河南省2024-2025学年高二数学上学期10月月考试题

Page8河南省2024-2025学年上期第一次月考高二数学时间:120分钟满分:150分单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.在下列四个命题中，正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大B.过点的直线方程都可以表示为：C.经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为：D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为2．如图，在空间四边形中，点在上，满意，点为中点，则（）A. B.C. D.3.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.4．正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上随意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为A．1 B．2 C．3 D．45.冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为1，竹签所在直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（）A. B.C. D.6．已知直线恒过定点，则与圆有公共的圆心且过点的圆的标准方程为A．B． C．D．7．如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最终经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程长为A． B． C． D．8．已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面四个结论中正确的个数是①与确定不垂直 ②二面角的正弦值是 ③的面积是 ④点到平面的距离是常量A.1B.2C.3D.4多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若向量共面，则它们所在的直线共面B.若是四面体的底面的重心，则C.若，则四点共面D.若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为10.已知直线，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则或C.当时，是直线的方向向量D.原点到直线的最大距离为11．已知菱形中，，与相交于点．将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是A． B．存在一个位置，使为等边三角形C．与不行能垂直 D．直线与平面所成的角的最大值为12．在棱长为1的正方体中，点满意，，，，，则以下说法正确的是A．当时，平面 B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为 C．当时，的最小值为 D．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________．14．如图在一个的二面角的棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则___________.15．如图，在四棱锥的平面绽开图中，四边形是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的球心到面的距离为___________.16．函数的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.（1）求点的坐标；（2）求点到直线的距离.18.（本小题满分12分）如图，在平行六面体中，，，，点为线段中点．（1）求；（2）求直线与所成角的余弦值．19．（本小题满分12分）已知，，由确定两个点，．（1）写出直线的方程（答案含t）；（2）在内作内接正方形，顶点，在边上，顶点在边上．若，当正方形的面积最大时，求，的值．20．（本小题满分12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线垂直；②过点；③与直线平行．问题：已知直线过点，且____．（1）求直线的一般式方程；（2）已知，为坐标原点，在直线上求点坐标，使得最大．21．（本小题满分12分）如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，四边形是等腰梯形，，，平面，，，，在上．（1）为保证风筝飞行稳定，须要在处引一尼绳，使得，求证：直线平面；（2）试验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．22．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PA＝PD＝eq\r(2)，AB＝1，AD＝2，PD⊥AB.(1)证明：平面PCD⊥平面PAB；(2)若PB＝eq\r(3)，试在棱PD上确定一点E，使得平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为eq\f(2\r(7),7).

河南省试验中学2024-2025学年上期第一次月考高二数学参考答案单项选择题：1.C2.D3.B4.B5.A6.B7.A8.C多项选择题：9.BD10.AD11.ABD12.．三、填空题：13.或14.315.．16.四、解答题：17.解(1)设，则，∴，解得，∴；（2）∵，且直线的斜率为，∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即，所以点到直线的距离为.18.解：（1）因为在平行六面体中，点在线段上，且满意．设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底．所以．，，．（2）由（1）知，，，，，直线与所成角的余弦值为．19．解（1）由题意知当直线斜率存在时，，当时，直线的方程为，当时，直线的方程为．直线的方程为．（2）由和四边形为正方形可知，，，，因为点在直线上，所以，所以，而正方形的面积最大，即最大，所以当时，，此时图中阴影部分的面积最大．20．解：（1）依据题意，选择①与直线垂直，则直线的斜率，解得，又其过点，则直线的方程为：，整理得：；选择②过点，又直线过点则直线的斜率，则直线的方程为：，整理得：；选择③与直线平行，则直线的斜率，又其过点，则直线的方程为：，整理得：；综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：．（2）依据（1）中所求，可得直线的方程为：，又，设点关于直线的对称点为，则，且，解得，即；依据题意，作图如下：明显，但且仅当，，三点共线时取得等号；又直线的斜率，故其方程为：，即，联立，可得，即点的坐标为时，使得最大．21．解：（1）证明：四边形是等腰梯形，，，，连接，，，平面，平面，平面．（2）解：平面，平面，，，，，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，，，，2，，，0，，，设平面的法向量为，，令，，，，设与平面所成角为，．与平面所成角的正弦值为．22．(1)证明因为PA＝PD＝eq\r(2)，AD＝2，所以PA2＋PD2＝AD2，所以PD⊥PA，又因为PD⊥AB，AB，PA⊂平面PAB，且AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB，又因为PD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAB.(2)解因为PA＝eq\r(2)，AB＝1，PB＝eq\r(3)，所以PA2＋AB2＝PB2，所以AB⊥PA，又因为PD⊥AB，PA，PD⊂平面PAD，且PD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，因为AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD，所以四边形ABCD为矩形．以A为原点，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,1,1)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，由PD⊥平面PAB，可得向量eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,1，－1)是平面PAB的一个法向量．设eq\o(ED,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，0≤λ≤1，则E(0,2－λ，λ)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0,2－λ，λ)．设平面EAC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－λy＋λz＝0，,x＋2y＝0，))令y＝－1，可得x＝2，z＝eq\f(2－λ,λ)，所以n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－1，\f(2－λ,λ)))，所以|cos〈eq\o(PD,\s\up6(→))，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PD,\s\up6(→))·n,|\o(PD,\s\up6(→))||n|)))＝e