广西玉林市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷

第1页（共1页）广西玉林市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知R为实数集，集合A＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|2＜x≤3} C．{x|1≤x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2}2．（5分）下列说法正确的是（）A．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 B．样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 D．甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好3．（5分）北京大学一个班级的6名同学准备去参加冬奥会志愿服务活动，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，其他人根据个人情况可选择去也可选择不去，则这6名同学不同的去法种数有（）A．16 B．32 C．48 D．644．（5分）若函数f（x）满足f（x﹣4）＝f（x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣x+1，则f（2023）＝（）A．10 B．4 C．2 D．5．（5分）函数y＝ln（3﹣|x|）的大致图象为（）A． B． C． D．6．（5分）随机变量X的分布列如表所示，若，则D（3X﹣2）＝（）X﹣101PabA．3 B． C．5 D．97．（5分）在R上是增函数的充分不必要条件是（）A．[﹣4，﹣2] B．[﹣4，﹣1] C．[﹣3，﹣1] D．[﹣3，﹣2]8．（5分）已知ξ∼N（2，52），且P（ξ≤1）＝P（ξ≥a+1），则的最小值为（）A． B．2 C． D．6二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac2≥bc2，则a≥b B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c D．若a＞b，则（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（）A．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4] B．若，则f（x）＝2x2﹣4x+3，x∈[1，+∞） C．函数的y＝4x+2x+1值域为（1，+∞） D．在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上单调递减（多选）11．（5分）有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480 B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240 C．6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法 D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，且f（ea）＞f（b）．则下列结论一定正确的是（）A．若a＞0，则a﹣b＞0 B．若a＞0，则ea﹣b＞0 C．若a＜0，则ea+b＞2 D．若a＜0，则a﹣lnb＜0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若，则x＝．14．（5分）设随机变量ξ～B（2，P），若，则p＝．15．（5分）已知函数是奇函数，则a+b＝．16．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣2x，若不等式f（x+1）＞ax﹣2ex在x∈（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题（本答题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在的展开式中只有第7项的二项式系数最大．（1）求n的值；（2）若其展开式中的常数项为﹣220，求其展开式中所有项的系数的和．18．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣b≥2x﹣ax（a，b∈R）．（1）若不等式的解集为{x|﹣2≤x≤﹣1}，求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式（ax﹣2）（x+1）≥0．19．（12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1﹣9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y（秒）与训练天数x（天）有关，经统计得到如表的数据：x（天）1234567y（秒）990990450320300240210现用y＝a+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？参考数据（其中）﹣7×18450.370.55参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝．（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x3+3ax2+3bx+a2在x＝﹣1处有极值0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）记g（x）＝f（x）﹣k+1，若函数g（x）有三个零点，求实数k的取值范围．21．（12分）2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持．5月30日，再问苍穹，神舟十六号发射成功．在“神箭”“神舟”的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺利进入太空，开启为期约5个月的巡天之旅．某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”．现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示：航天达人非航天达人合计男8040120女305080合计11090200（1）依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联？（2）（Ⅰ）从随机抽取的这200名学生中采用比例分配的分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件A＝“至少有2名是男生”，事件B＝“至少有2名是航天达人的男生”，事件C＝“至多有1名是航天达人的女生”．试计算P（A）•P（B|A）•P（C|AB）和P（ABC）的值，并比较它们的大小．（Ⅱ）（Ⅰ）中P（ABC）与P（A）•P（B|A）•P（C|AB）的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由．参考公式及数据，n＝a+b+c+d．α0.100.050.0100.001xα2.7063.8416.63510.82822．（12分）已知函数f（x）＝xex﹣alnx在x＝1处的切线方程为y＝（2e+1）x﹣b（a，b∈R）（1）求实数a，b的值；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣2ex﹣x+3，当时，g（x）的值域为区间（m，n）（m，n∈Z）的子集，求n﹣m的最小值．参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知R为实数集，集合A＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|2＜x≤3} C．{x|1≤x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2}【解答】解：集合A＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}，故图中阴影部分表示的集合为：∁B（A∩B）＝{x|1≤x＜2}．故选：C．2．（5分）下列说法正确的是（）A．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 B．样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 D．甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，A错误；对于B，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，B错误；对于C，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，C错误；对于D，甲模型的决定系数大于乙模型的决定系数，故模型甲的拟合效果更好，D正确．故选：D．3．（5分）北京大学一个班级的6名同学准备去参加冬奥会志愿服务活动，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，其他人根据个人情况可选择去也可选择不去，则这6名同学不同的去法种数有（）A．16 B．32 C．48 D．64【解答】解：将甲和乙两位同学捆绑在一起，故这6名同学不同的去法种数有25＝32，故选：B．4．（5分）若函数f（x）满足f（x﹣4）＝f（x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣x+1，则f（2023）＝（）A．10 B．4 C．2 D．【解答】解：根据题意，若函数f（x）满足f（x﹣4）＝f（x），即f（x+4）＝f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2023）＝f（﹣1+2024）＝f（﹣1）＝31+1＝4．故选：B．5．（5分）函数y＝ln（3﹣|x|）的大致图象为（）A． B． C． D．【解答】解：函数y＝ln（3﹣|x|）的定义域为（﹣3，3），排除选项C；又ln（3﹣|﹣x|）＝ln（3﹣|x|），所以函数为偶函数，则图象关于y轴对称，排除选项D；当x＝时，y＝ln＜0，排除选项B．故选：A．6．（5分）随机变量X的分布列如表所示，若，则D（3X﹣2）＝（）X﹣101PabA．3 B． C．5 D．9【解答】解：根据随机变量X的分布列可得到E（X）＝﹣1×+0×a+1×b＝﹣＝，∴，∵，∴a＝，D（X）＝（﹣1﹣）²×＝，则D（3X﹣2）＝3²D（X）＝9×＝5．故选：C．7．（5分）在R上是增函数的充分不必要条件是（）A．[﹣4，﹣2] B．[﹣4，﹣1] C．[﹣3，﹣1] D．[﹣3，﹣2]【解答】解：∵在R上是增函数，∴，解得﹣4≤a≤﹣2，故满足条件的只有D．故选：D．8．（5分）已知ξ∼N（2，52），且P（ξ≤1）＝P（ξ≥a+1），则的最小值为（）A． B．2 C． D．6【解答】解：因为ξ∼N（2，52），且P（ξ≤1）＝P（ξ≥a+1），由正态分布的性质可得：a+1＝3，即a＝2，∵x+（2﹣x）＝2，且0＜x＜2，∴＝[x+（2﹣x）]（）＝≥＝，当且仅当x＝时等号成立．故选：C．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac2≥bc2，则a≥b B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c D．若a＞b，则【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当a＝﹣1，b＝1，c＝0时，满足ac2≥bc2，但a≥b不成立，A错误；对于B，若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，则有（﹣a）（﹣a）＞（﹣a）（﹣b）＞（﹣b）（﹣b），即a2＞ab＞b2成立，B正确；对于C，若c＞d，则有﹣d＞﹣c，又由a＞b，则a﹣d＞b﹣c，C正确；对于D，当a＝1，b＝﹣1时，满足a＞b，但＜不成立，D错误．故选：BC．（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（）A．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4] B．若，则f（x）＝2x2﹣4x+3，x∈[1，+∞） C．函数的y＝4x+2x+1值域为（1，+∞） D．在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上单调递减【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若函数f（x）的定义域为[0，2]，对于f（2x），有0≤2x≤2，即0≤x≤1，函数f（2x）的定义域为[0，1]，A错误；对于B，若，则f（1+）＝2（1+）2﹣4（1+）+3，则f（x）＝2x2﹣4x+3，又由1+≥1，则f（x）的定义域为[1，+∞），则f（x）＝2x2﹣4x+3，x∈[1，+∞），B正确；对于C，对于y＝4x+2x+1，设t＝2x，t＞0，则y＝t2+t+1＝（t+）2+，由于t＞0，则y＞1，即函数的值域为（1，+∞），C正确；对于D，函数的单调区间不能用∪连接，D错误．故选：BC．（多选）11．（5分）有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480 B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240 C．6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法 D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种【解答】解：6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法，再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有24×20＝480种不同的排法，A正确；6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误；6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C正确；6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法，再考虑甲乙丙与剩余的3人中的一个人合为一组，还有两人分为两组，共三种分法，故不同的分组方法有3×2＝6种方法，D正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，且f（ea）＞f（b）．则下列结论一定正确的是（）A．若a＞0，则a﹣b＞0 B．若a＞0，则ea﹣b＞0 C．若a＜0，则ea+b＞2 D．若a＜0，则a﹣lnb＜0【解答】解：因为f（x）＝（x﹣1）lnx（x＞0），所以，令，则，所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）＝0，所以当0＜x＜1时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，当x＞1时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝0．所以当a＞0，取a＝2，b＝e，因为e2＞e＞1，所以f（ea）＞f（b），此时a﹣b＜0，A错误；当a＞0时，ea＞1，由f（ea）＞f（b）得ea＞b，即ea﹣b＞0，B正确；当a＜0时，取a＝﹣1，b＝1，e﹣1＜1，满足f（ea）＞f（b），此时ea+b＜2，C错误；当a＜0时，0＜ea＜1，由f（ea）＞f（b）得b＞ea，则lnb＞a，即a﹣lnb＜0，D正确．故选：BD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若，则x＝4或7．【解答】解：，可得2x＝4x﹣8，或2x+4x﹣8＝34，解得x＝4或x＝7．故答案为：4或7．14．（5分）设随机变量ξ～B（2，P），若，则p＝．【解答】解：∵变量ξ～B（2，P），且P（ξ≥1）＝，∴P（ξ≥1）＝1﹣P（ξ＜1）＝1﹣C20•（1﹣p）2＝，∴p＝，故答案为：15．（5分）已知函数是奇函数，则a+b＝．【解答】解：依题意函数f（x）是一个奇函数，又2x﹣a≠0，所以x≠log2a，所以f（x）定义域为{x|x≠log2a}，因为f（x）的图象关于坐标原点对称，所以log2a＝0，解得a＝1，又f（﹣x）＝﹣f（x），所以，所以，即，所以，所以．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣2x，若不等式f（x+1）＞ax﹣2ex在x∈（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．【解答】解：由f（x）＝alnx﹣2x，得f（ex）＝alnex﹣2ex＝ax﹣2ex，∵f（x+1）＞ax﹣2ex，∴f（x+1）＞f（ex），∵当x＞0时，1＜x+1＜ex，∴只需f（x）＝alnx﹣2x在（1，+∞）上单调递减，即x＞1时，恒成立，∴a⩽2x在（1，+∞）上恒成立，∴a⩽2，∴a的取值范围为（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．四、解答题（本答题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在的展开式中只有第7项的二项式系数最大．（1）求n的值；（2）若其展开式中的常数项为﹣220，求其展开式中所有项的系数的和．【解答】解：（1）∵只有第7项的二项式系数最大，∴，则n＝12．（2）根据（1）可知，二项式为，故的展开式的通项公式为，令，解得r＝9，∴展开式的常数项为，得a3＝1，∴a＝1，令x＝1可得展开式的所有项的系数和为（a﹣1）12＝（1﹣1）12＝0．18．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣b≥2x﹣ax（a，b∈R）．（1）若不等式的解集为{x|﹣2≤x≤﹣1}，求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式（ax﹣2）（x+1）≥0．【解答】解：（1）原不等式化为ax2+（a﹣2）x﹣b≥0，∵不等式的解集为{x|﹣2≤x≤﹣1}，∴﹣2，﹣1是方程ax2+（a﹣2）x﹣b＝0的两根，由根与系数的关系得，解得．（2）当a＜0时，原不等式化为，当，即a＜﹣2时，解得；当，即a＝﹣2时，解得x＝﹣1；当，即﹣2＜a＜0时，解得，综上所述，当﹣2＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝﹣2时，不等式的解集为{﹣1}；当a＜﹣2时，不等式的解集为．19．（12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1﹣9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y（秒）与训练天数x（天）有关，经统计得到如表的数据：x（天）1234567y（秒）990990450320300240210现用y＝a+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？参考数据（其中）﹣7×18450.370.55参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝．（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．【解答】解：（1）由题意，（990+990+450+320+300+240+210）＝500，令t＝，设y关于t的线性回归方程为y＝t+，则＝，则．∴y＝1000t+130，又t＝，∴y关于x的回归方程为y＝，故x＝100时，y＝140．∴经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为140秒；（2）设比赛再继续进行X局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负．当X＝2时，小明4：1胜，∴P（X＝2）＝；当X＝3时，小明4：2胜，∴P（X＝3）＝；当X＝4时，小明4：3胜，∴P（X＝4）＝．∴小明最终赢得比赛的概率为．20．（12分）已知函数f（x）＝x3+3ax2+3bx+a2在x＝﹣1处有极值0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）记g（x）＝f（x）﹣k+1，若函数g（x）有三个零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3+3ax2+3bx+a2，∴f′（x）＝3x2+6ax+3b，又f（x）＝x3+3ax2+3bx+a2在x＝﹣1处有极值0，∴，解得或，当a＝1，b＝1时，f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0，此时函数f（x）在R上单调递增，不满足在x＝﹣1时有极值，故舍去，故a＝2，b＝3，∴f（x）＝x3+6x2+9x+4，∴f′（x）＝3x2+12x+9＝3（x+1）（x+3），∴当x＜﹣3时，f′（x）＞0；当﹣3＜x＜﹣1时，f′（x）＜0；当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣3），（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣3，﹣1）上单调递减．（2）由（1）可知g（x）＝x3+6x2+9x﹣k+5，∴g′（x）＝f′（x）＝3（x+1）（x+3），∴由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣3）和（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣3，﹣1）上单调递减，∴g（x）的极大值为g（﹣3）＝﹣k+5，g（x）的极小值为g（﹣1）＝﹣k+1，要使函数g（x）有三个零点，则须满足，解得1＜k＜5，故实数k的取值范围为（1，5）．21．（12分）2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持．5月30日，再问苍穹，神舟十六号发射成功．在“神箭”“神舟”的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺利进入太空，开启为期约5个月的巡天之旅．某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”．现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示：航天达人非航天达人合计男8040120女305080合计11090200（1）依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，能否认为“航