级别可表示为： A1＝0.7/a+0.9/b+0.2/c A2＝0.5/a+0.6/b+0.6/c A3＝0.4/a+0.5/b+0.8/c分别求B和A1、A2、A3的贴近度∵B和A2的贴近度最大，根据择近识别原那么，B∈A2∴该天的晨练指数应该预报为“可以晨练”。3、基于模糊等价关系的聚类方法〔1〕等价关系设R是U＝{x}上一个关系，假设满足：〔a〕自反性：(x,x)∈R〔b〕对称性：假设(xi，xj)∈R，那么有(xj，xi)∈R〔c〕传递性：假设(xi，xj)∈R和(xj，xk)∈R，那么有(xi，xk)∈R那么称R是U上一个等价关系。等价关系定义了“等价”的概念；当U上有一个等价关系R时，并不是U中所有元素都有等价关系，而是U中的元素可以按等价关系分成假设干类。〔2〕模糊等价关系设R是U＝{x}上一个模糊关系，假设满足：〔a〕自反性：μR(x,x)＝1〔b〕对称性：μR(xi，xj)＝μR(xj，xi)〔c〕传递性：对于任意xj∈U，有μR(xi，xk)≥∨(μR(xi，xj)∧μR(xj，xk))那么称R是U上一个模糊等价关系。模糊等价关系具有传递闭包性：R×R＝R，不具有传递性的模糊关系称为模糊相似关系，可通过求R2，R4，R8……来获得一个逼近模糊等价关系的模糊关系。〔3〕等价关系定理：假设R是U上的一个模糊等价关系。那么对任意阈值α(0≤α≤1)那么水平截集Rα也是U上的一个等价关系。〔4〕基于模糊等价关系的聚类利用等价关系定理，样本集X上的模糊等价关系R，那么可通过R的不同α水平截集得到多种等价类划分，也就实现了样本集在不同隶属度要求下的聚类。例：设X＝{x1、x2、x3、x4、x5}，有一个模糊等价关系R为：取α＝0.4，得到水平截集为：，此时所有样本等价，属于一类；取α＝0