非平稳序列的随机分析

关于非平稳序列的随机分析本章结构差分运算ARIMA模型Auto-Regressive模型异方差的性质方差齐性变化条件异方差模型第2页,共118页，星期六，2024年，5月5.1差分运算差分运算的实质差分方式的选择过差分第3页,共118页，星期六，2024年，5月差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息

第4页,共118页，星期六，2024年，5月差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳

序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响

对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息

第5页,共118页，星期六，2024年，5月例5.1【例1.1】1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用

第6页,共118页，星期六，2024年，5月差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图第7页,共118页，星期六，2024年，5月例5.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息第8页,共118页，星期六，2024年，5月差分后序列时序图一阶差分二阶差分第9页,共118页，星期六，2024年，5月例5.3差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息

第10页,共118页，星期六，2024年，5月差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分第11页,共118页，星期六，2024年，5月过差分

足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息但过度的差分会造成有用信息的浪费

第12页,共118页，星期六，2024年，5月例5.4假设序列如下

考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差第13页,共118页，星期六，2024年，5月比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大第14页,共118页，星期六，2024年，5月5.2ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型性质ARIMA模型建模ARIMA模型预测疏系数模型季节模型第15页,共118页，星期六，2024年，5月ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构第16页,共118页，星期六，2024年，5月ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel第17页,共118页，星期六，2024年，5月随机游走模型(randomwalk)模型结构模型产生典故KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？第18页,共118页，星期六，2024年，5月ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例5.5ARIMA(0,1,0)时序图第19页,共118页，星期六，2024年，5月ARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性第20页,共118页，星期六，2024年，5月ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型第21页,共118页，星期六，2024年，5月例5.6对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序列建模

第22页,共118页，星期六，2024年，5月一阶差分序列时序图第23页,共118页，星期六，2024年，5月一阶差分序列自相关图第24页,共118页，星期六，2024年，5月一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344第25页,共118页，星期六，2024年，5月拟合ARMA模型偏自相关图第26页,共118页，星期六，2024年，5月建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计模型检验模型显著参数显著第27页,共118页，星期六，2024年，5月ARIMA模型预测原则最小均方误差预测原理

Green函数递推公式第28页,共118页，星期六，2024年，5月预测值第29页,共118页，星期六，2024年，5月例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为

且求的95％的置信区间

第30页,共118页，星期六，2024年，5月预测值等价形式计算预测值第31页,共118页，星期六，2024年，5月计算置信区间Green函数值方差95％置信区间第32页,共118页，星期六，2024年，5月例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测

第33页,共118页，星期六，2024年，5月疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。第34页,共118页，星期六，2024年，5月疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为第35页,共118页，星期六，2024年，5月例5.8对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模

第36页,共118页，星期六，2024年，5月一阶差分第37页,共118页，星期六，2024年，5月自相关图第38页,共118页，星期六，2024年，5月偏自相关图第39页,共118页，星期六，2024年，5月建模定阶ARIMA((1,4),1,0)参数估计模型检验模型显著参数显著第40页,共118页，星期六，2024年，5月季节模型简单季节模型乘积季节模型

第41页,共118页，星期六，2024年，5月简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下

第42页,共118页，星期六，2024年，5月例5.9拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列

第43页,共118页，星期六，2024年，5月差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下

第44页,共118页，星期六，2024年，5月白噪声检验延迟阶数统计量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.0001第45页,共118页，星期六，2024年，5月差分后序列自相关图第46页,共118页，星期六，2024年，5月差分后序列偏自相关图第47页,共118页，星期六，2024年，5月模型拟合定阶ARIMA((1,4),(1,4),0)参数估计第48页,共118页，星期六，2024年，5月模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值62.090.71915.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.0001第49页,共118页，星期六，2024年，5月拟合效果图第50页,共118页，星期六，2024年，5月乘积季节模型使用场合序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系构造原理短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下

第51页,共118页，星期六，2024年，5月例5.10:拟合1948——1981年美国女性月度失业率序列

第52页,共118页，星期六，2024年，5月差分平稳一阶、12步差分第53页,共118页，星期六，2024年，5月差分后序列自相关图第54页,共118页，星期六，2024年，5月差分后序列偏自相关图第55页,共118页，星期六，2024年，5月简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)值P值值P值值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著第56页,共118页，星期六，2024年，5月乘积季节模型拟合模型定阶ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12参数估计第57页,共118页，星期六，2024年，5月模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001结果模型显著参数均显著第58页,共118页，星期六，2024年，5月乘积季节模型拟合效果图第59页,共118页，星期六，2024年，5月5.3Auto-Regressive模型构造思想首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息

第60页,共118页，星期六，2024年，5月Auto-Regressive模型结构第61页,共118页，星期六，2024年，5月对趋势效应的常用拟合方法自变量为时间t的幂函数自变量为历史观察值第62页,共118页，星期六，2024年，5月对季节效应的常用拟合方法给定季节指数建立季节自回归模型第63页,共118页，星期六，2024年，5月例5.6续使用Auto-Regressive模型分析1952年－1988年中国农业实际国民收入指数序列。时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型

第64页,共118页，星期六，2024年，5月趋势拟合方法一：变量为时间t的幂函数方法二：变量为一阶延迟序列值

第65页,共118页，星期六，2024年，5月趋势拟合效果图第66页,共118页，星期六，2024年，5月残差自相关检验检验原理回归模型拟合充分，残差的性质回归模型拟合得不充分，残差的性质第67页,共118页，星期六，2024年，5月Durbin-Waston检验（DW检验）

假设条件原假设：残差序列不存在一阶自相关性

备择假设：残差序列存在一阶自相关性

第68页,共118页，星期六，2024年，5月DW统计量构造统计量DW统计量和自相关系数的关系第69页,共118页，星期六，2024年，5月DW统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关042第70页,共118页，星期六，2024年，5月例5.6续

检验第一个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。第71页,共118页，星期六，2024年，5月DW检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.0001第72页,共118页，星期六，2024年，5月Durbinh检验

DW统计量的缺陷当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用DW统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判

Durbinh检验第73页,共118页，星期六，2024年，5月例5.6续检验第二个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。第74页,共118页，星期六，2024年，5月Dh检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。Dh统计量的值P值2.80380.0025第75页,共118页，星期六，2024年，5月残差序列拟合确定自回归模型的阶数参数估计模型检验第76页,共118页，星期六，2024年，5月例5.6续对第一个确定性趋势模型的残差序列进行拟合第77页,共118页，星期六，2024年，5月残差序列自相关图第78页,共118页，星期六，2024年，5月残差序列偏自相关图第79页,共118页，星期六，2024年，5月模型拟合定阶AR(2)参数估计方法极大似然估计最终拟合模型口径第80页,共118页，星期六，2024年，5月例5.6第二个Auto－Regressive模型的拟合结果第81页,共118页，星期六，2024年，5月三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976Auto－Regressive模型一：260.8454267.2891Auto－Regressive模型二：250.6317253.7987第82页,共118页，星期六，2024年，5月5.4异方差的性质异方差的定义如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差异方差的影响忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。

第83页,共118页，星期六，2024年，5月异方差直观诊断残差图残差平方图第84页,共118页，星期六，2024年，5月残差图方差齐性残差图递增型异方差残差图第85页,共118页，星期六，2024年，5月残差平方图原理残差序列的方差实际上就是它平方的期望。所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列是否平稳

第86页,共118页，星期六，2024年，5月例5.11直观考察美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。

第87页,共118页，星期六，2024年，5月一阶差分后残差图第88页,共118页，星期六，2024年，5月一阶差分后残差平方图第89页,共118页，星期六，2024年，5月异方差处理方法假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型第90页,共118页，星期六，2024年，5月5.5方差齐性变换使用场合序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系

其中：是某个已知函数处理思路尝试寻找一个转换函数，使得经转换后的变量满足方差齐性第91页,共118页，星期六，2024年，5月转换函数的确定原理转换函数在附近作一阶泰勒展开求转换函数的方差转换函数的确定第92页,共118页，星期六，2024年，5月常用转换函数的确定假定转换函数的确定第93页,共118页，星期六，2024年，5月例5.11续对美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行分析

假定函数变换第94页,共118页，星期六，2024年，5月对数序列时序图第95页,共118页，星期六，2024年，5月一阶差分后序列图第96页,共118页，星期六，2024年，5月白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452第97页,共118页，星期六，2024年，5月拟合模型口径及拟合效果图第98页,共118页，星期六，2024年，5月5.6条件异方差模型ARCH模型GARCH模型GARCH模型的变体EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型第99页,共118页，星期六，2024年，5月ARCH模型假定原理通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数

ARCH(q)模型结构第100页,共118页，星期六，2024年，5月GARCH模型结构使用场合ARCH模型实际上适用于异方差函数短期自相关过程

GARCH模型实际上适用于异方差函数长期自相关过程

模型结构第101页,共118页，星期六，2024年，5月GARCH模型的约束条件参数非负

参数有界

第102页,共118页，星期六，2024年，5月EGARCH模型第103页,共118页，星期六，2024年，5月IGARCH模型第104页,共118页，星期六，2024年，5月GARCH-M模型第105页,共118页，星期