(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题02直线与圆、圆与圆的位置关系综合考点专练(原卷版+解析)

专题02直线与圆、圆与圆的位置关系综合考点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．若圆，，则和的位置关系是（）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切2．已知点是曲线上的动点，且有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．3．(2023·上海市实验学校高二期末）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或4．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期末）当曲线与直线有个相异交点时，实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．圆和圆：的位置关系是（）A．外切 B．内切 C．相交 D．相离或外切6．(2023·上海市嘉定区第一中学高三月考）太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题：

①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，，则；②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.其中所有正确命题的序号是（）.A．①② B．①③C．②③ D．①②③7．(2023·上海·闵行中学高三期中）若动点P在方程所表示曲线C上，则以下结论正确的是（）①曲线C关于原点成中心对称图形；②曲线C与两坐标轴围成的面积为；③曲线C总长为；④动点P与点的连线斜率的取值范围是．A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④8．(2023·上海青浦·一模）从圆上的一点向圆引两条切线，连接两切点间的线段称为切点弦，则圆内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A． B． C． D．9．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）设直线系M：xcosθ+ysinθ=1（0≤0≤2π），对于下列三个命题：①M中所有直线均与一个圆相切；②M中所有直线均经过一个定点；③存在定点P不在M中的任一直线上.其中真命题的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．(2023·上海·华师大二附中高二月考）在平面直坐标系中，点，定义为点之间的极距，已知点是直线上的动点，已知点是圆上的动点，则P，Q两点之间距离最小时，其极距为（）A．1 B． C． D．二、填空题11．(2023·上海市洋泾中学高二月考）设直线系：，对于下列三个命题：①中所有直线均与一个定圆相切；②中所有直线均经过一个定点；③存在点不在中的任一条直线上．其中真命题的序号为____________（写出所有真命题的序号）12．与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有________个13．(2023·上海黄浦·三模）已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点.若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为______14．(2023·上海市金山中学高二月考）2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d=_____．15．(2023·上海浦东新·高二期中）若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是____________．16．(2023·上海师大附中高三月考）若不等式的解集为区间，且，则_________；17．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）从椭圆上的点向椭圆C∶引切线，两切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为__________.18．(2023·上海市进才中学高三期中）已知动圆经过原点，则动圆上的点到直线距离的最大值是___________.(2023·上海市建平中学高二月考）若直线和曲线恰有一个交点，则实数b的取值范围是________．20．(2023·上海·华师大二附中高二期末）已知函数，其中a，，的最大值为，则的最小值为___________.三、解答题21．(2023·上海徐汇·高二期末）已知直线过点，且与圆相切，求直线的方程．22．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）已知直线：.（1）若直线与直线的夹角为，求实数k的值；（2）若圆与直线交于A､B两点，且（其中O为坐标原点），求实数m的值.23．我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作.已知圆:，直线.（1）若直线l关于圆的距离比，求实数m的值;（2）当时，若圆与y轴相切于点，且直线l关于圆的距离比，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由24．已知圆与轴、轴分别相切于、两点.（1）求圆的方程；（2）若直线与线段没有公共点，求实数的取值范围；（3）试讨论直线与圆的位置关系.25．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）已知直线过点且与直线垂直，圆与直线相交于，．（1）求弦长；（2）直线过原点且与已知圆相切，求直线与的夹角．（用反三角函数表示）26．如图，公路和公路在点P处交汇，且，点A处有一所学校，，一辆拖拉机从P沿公路前行，假设拖拉机行驶时周围100米以内会收到噪声影响．（1）该所学校是否会受到噪声影响？请说明理由；（2）已知拖拉机的速度为每小时18千米，如果受影响，影响学校的时间为多少？27．(2023·上海浦东新·高二期中）已知圆的方程为（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）若直线与圆相交于、，求弦长的值．28．(2023·上海市建平中学高二月考）已知圆和圆．（1）若圆与圆相交，求r的取值范围；（2）若直线与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值；（3）若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．29．(2023·上海市洋泾中学高二月考）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4).（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.30．(2023·上海·华师大二附中高二月考）如图，在平面直角坐标系中，过外一点引它的两条切线，切点分别为，若，则称为的环绕点.（1）当O半径为1时，①在中，的环绕点是__________.②直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上存在的环绕点，求的取值范围；（2）的半径为1，圆心为，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，若在图形上存在的环绕点，直接写出的取值范围.专题02直线与圆、圆与圆的位置关系综合考点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．若圆，，则和的位置关系是（）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【标准答案】D【思路指引】求出两圆的圆心距，比较与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位置关系.【详解详析】可知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为，，因此，圆与圆外切.故选：D.【名师指路】本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2．已知点是曲线上的动点，且有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】通过题意将问题转化为“圆上存在着点在直线上或其上方”，结合图示，通过计算相切时的取值，由此确定出的取值范围.【详解详析】因为曲线表示圆心在，半径等于的圆，所以若有解，则圆上存在着点在直线上或其上方，如图所示：当直线与圆相切时，，所以，又因为的纵截距为，当直线与圆在靠上方位置相切时，此时，当直线与圆在靠下方位置相切时，此时，所以由图可知，若要满足题意只需：，即，故选：B.【名师指路】关键点点睛：解答本题的关键在于对问题的转化，将抽象的方程问题转化为直观的图象问题，很大程度上能简化计算，同时对于临界位置“相切”的把握也是一个重点.3．(2023·上海市实验学校高二期末）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或【标准答案】D【思路指引】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率.【详解详析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为，即，又由反射光线与圆相切，可得，整理得，解得或.故选：D.【名师指路】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.4．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期末）当曲线与直线有个相异交点时，实数的取值范围是（）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】首先确定曲线所表示的图形，再根据数形结合得出实数的取值范围.【详解详析】直线恒过点，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆，做出示意图如下：当直线与半圆相切时，，解得，当直线过时，，要想曲线与直线有个相异交点，数形结合得到：实数的取值范围是.故选：D.5．圆和圆：的位置关系是（）A．外切 B．内切 C．相交 D．相离或外切【标准答案】D【思路指引】化简得到：，计算圆心距和，根据大小关系得到答案.【详解详析】；：圆心距：，当时：，外切；当时：，相离；证明：即要证即要证，得证；故选：【名师指路】本题考查了两圆的位置关系，计算圆心距和的大小关系是解题的关键.6．(2023·上海市嘉定区第一中学高三月考）太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题：

①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，，则；②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.其中所有正确命题的序号是（）.A．①② B．①③C．②③ D．①②③【标准答案】A【思路指引】根据直线和圆的位置关系，逐项分析判断即可得解．【详解详析】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，

所以大圆的面积为，小圆的面积为．对于①，当时，直线的方程为．此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，，，所以，故①正确．对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为当时，直线的方程为，即，小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当时，如图3所示，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A．7．(2023·上海·闵行中学高三期中）若动点P在方程所表示曲线C上，则以下结论正确的是（）①曲线C关于原点成中心对称图形；②曲线C与两坐标轴围成的面积为；③曲线C总长为；④动点P与点的连线斜率的取值范围是．A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④【标准答案】B【思路指引】依题意可得，再对分类讨论，即可得到曲线的图象，结合图象即可判断①、②、③，再根据直线与圆相切求出斜率的值，从而判断④；【详解详析】解：因为，且，，所以，当，即或，当时，当时，，当时，将等式两边同时平方整理得，所以曲线的图象如下所示：由图可知曲线C关于原点成中心对称图形，曲线C与两坐标轴围成的面积为，曲线C总长为，故①、②、③均正确；对于④，如图设过点的直线恰与圆相切的直线的斜率为，切线方程为，即，所以，解得，且，，所以动点P与点的连线斜率的取值范围是，故④错误；故选：B8．(2023·上海青浦·一模）从圆上的一点向圆引两条切线，连接两切点间的线段称为切点弦，则圆内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】由题画出大致图象，由切点弦找出临界点D，结合圆的面积公式即可求解.【详解详析】如图所示，设为上一点，为圆与的两条切线，为切点弦，因切点弦有无数条，当无数条切点弦交汇时，圆内不与任何切点弦相交的区域恰好构成虚线部分圆的面积，，则，由等面积法得，解得，又对由勾股定理可得，则以为半径的圆的面积为，故圆内不与任何切点弦相交的区域面积为.故选：B9．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）设直线系M：xcosθ+ysinθ=1（0≤0≤2π），对于下列三个命题：①M中所有直线均与一个圆相切；②M中所有直线均经过一个定点；③存在定点P不在M中的任一直线上.其中真命题的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【标准答案】B【思路指引】由题意知直线系M表示为圆的切线的集合，再逐个验证①②③即可.【详解详析】因为

，故直线系M表示为圆的切线的集合，①M中所有直线均与一个圆相切，正确；②M中所有直线有相互平行的，所以不可能均经过一个定点，不正确；点在单位圆内时，该点不在直线系M中的任意一条上，故③正确；故选：B.10．(2023·上海·华师大二附中高二月考）在平面直坐标系中，点，定义为点之间的极距，已知点是直线上的动点，已知点是圆上的动点，则P，Q两点之间距离最小时，其极距为（）A．1 B． C． D．【标准答案】C【思路指引】先分析出极距的含义，就是直角三角形中较小的直角边的大小.先用几何法求出PQ的最小值，再求P，Q两点之间的极距.【详解详析】如图示：在平面直角坐标系内，，作出直角三角形,则由极距的定义知，就是直角三角形中较小的直角边的大小.因为点是直线上的动点，是圆上的动点，要使PQ最小，则，最小，此时.设直线l交x轴于A，交y轴于B,因为直线l的斜率为-2，所以过P作轴，过Q作轴，则,所以在直角三角形中，P，Q两点之间的极距即为RQ,设，则,所以，解得：，即，所以P，Q两点之间的距离最小时的极距为故选：C【名师指路】（1）数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.（2）距离的最值的计算方法有两类：①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.二、填空题11．(2023·上海市洋泾中学高二月考）设直线系：，对于下列三个命题：①中所有直线均与一个定圆相切；②中所有直线均经过一个定点；③存在点不在中的任一条直线上．其中真命题的序号为____________（写出所有真命题的序号）【标准答案】①③【思路指引】①求得定圆方程，由此来判断正确性；利用特殊值来证明②错误、③正确.【详解详析】圆，圆心到直线的距离为，也即直线与圆相切，①正确.，直线方程为；，直线方程为.直线与直线平行，没有交点，所以②错误.由于，所以存在点不在中的任一条直线上.所以③正确.故答案为：①③12．与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有________个【标准答案】7【思路指引】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个．【详解详析】解：因为两圆，是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即；与两圆都外切的有2个，设切点为，则，，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆外切于圆内切的圆有2个；与圆内切于圆外切的圆有2个；分别为和，共7个，故答案为：7．【名师指路】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.13．(2023·上海黄浦·三模）已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点.若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为______【标准答案】【思路指引】根据题意当与垂直时，的值最小，进而得，再根据圆与圆外切得，根据圆与直线相切得.【详解详析】圆的圆心为，半径为，当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，由勾股定理得，又，解得，圆的圆心为，半径为，∵圆与圆外切，∴，∴，∵圆与直线相切，∴，解得.故答案为：.【名师指路】结论点睛：圆与圆的位置关系的判断方法：设圆的半径为，圆的半径为，则圆与圆相离；圆与圆外切；圆与圆相交；圆与圆内切；圆与圆内含；14．(2023·上海市金山中学高二月考）2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d=_____．【标准答案】【思路指引】圆L与圆S关于原点对称，直线l过原点，求出圆L与圆S的圆心坐标，设出直线l方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d．【详解详析】由题意圆与圆关于原点对称，设，则即．设方程为，则三个圆心到该直线的距离分别为：，，，则，即有，解得，则，即.故答案为:.【名师指路】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．15．(2023·上海浦东新·高二期中）若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是____________．【标准答案】；【思路指引】可化简曲线的方程为，作出其图形，数形结合求临界值即可求解.【详解详析】由可得，所以曲线为以为圆心，的下半圆，作出图形如图：当直线过点时，，可得，当直线与半圆相切时，则圆心到直线的距离，可得：或（舍），若直线与曲线没有公共点，由图知：或，所以实数的取值范围是：，故答案为：16．(2023·上海师大附中高三月考）若不等式的解集为区间，且，则_________；【标准答案】【思路指引】不等式的解集为区间，且，可得，可得直线过点，代入即可解出【详解详析】如图分别作出直线与半圆，由题意，知直线过定点，由，得，即直线与半圆交点的横坐标为1，代入得，所以直线过点，所以，故答案为：17．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）从椭圆上的点向椭圆C∶引切线，两切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为__________.【标准答案】.【思路指引】由点在椭圆，设，得到切点弦，根据在点出的切线方程为，求得，结合圆的面积公式，即可求解.【详解详析】从椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，设切点的坐标分别为，则椭圆以为切点的切线方程分别为和，由两切线均过点，可得和，所以点均值直线上，所以切点弦方程为，因为点在椭圆，可得设，则过点作椭圆切线，则切点弦的直线方程为，由于在点出的切线方程为，所以，即，可得为圆的切线系方程，所以椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为该圆的面积.故答案为：.18．(2023·上海市进才中学高三期中）已知动圆经过原点，则动圆上的点到直线距离的最大值是___________.【标准答案】【思路指引】根据原点在圆上，可得，计算圆心到直线的距离，然后利用三角换元进行计算即可.【详解详析】由题可知：原点在圆上，所以圆心到直线的距离为令所以当时，所以动圆上的点到直线距离的最大值是故答案为：19．(2023·上海市建平中学高二月考）若直线和曲线恰有一个交点，则实数b的取值范围是________．【标准答案】【思路指引】曲线是以原点为圆心,为半径的半圆,直线是一条斜率为的直线,利用图像找到交点恰有一个的情况即可【详解详析】由题,由可得,即为以原点为圆心,为半径的半圆,直线是一条斜率为的直线,与轴交于两点,分别是,,当点在直线上时,；当点在直线上时,,则当时,二者恰有一个公共点；当直线与相切时,满足,所以或（舍）,综上,或,故答案为:20．(2023·上海·华师大二附中高二期末）已知函数，其中a，，的最大值为，则的最小值为___________.【标准答案】【思路指引】数形结合分析可知的最小值为与的纵向距离，从而可以求出结果.【详解详析】函数，即四分之一圆上的点到直线上的最大距离为，此时圆上的点记为，如图：只有过的中点且平行于直线的直线才满足条件，所以当时，的最小值为与的纵向距离，即的最小值为.故答案为：.【名师指路】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．三、解答题21．(2023·上海徐汇·高二期末）已知直线过点，且与圆相切，求直线的方程．【标准答案】或【思路指引】讨论直线的斜率是否存在，设出直线方程，根据直线与圆相切即可求出直线的斜率，从而求出直线的方程.【详解详析】当直线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以，解得，所以直线方程为.综上知，直线的方程为或.22．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）已知直线：.（1）若直线与直线的夹角为，求实数k的值；（2）若圆与直线交于A､B两点，且（其中O为坐标原点），求实数m的值.【标准答案】（1）或3（2）3【思路指引】（1）先求直线的方向向量，再运用夹角公式计算即可.（2）联立直线与圆的方程，再根据向量的数量积运算即可.（1）∵两直线的方程分别为与，∴设分别为两直线的方向向量.由题意得整理得（2）∵方程为圆C的方程∴解得：把直线即代入圆C的方程并整理得：，依题意：解得：设则由可得：解得：经检验：满足题意.∴.23．我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作.已知圆:，直线.（1）若直线l关于圆的距离比，求实数m的值;（2）当时，若圆与y轴相切于点，且直线l关于圆的距离比，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由【标准答案】（1）；（2）外切或相离，答案见解析.【思路指引】（1）根据新定义的要求即可求出的值；（2）先设圆的方程，然后根据新定义可求出的值，再根据的值判断两圆的位置关系.【详解详析】（1）由直线关于圆的距离的比的定义得，所以（2）当时，直线圆与轴相切点于所以可设：或①当时，：两圆的圆心距，两圆半径之和为，因此两圆外切②当时，：两圆的圆心距大于两圆的半径之和，因此两圆外离【名师指路】关键点点睛：本题的关键点是利用新定义圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，可求出的值，利用圆与y轴相切于点设出其方程为根据新定义可求出的值，再比较圆心距与半径之和、差，可判断两圆的位置关系.24．已知圆与轴、轴分别相切于、两点.（1）求圆的方程；（2）若直线与线段没有公共点，求实数的取值范围；（3）试讨论直线与圆的位置关系.【标准答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.【思路指引】（1）根据已知条件可求得、的值，由此可求得圆的方程；（2）作出图形，求得、两点的坐标，数形结合求得直线与线段有公共点时，实数的取值范围，利用补集思想可得出结果；（3）计算圆心到直线的距离，根据与圆的半径的大小关系，可得出直线与圆的位置关系.【详解详析】（1）由已知可得圆的圆心为，由于圆与轴、轴分别相切于、两点，圆心到轴、轴的距离分别为、，则，因此，圆的方程为；（2）如下图所示：由图可知，圆与轴相切于点，与轴相切于点，当直线过点时，则有，解得，由图可知，当时，直线与线段有公共点，因此，当时，直线与线段没有公共点，所以，实数的取值范围为；（3）圆心到直线的距离为，圆的半径为.①当时，即时，直线与圆相离；②当时，即时，直线与圆相切；③当时，即时，直线与圆相交.综上所述，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.【名师指路】方法点睛：直线与圆的位置关系的判断方法如下：（1）代数法：将直线的方程和圆的方程联立，消去一个元（或），得到关于另外一个元的一元二次方程.，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.（2）几何法：计算圆心到直线的距离，并比较与圆的半径的大小关系.若，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；若，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；若，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.25．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）已知直线过点且与直线垂直，圆与直线相交于，．（1）求弦长；（2）直线过原点且与已知圆相切，求直线与的夹角．（用反三角函数表示）【标准答案】（1）；（2）．【思路指引】（1）由题知直线的方程为，求得圆的圆心坐标和半径，求得圆心到直线的距离，从而求得弦长；（2）由题意求得直线的斜率，然后利用正切公式求夹角即可.两斜率互为相反数，夹角即为直线与x轴夹角的2倍，亦可求的.【详解详析】（1）由题知直线的方程为，圆的标准方程为，则圆心到直线的距离为，则（2）设直线：，因为其与已知圆相切，且圆过原点，则，即，则，则直线与的夹角为，又直线与的斜率互为相反数，故该夹角亦可写成；【名师指路】方法点睛：根据直线与圆的位置关系，求得弦长及切线方程，结合三角函数公式求得夹角.26．如图，公路和公路在点P处交汇，且，点A处有一所学校，，一辆拖拉机从P沿公路前行，假设拖拉机行驶时周围100米以内会收到噪声影响．（1）该所学校是否会受到噪声影响？请说明理由；（2）已知拖拉机的速度为每小时18千米，如果受影响，影响学校的时间为多少？【标准答案】（1）会受到影响，理由见解析；（2）24秒．【思路指引】（1）过点作于，由，，根据直角三角形中对的直角边是斜边的一半，即可求得的长，即可知该所中学是否会受到噪声影响；（2）以为圆心，为半径作圆，交于点与，由勾股定理，即可求得的长，继而可求得的长，则可求得学校受影响的时间．【详解详析】（1）过点作于，，，，，该所中学会受到噪声影响；（2）以为圆心，为半径作圆，交于点与，则，在中，，，，，，，学校受影响的时间为：（秒．27．(2023·上海浦东新·高二期中）已知圆的方程为（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）若直线与圆相交于、，求弦长的值．【标准答案】（1）或；（2）．【思路指引】（1）切线的斜率存在时，设斜率为，直线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径求的值，可得切线方程，再检验斜率不存在时是否符合题意即可求解；（2）先求圆心到直线的距离，再由即可求解.【详解详析】（1）由可得，所以圆心为，半径，①当直线斜率不存在时，由过点得直线方程为，与的距离为，此时与圆相切，符合题意；②当直线斜率存在时，可设斜率为，直线方程为，即，圆心到直线的距离，即，解得．所以直线方程为．综上所述：所求直线方程为或．（2）圆心到直线与的距离，又因为半径，所以28．(2023·上海市建平中学高二月考）已知圆和圆．（1）若圆与圆相交，求r的取值范围；（2）若直线与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值；（3）若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．【标准答案】（1）（2）（3）或【思路指引】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求的取值范围；（2）联立直线与圆，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；（3）由两圆半径相等，两直线和截得圆和圆弦长相等可得弦心距相等，得，转化为求方程组的解即可.（1）圆的圆心为，圆的圆心为，因为圆与圆相交，故圆心距满足，，即，解得（2）设，则，联立直线与圆方程得，，即，，因为，解得，又因为，故，（3）设，因为两圆半径相等，由题可知直线和斜率均存在且不为0，不妨设直线的方程为，的方程为，因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，故圆到的距离和圆到距离相等，即，整理得，所以，即或，因为的取值有无穷多个，所以满足或，解得或，故点的坐标为或.29．(2023·上海市洋泾中学高二月考）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4).（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.【标准答案】(1)；(2)2x−y+5=0或2x−y−15=0.(3).【详解详析】试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为.（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离因为而所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设因为，所以……①因为点Q在圆M上，所以…….②将①代入②，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以解得.因此，实数t的取值范围是.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定