2025届新高考数学冲刺精准复习用样本估计总体

2025届新高考数学冲刺精准复习用样本估计总体01课前自学02课堂导学目录【课时目标】结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均

数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义；能用样本估计总

体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计

含义；能用样本估计总体的取值规律；能用样本估计百分位数，理解百

分位数的统计含义.【考情概述】用样本估计总体是新高考的热点问题，主要考查样本数

据的平均数、方差的计算与性质以及对实际问题的决策判断等，难度中

等偏下.

知识梳理1.平均数或均值

若取值为

x

1，

x

2，…，

xn

的频率分别为

p

1，

p

2，…，

pn

，则其平均数

为

⁠.

x

1

p

1＋

x

2

p

2＋…＋

xnpn

2.（1）

众数、中位数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列，把处在最中间位置的一个

数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.（2）

众数、中位数、平均数的优点与缺点众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数，但显然它对其他数据信

息的忽视使它无法客观地反映总体特征.中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某

些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的

信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时

的可靠性降低.3.（1）

方差与标准差

（2）

平均数、标准差与方差反映的数据特征：平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越

大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之，则数据的离散程度越

小，越稳定.4.百分位数一般地，一组数据的第

p

百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至

少有

p

％的数据

这个值，且至少有（100－

p

）％的数

据

这个值.5.分层随机抽样的样本均值与方差

小于或等于大于或等于常用结论1.方差公式的推广

（2）

数据

x

1，

x

2，…，

xn

的方差为

s

2.①

数据

x

1＋

a

，

x

2＋

a

，…，

xn

＋

a

的方差为

⁠；②

数据

mx

1＋

a

，

mx

2＋

a

，…，

mxn

＋

a

的方差为

⁠；

s

2

m

2

s

2

2.中位数相当于是第50百分位数.在实际应用中，除了中位数，常用的

分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到

大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也

称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数

或上四分位数等.回归课本1.判断：（1）

（RA二P209练习第3题改编）一组数据

x

1，

x

2，…，

xn

去掉最大

的和最小的数以后，平均数和中位数都不变.

（

✕

）（2）

（RA二P215练习第2题改编）若数据

x

1，

x

2，…，

xn

的方差为

3，数据

mx

1＋

a

，

mx

2＋

a

，…，

mxn

＋

a

的方差为9，则

m

＝3.

（

✕

）（3）

（RA二P206探究改编）平均数和中位数都描述了数据的集中趋

势，平均数一定大于中位数.

（

✕

）（4）

（RA二P216习题9.2第5题改编）若数据

x

1，

x

2，…，

xn

的方差

s

2

＝0，则

xi

（

i

＝1，2，…，

n

）都相同.

（

√

）✕✕✕√2.（RA二P203例2改编）将样本数据按从小到大的顺序排列后，估计某

中学高一年级27名女生身高的第25，75百分位数时可知，样本数据的第

25，75百分位数分别对应样本数据的项数为（

D

）A.6，20B.6，21C.7，20D.7，21D3.（RA二P216习题9.2第2题改编）甲、乙两台机床同时生产一种零件，

在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为甲：0，1，0，2，2，0，

3，1，2，4；乙：2，3，1，1，0，2，1，1，0，1；则下列说法中正确

的是（

D

）A.甲机床每天生产的次品数的平均数小于乙机床每天生产的次品数的平

均数B.甲机床每天生产的次品数的方差小于乙机床每天生产的次品数的方差C.甲机床的性能更好D.乙机床的性能更好D4.（多选）（RA二P224复习参考题9第2题改编）四名同学各掷骰子5

次，分别记录每次骰子朝上一面的点数.根据四名同学的统计结果，可

以判断出可能出现点数6的是（

ABD

）A.平均数为3，中位数为2B.中位数为3，众数为2C.平均数为2，方差为2.4D.中位数为3，方差为2.8ABD5.（RA二P205例4改编）如图所示为某市抽样调查的用户月均用水量

（单位：t）的频率分布直方图，据此估计月均用水量的中位数

为

t（精确到0.01）.6.71

考点一

用样本估计总体的集中趋势与离散程度考向1

样本的数字特征的计算例1（1）

（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座来普及社区居民的

垃圾分类知识.为了了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在

讲座前和讲座后各填写一份垃圾分类知识问卷.这10位社区居民在讲座

前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则下列说法正确的是

（

B

）BA.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70％B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85％C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后问卷答题的正确率的标

准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前问卷答题的正确率的极差

（2）

（多选）某校对高三年级学生每周在校体育锻炼时长（单位：

h）进行了统计，得到如下频率分布表：分组[2，3）[3，4）[4，5）[5，6]频率0.250.300.200.25则下列关于该校高三年级学生每周体育锻炼时长的说法正确的有（精确

到0.01h）（

CD

）CDA.众数约为2.50hB.中位数约为4.00hC.平均数约为3.95hD.第80百分位数约为5.20h解：因为最大频率对应的组的中点值为3.5，所以众数约为3.50h.故A错

误.由表可知，中位数在第2组.设其为

x

h，则（

x

－3）×0.3＝0.5－

0.25，解得

x

≈3.83.故B错误.平均数约为2.5×0.25＋3.5×0.3＋4.5×0.2

＋5.5×0.25＝3.95（h）.故C正确.因为前三组的频率之和为0.75，所以

第80百分位数位于第4组.设其为

a

h，则（

a

－5）×0.25＝0.05，解得

a

＝5.20.故D正确.1.（多选）（2023·盐城三模）随机抽取6位影迷对某部电影的评分，得

到一组样本数据如下：92，93，95，95，97，98，则下列关于这组样本

数据的说法中正确的有（

ABD

）A.均值为95B.极差为6C.方差为26D.第80百分位数为97ABD[拓展探究]

考向2

利用样本的数字特征解决决策问题例2某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品按标准分为A，B，

C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，该厂每件

分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，该厂每件要赔偿原料

损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工的成本

费为25元/件，乙分厂加工的成本费为20元/件.该厂为决定由哪个分厂承

接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产

品的等级，整理如下表：等级

A

B

C

D

频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级

A

B

C

D

频数28173421甲分厂产品等级的频数分布表（1）

分别估计甲、乙两个分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

（2）

分别求甲、乙两个分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平

均利润为依据，判断该厂应选哪个分厂承接加工业务.解：（2）

由题意知，甲分厂加工出来的100件产品的利润的频数分布

表如下：利润/（元/件）6525－5－75频数40202020

利润/（元/件）70300－70频数28173421

2.（2023·全国乙卷）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的

处理效应，进行了10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡

胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量

处理后的橡胶产品的伸缩率.用甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸

缩率分别记为

xi

，

yi

（

i

＝1，2，…，10）.试验结果如下表：[拓展探究]试验序号

i

12345678910伸缩率

xi

545533551522575544541568596548伸缩率

yi

536527543530560533522550576536

总结提炼

平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描

述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描

述其集中趋势，方差和标准差描述其离散程度.标准差、方差越大，数

据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度

越小，越稳定.1.（2023·福州期末）用分层随机抽样的方法从某校高一年级学生的数

学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个容量为100的样

本，其中男生成绩数据有40个，女生成绩数据有60个，再将40个男生成

绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），

[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）

估计男生成绩样本数据的第80百分位数；[对点训练]

（2）

在区间[40，50）和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随

机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；

（3）

已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生

成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本数据的平均数

和方差.

考点二

用样本估计百分位数例3（RA二教参P288本章学业水平测试题第2题）某高校12名毕业生

的起始月薪如下表：毕业生起始月薪/元毕业生起始月薪/元128507289022950831303305092940428801033255275511292062710122880则第85百分位数是（

C

）CA.3050元B.2950元C.3130元D.3325元总结提炼

计算一组

n

个数据的第

p

百分位数的步骤第一步：按从小到大排列原始数据.第二步：计算

i

＝

n

×

p

％.第三步：若

i

不是整数，而大于

i

的最小整数为

j

，则第

p

百分位数为第

j

项数据；若

i

是整数，则第

p

百分位数为第

i

项与第（

i

＋1）项数据