北京市九级2025届九上数学期末调研模拟试题含解析

北京市九级2025届九上数学期末调研模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为（）A．7 B．8 C．9 D．102．当取下列何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根（）A．1. B．2 C．4. D．3．如图所示，中，，，点为中点，将绕点旋转，为中点，则线段的最小值为()A． B． C． D．4．二次函数的图象如图所示,下列说法中错误的是(

)A．函数的对称轴是直线x=1B．当x<2时,y随x的增大而减小C．函数的开口方向向上D．函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3)5．如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则()A．2 B． C． D．6．在一个不透明的布袋中装有红色.白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85％左右，则口袋中红色球可能有（）.A．34个 B．30个 C．10个 D．6个7．的值是()A． B． C． D．8．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2=0 B．x2=4 C．x2﹣2x﹣1=0 D．x2+1=09．如图，在⊙O中，是直径，是弦，于，连接，∠，则下列说法正确的个数是（）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．410．在反比例函中，k的值是（）A．2 B．-2 C．1 D．11．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等12．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题（每题4分，共24分）13．在英语句子“Wishyousuccess”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是．14．如图，将函数的图象沿轴向下平移3个单位后交轴于点，若点是平移后函数图象上一点，且的面积是3，已知点，则点的坐标__________.15．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．16．河北省赵县的赵州桥的拱桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，这时水面宽度AB为______________.17．如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为．18．半径为4的圆中，长为4的弦所对的圆周角的度数是_________．三、解答题（共78分）19．（8分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼老汉首先从鱼塘中打捞条鱼，并在每一条鱼身上做好记号，然后把这些鱼放归鱼塘，过一段时间，让鱼儿充分游动，再从鱼塘中打捞条鱼，如果在这条鱼中有条是有记号的，那么养鱼老汉就能估计鱼塘中鱼的条数．请写出鱼塘中鱼的条数，并说明理由．20．（8分）如图，∠1=∠3，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=1．（1）请证明△ABC∽△ADE．（2）求AD的长．21．（8分）如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．22．（10分）已知：△ABC中∠ACB＝90°，E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若DF∥AB，则BD与CD有怎样的数量关系？并证明你的结论．23．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．24．（10分）解下列方程（1）（2）25．（12分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．26．如图是某一蓄水池每小时的排水量/与排完水池中的水所用时间之间的函数关系的图像.（1）请你根据图像提供的信息写出此函数的函数关系式；（2）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】分别设出枝干和小分支的数目，列出方程，解方程即可得出答案.【详解】设枝干有x根，则小分支有根根据题意可得：解得：x=7或x=-8(不合题意，舍去)故答案选择A.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是根据题目意思列出方程.2、A【分析】根据一元二次方程的判别式判断即可.【详解】要使得方程由两个相等实数根,判别式△=(-2)2-4m=4-4m=0,解得m=1.故选A.【点睛】本题考查一元二次方程判别式的计算,关键在于熟记判别式与根的关系.3、B【分析】如图，连接CN．想办法求出CN，CM，根据MN≥CN−CM即可解决问题．【详解】如图，连接CN．在Rt△ABC中，∵AC＝4，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝3，∵CM＝MB＝BC＝，∵A1N＝NB1，∴CN＝A1B1＝，∵MN≥CN−CM，∴MN≥，即MN≥，∴MN的最小值为，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．4、B【解析】利用二次函数的解析式与图象，判定开口方向，求得对称轴，与y轴的交点坐标，进一步利用二次函数的性质判定增减性即可．【详解】解：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴对称轴为直线x=1，又∵a=1＞0，开口向上，∴x＜1时，y随x的增大而减小，令x=0，得出y=-3，∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，-3）．因此错误的是B．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解决本题的关键5、B【分析】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，则CD=1,AC=,在直角三角形ACD中即可求得的值.【详解】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，则CD=1，AC=在直角三角形ACD中故选：B【点睛】本题考查的是网格中的锐角三角函数，关键是创造直角三角形，尽可能的把直角三角形的顶点放在格点.6、D【解析】由频数=数据总数×频率计算即可．【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在85%左右，∴口袋中白色球的频率为85%，故白球的个数为40×85%=34个，∴口袋中红色球的个数为40-34=6个故选D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．7、D【解析】根据负整数指数幂的运算法则进行求解即可.【详解】=，故选D.【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握(a≠0，p为正整数)是解题的关键.8、A【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法，逐一判断选项，即可．【详解】A.x2=0，解得：x1=x2=0，故本选项符合题意；B.x2=4，解得：x1=2，x2=-2，故本选项不符合题意；C.x2﹣2x﹣1=0，，有两个不相等的根，故不符合题意；D.x2+1=0，方程无解，故不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义，是解题的关键．9、C【分析】先根据垂径定理得到，CE＝DE，再利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．【详解】∵AB⊥CD，∴，CE＝DE，②正确，∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，③正确，∴∠OCE＝90°−40°＝50°，④正确；又，故①错误；故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．10、B【分析】根据反比例函数的定义，直接可得出k的值．【详解】∵反比例一般式为：∴k=－1故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的一般式，注意本题的比例系数k是－1而非1．11、B【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．

故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．

故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．12、C【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【详解】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选C．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定，分情况讨论解决.二、填空题（每题4分，共24分）13、【解析】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.考点：概率公式．14、或【分析】根据函数图象的变化规律可得变换后得到的图象对应的函数解析式为，求出点的坐标为，那么，设的边上高为，根据的面积是3可求得，从而求得的坐标．【详解】解：将函数的图象沿轴向下平移3个单位后得到，令，得，解得，点的坐标为，点，．设的边上高为，的面积是3，，，将代入，解得；将代入，解得．点的坐标是，或．故答案为:，或．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，函数图像上点的特征，由平移后函数解析式求出点的坐标是解题的关键．15、1【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17，设内切圆半径为r，由面积法r=3（步），即直径为1步，

故答案为：1．考点：三角形的内切圆与内心．16、【详解】根据题意B的纵坐标为﹣4，把y=﹣4代入y=﹣x2，得x=±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB=20m．即水面宽度AB为20m．17、π．【详解】解：如图连接OE、OF．∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA=60°，∴∠DFO=120°，∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，的长=．故答案为π．考点：切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算．18、或【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，易得是等边三角形，再利用圆周角定理，即可得出答案．【详解】．如图所示在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，∵，∴∴是等边三角形∴∴∴∴所对的圆周角的度数为或故答案为：或．【点睛】本题考查了圆周角的问题，掌握圆周角定理是解题的关键．三、解答题（共78分）19、．【分析】设鱼塘中鱼的条数为x，根据两次打捞的鱼中身上有记号的鱼的概率相等建立方程，然后求解即可得．【详解】设鱼塘中鱼的条数为x由题意和简单事件的概率计算可得：解得：经检验，是所列分式方程的解答：鱼塘中鱼的条数为．【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、分式方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．20、（1）见解析；（2）【分析】（1）由∠1=∠3，依据等式的基本性质，得，结合∠B=∠D，依据两组角分别相等的三角形相似可证；（2）依据相似的性质可求.【详解】解：∵∠1=∠3，∴∠1+∠2=∠3+∠2，即,又∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE．（2）∵△ABC∽△ADE，∴,又∵AB=DE=5，BC=1，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似的判定定理和性质定理，并熟悉基本图形.21、（1）证明见解析；（2）PD=．【分析】（1）连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线．（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．【详解】（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°．∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°．∴∠OAP=90°．∴OA⊥AP．∴AP是⊙O的切线．（2）解：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°．∴AD=AC•tan30°=3×．∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°．∴∠P=∠PAD．∴PD=AD=．22、(1)见解析；(2)BD＝2CD证明见解析【分析】（1）连接OD．根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知：∠OAD＝∠ODA；再由切线的性质及平行线的判定与性质证明∠OAD＝∠CAD；（2）连接OF，根据等腰三角形的性质以及圆周角定理证得∠BAC＝60°，根据平行线的性质得出BD：CD＝AF：CF，∠DFC＝∠BAC＝60°，根据解直角三角形即可求得结论．【详解】（1）证明：连接OD，∴OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵BC为⊙O的切线，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）连接OF，∵DF∥AB，∴∠OAD＝∠ADF，∵AD平分∠BAC，∴∠ADF＝∠OAF，∵∠ADF＝∠AOF，∴∠AOF＝∠OAF，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∴△AOF是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠ADF＝∠DAF，∴DF＝AF，∵DF∥AB，∴BD：CD＝AF：CF，∠DFC＝∠BAC＝60°，∴＝2，∴BD＝2CD．【点睛】本题考查了切线的性质，涉及知识点有：平行线的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理，数形结合做出辅助线是解本题的关键23、（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）S＝﹣（m﹣2）2+16，S的最大值为16；（3）点P的坐标为：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．【分析】（1）根据交点式可求出抛物线的解析式；

（2）由S=S△OBC+S△OCD+S△ODA，即可求解；

（3）∠BPC=45°，则BC对应的圆心角为90°，可作△BCP的外接圆R，则∠BRC=90°，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，证明△BMR≌△RNC（AAS）可求出点R（1，-1），即点R在函数对称轴上，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），∴抛物线的表达式为：y＝（x﹣4）（x+2）＝x2﹣x﹣4；（2）设点D（m，m2﹣m﹣4），可求点C坐标为（0，-4），∴S＝S△OBC+S△OCD+S△ODA＝＝﹣（m﹣2）2+16，当m＝2时，S有最大值为16；（3）∠BPC＝45°，则BC对应的圆心角为90°，如图作圆R，则∠BRC＝90°，圆R交函数对称轴为点P，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，设点R（m，n）．∵∠BMR+∠MRB＝90°，∠MRB+∠CRN＝90°，∴∠CRN＝∠MBR，∠BMR＝∠RNC＝90°，BR＝RC，∴△BMR≌△RNC（AAS），∴CN＝RM，RN＝BM，即m+2＝n+4，﹣n＝m，解得：m＝1，n＝﹣1，即点R（1，﹣