(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题01平面解析几何之直线的倾斜角与斜率高频考点专练(原卷版+解析)

专题01：平面解析几何之直线的倾斜角与斜率高频考点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海·华师大二附中高二月考）在下列四个命题中，正确的共有①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；②直线的倾斜角的取值范围是；③若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为；④若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．(2023·上海市松江二中高二月考）已知函数，并定义数列如下：、.如果数列满足：对任意，，则函数的图像可能是（）A． B．C． D．3．(2023·上海青浦·高二期末）已知直线l1∶xsina+y=0与直线l2∶3x+y+c=0，则下列结论中正确的是（）A．直线l1与直线l2可能重合B．直线l1与直线l2可能垂直C．直线l1与直线l2可能平行D．存在直线l1外一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合4．（2017·上海·上外附中高二期中）已知两条直线，，，则直线的一个方向向量是（）A． B． C． D．5．若直线与平行，则与间的距离为（）A． B．C． D．6．已知两点到直线的距离相等，则实数可取的不同值共有（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如果平面直角坐标系内的两点关于直线对称，那么直线的方程为（）A． B． C． D．9．(2023·上海徐汇·高二期末）设且b<0，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．10．(2023·上海黄浦·高二期末）已知与是直线(为常数)上异于坐标原点的两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（）A．无论､､如何，总是无解 B．无论､､如何，总有唯一解C．存在､､，使之恰有两解 D．存在､､，使之有无穷多解二、填空题11.直线和直线的夹角是______________．12．(2023·上海市大同中学高二月考）已知直线的倾斜角为，则的取值范围是_________．13．(2023·上海市控江中学高二期中）已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______．14．直线l的一个方向向量为，则l与直的的夹角的大小为__________.（结果用反三角表示）.15．(2023·上海·曹杨二中高二期末）若直线、的斜率分别是方程的两根，则、的夹角为______.16．(2023·上海市南洋模范中学高二开学考试）直线与直线的夹角的大小等于__________；17．(2023·上海奉贤·高二期末）二次函数图象上的、两点均在第一象限．设点，当，，时，直线的斜率为______．18．设两直线与轴围成三角形，则实数的取值范围是__________.19．(2023-2021年上海·华师大二附中高二阶段测）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是____；20．(2023·上海市奉贤中学高二月考）将直线l：绕其与y轴的交点M逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为___________.三、解答题21．判断下列各组直线的位置关系，如果它们相交，求其交点坐标.（1）；（2）；（3）；（4）.22．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高二月考）设直线与.（1）若∥，求、之间的距离；（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程.23．(2023·上海·南洋中学高二期中）正方形的中心为，其一边所在直线的斜率是2，并且此正方形的面积是20，求这个正方形各边所在直线的方程.24．(2023·上海市大同中学高二期中）直线到点的距离为4，且和直线相交成45°角，求的方程.25．(2023·上海市行知中学高二期中）已知直线.（1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量；（2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围.26．设常数，已知直线，.（1）若，求a的值；（2）若，求与的距离；27．(2023·上海市嘉定区第一中学高二期中）设、、、，过点作直线，设直线的斜率为，（1）当点到直线的距离最远时，写出直线的点法向式方程；（2）若直线分别交线段和线段于（两点不重合），求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，设的面积为，试将表示为的函数式为28．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）如图，一个湖的边界是圆心为0的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求∶线段PB、QA.上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位∶百米）.（1）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（2）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位∶百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离.29．(2023·上海市西南位育中学高二期中）已知关于x，y的二元一次方程组，讨论方程组解的情况，并求解方程组.30．(2023·上海市奉贤中学高二月考）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作.(1)求点到线段l：的距离；(2)设l是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积；(3)写出到两条线段､距离相等的点的集合，其中，，，，，.专题01：平面解析几何之直线的倾斜角与斜率高频考点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海·华师大二附中高二月考）在下列四个命题中，正确的共有①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；②直线的倾斜角的取值范围是；③若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为；④若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【标准答案】A【思路指引】根据倾斜角与斜率定义与关系进行判断选择.【详解详析】由于和轴垂直的直线的倾斜角为，而此直线没有斜率，故①不正确；直线的倾斜角的取值范围是，故②不正确；若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，，且，故③不正确；若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为，如当时，不存在，故④不正确．综上可知，四种说法全部不正确．选A.【名师指路】本题考查斜率与倾斜角关系，考查基本分析判断能力，属基础题.2．(2023·上海市松江二中高二月考）已知函数，并定义数列如下：、.如果数列满足：对任意，，则函数的图像可能是（）A． B．C． D．【标准答案】A【思路指引】由题，，转化得，再转化成点与点的位置关系即可求解【详解详析】由题可知，，，即，又，所以，，观察四个选项，可转化为点到原点对应的斜率应大于1，即图像应在对应直线的上方，故A符合故选：A【名师指路】本题考查点与直线的位置关系，函数图像的识别，属于基础题3．(2023·上海青浦·高二期末）已知直线l1∶xsina+y=0与直线l2∶3x+y+c=0，则下列结论中正确的是（）A．直线l1与直线l2可能重合B．直线l1与直线l2可能垂直C．直线l1与直线l2可能平行D．存在直线l1外一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合【标准答案】B【思路点拨】由直线位置关系的平行、重合、垂直的条件可得答案.【精准解析】直线l1∶xsina+y=0的斜率为，与直线l2∶3x+y+c=0斜率为，若直线l1与直线l2重合，则，且，由于，故A错误；若，则，直线l1与直线l2可能垂直，故B正确；若直线l1与直线l2平行，则，由于，故C错误；由AC知，直线l1与直线l2既不可能重合也不可能平行，只能相交，故直线l1不可能绕P旋转后与直线l2重合，故D错误.故选：B.4．（2017·上海·上外附中高二期中）已知两条直线，，，则直线的一个方向向量是（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】先利用可得,再求得直线的方向向量即可【详解详析】由题,因为,所以,解得或（舍）所以直线为,即,则该直线的一个方向向量为故选：B【名师指路】本题考查已知直线的位置关系求参数,考查直线的方向向量5．若直线与平行，则与间的距离为（）A． B．C． D．【标准答案】B【思路点拨】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.【精准解析】∵直线与平行，∴且，解得．∴直线与间的距离．故选：B．6．已知两点到直线的距离相等，则实数可取的不同值共有（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【标准答案】C【思路指引】分两点在直线同侧、异侧讨论，同侧时利用斜率相等求解，异侧时利用两点中点在直线上求解.【详解详析】若两点在直线的同侧且与直线距离相等，则直线与直线平行，所以，即，若两点在直线的异侧且与直线距离相等，则的中点在直线上，所以，解得或,综上实数可取的不同值共有3个，故选：C【名师指路】本题主要考查了两点到直线的距离相等的性质，直线平行，中点坐标公式，分类讨论思想，属于中档题.8．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如果平面直角坐标系内的两点关于直线对称，那么直线的方程为（）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】由求得，线段AB的中点为，进而得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解详析】由题意，两点，可得，线段AB的中点为，因为两点关于直线对称，则，所以直线方程为，整理得．故选：A．【名师指路】本题主要考查了中点公式，点关于直线的对称问题，以及直线方程的求解及应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.9．(2023·上海徐汇·高二期末）设且b<0，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路点拨】求出直线的斜率，然后由斜率得倾斜角．【精准解析】由题意，直线的斜率为，设直线倾斜角为，则为钝角，所以．故选：C．10．(2023·上海黄浦·高二期末）已知与是直线(为常数)上异于坐标原点的两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（）A．无论､､如何，总是无解 B．无论､､如何，总有唯一解C．存在､､，使之恰有两解 D．存在､､，使之有无穷多解【标准答案】A【思路指引】判断直线的斜率存在，当斜率为0时，方程组无解；当斜率不为0时，通过点在线上可得的关系，分析方程组即可.【详解详析】与由题意可知，直线的斜率存在，当时，又，所以方程组无解；当时，，且，所以，由得因为所以方程组无解.综上所述，方程组无解.故选【名师指路】求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．二、填空题11．直线和直线的夹角是______________．【标准答案】【思路点拨】先求出两条直线的斜率，再利用直线的夹角公式运算即可.【精准解析】直线和直线的斜率分别为，设两条直线的夹角为，由直线的夹角公式可得：，即两条直线的夹角为，故答案为：.【名师指导】本题考查了直线的夹角公式，重点考查了运算能力，属基础题.12．(2023·上海市大同中学高二月考）已知直线的倾斜角为，则的取值范围是_________．【标准答案】【思路指引】当时，直线为，倾斜角；当时，化为斜截式，利用斜率，可知倾斜角的范围，即可得结果.【详解详析】当时，直线为，斜率不存在，倾斜角；当时，直线化为直线的斜截式方程：斜率，即，综上可知，倾斜角的取值范围是故答案为：【名师指路】结论点睛：直线倾斜角的范围是，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当时，斜率；当时，斜率不存在；当时，斜率．13．(2023·上海市控江中学高二期中）已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______．【标准答案】写出线段的方程，联立求得交点坐标，由可求得的范围．【详解详析】由条件得有解，解得，由，得或．故答案为：．【名师指路】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题．解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标，利用交点坐标的范围求出参数的范围，可是也可利用数形结合思想求解，即求出的斜率，由图形观察出的范围．14．直线l的一个方向向量为，则l与直的的夹角的大小为__________.（结果用反三角表示）.【标准答案】由方向向量的夹角得直线的直角（相交直线夹角为锐角或直角）．【详解详析】直线的方向向量为，设两直线夹角为，则，为锐角，∴．故答案为：．【名师指路】方法点睛：本题考查求直线的夹角，求夹角方法：（1）利用两直线的斜率，结合夹角公式计算；（2）由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补计算．15．(2023·上海·曹杨二中高二期末）若直线、的斜率分别是方程的两根，则、的夹角为______.【标准答案】记直线、的倾斜角分别为、，且，解方程，可求得、的值，利用两角差的正切公式求出的值，即可求得结果.【详解详析】记直线、的倾斜角分别为、，且，解方程，即，解得，，所以，、均为锐角，且，，由两角差的正切公式可得，，且，可得，.因此，、的夹角为.故答案为：.【名师指路】关键点点睛：解本题的关键就是利用两角差的正切公式求出两直线夹角的正切值，同时要注意注意讨论所求角的取值范围，结合正切值求出所求角.16．(2023·上海市南洋模范中学高二开学考试）直线与直线的夹角的大小等于__________；【标准答案】【思路指引】由题得直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，且，设直线与直线的夹角为，解方程即得解.【详解详析】由题得直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，且，设直线与直线的夹角为，所以，所以故答案为：17．(2023·上海奉贤·高二期末）二次函数图象上的、两点均在第一象限．设点，当，，时，直线的斜率为______．【标准答案】【思路指引】设点、，根据抛物线的定义结合作差法可得出的值，再利用两点间的距离公式求出的值，再利用直线的斜率公式可求得结果.【详解详析】抛物线的标准方程为，该抛物线的焦点为，准线方程为，设点、，由抛物线的定义可得，，所以，，因为、均在第一象限，且，因为，所以，，因此，直线的斜率为.故答案为：.18．设两直线与轴围成三角形，则实数的取值范围是__________.【标准答案】且【思路点拨】计算不能形成三角形的三种情况，三线共点和两种平行，计算得到答案.【精准解析】当直线过原点时，，即，此时不能形成三角形；当两直线平行时，，即，此时不能形成三角形；当直线与轴平行时，，即，此时不能形成三角形；综上所述：且时，可以形成三角形.故答案为：且.【名师指导】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.19．(2023-2021年上海·华师大二附中高二阶段测）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是____；【标准答案】【精准解析】由直线，即，此时直线恒过点，则直线的斜率，直线的斜率，若直线与线段相交，则，即，所以实数的取值范围是．点睛：本题考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中把直线与线段有交点转化为直线间的斜率之间的关系是解答的关键，同时要熟记直线方程的各种形式和直线过定点的判定，此类问题解答中把直线与线段有交点转化为定点与线段端点斜率之间关系是常见的一种解题方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．20．(2023·上海市奉贤中学高二月考）将直线l：绕其与y轴的交点M逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为___________.【标准答案】【思路指引】利用到角公式求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程，求出与轴与y轴的交点坐标，求出所围成的三角形面积.【详解详析】令得：，则，其中直线l的斜率，设直线的斜率为，由到角公式得：，解得：，且直线l′过点M，所以直线方程为：，即，其中与轴的交点为，与y轴交点为，则与两坐标轴所围成的三角形面积为.故答案为：.三、解答题21．判断下列各组直线的位置关系，如果它们相交，求其交点坐标.（1）；（2）；（3）；（4）.【标准答案】（1）与平行；（2）与相交，交点是（5,5）；（3）与相交，交点是（0,4）；（4）与平行（1）由斜率相等，再判断在y轴上的截距是否相等；（2）由斜率不相等，再联立两方程求交点；（3）立两方程求交点；（4）由斜率相等，再判断在y轴上的截距是否相等.【详解详析】（1）因为，令，，所以；（2）因为，所以两直线相交，联立，解得，所以交点坐标为；（3）因为，所以两直线相交，联立，解得，所以交点坐标为；（4）因为，令，，所以；【名师指路】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高二月考）设直线与.（1）若∥，求、之间的距离；（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程.【标准答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之间的距离；（2）表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l2的方程．【详解详析】（1）若l1∥l2，则，∴，∴m＝6，∴l1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0∴l1，l2之间的距离d；（2）由题意，，∴0＜m＜3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积Sm（3﹣m），∴m时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3＝0．【名师指路】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．(2023·上海·南洋中学高二期中）正方形的中心为，其一边所在直线的斜率是2，并且此正方形的面积是20，求这个正方形各边所在直线的方程.【标准答案】，，，.由直线的平行、垂直关系，可设出正方形的边所在的直线方程，由点到直线的距离公式，求得相应的系数，即可求解.【详解详析】设正方形的边长为，因为正方形的面积为，可得，解得，又由其一边所在直线的斜率是2，设这两边所在的直线方程为，因为正方形的中心为，由点到直线的距离公式，可得，解得或，此时直线的方程为或；设另外两边的直线方程为，由点到直线的距离公式，可得，解得或，此时直线的方程为或.【名师指路】根据两直线平行或垂直关系设方程的方法：1、平行于已知直线的直线方程，可得设为是参数，且；2、垂直与已知直线的直线方程，可得设为是参数.24．(2023·上海市大同中学高二期中）直线到点的距离为4，且和直线相交成45°角，求的方程.【标准答案】，，，.直线和直线相交成角，得到直线的斜率，再由直线到点的距离为4得到直线方程.【详解详析】设直线的倾斜角为，由题意知直线的斜率存在且设为，设直线的倾斜角为，所以，则，所以，或，设直线的方程为，当时，，因为直线到点的距离为4，所以，解得或，直线方程为当时，，因为直线到点的距离为4，所以，解得或，所以直线方程为，，，【名师指路】本题考查了直线的方程，平面两条直线的夹角经常涉及到两角和与差的正切公式，要熟练掌握其性质并能正用和逆用.25．(2023·上海市行知中学高二期中）已知直线.（1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量；（2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围.【标准答案】（1）直线的一个方向向量为；（2）.（1）将A代入直线l方程求a，写出直线方程即可得l的方向向量；（2）由直线方程得斜率，讨论a并利用基本不等式求k的范围，进而可得倾斜角的范围.【详解详析】（1）把代入直线的方程，得，解得，此时直线的方程为，故直线的一个方向向量为；（2）因为，所以直线的斜率，∴当时，当且仅当时等号成立；当时，当且仅当时等号成立；综上有，可得倾斜角.【名师指路】结论点睛：1、直线的方向量为或.2、倾斜角与斜率k的关系：或.26．设常数，已知直线，.（1）若，求a的值；（2）若，求与的距离；【标准答案】（1）；（2）.（1）根据两直线垂直的条件求参数值；（2）由平行的条件求得参数值，两方程中的系数分别化为相同，然后由平行间距离公式计算．【详解详析】（1）由题意，解得；（2）由两条平行显然，因此，解得或，时，两直线方程均为，不合题意，时，方程为，即，方程为，即，所求距离为．【名师指路】易错点睛：本题考查由两直线平行与垂直求参数，考查平行间距离公式．在已知平行求参数时，一般在求得参数值时需要进行检验，剔除两直线重合的情形，这是易错点．27．(2023·上海市嘉定区第一中学高二期中）设、、、，过点作直线，设直线的斜率为，（1）当点到直线的距离最远时，写出直线的点法向式方程；（2）若直线分别交线段和线段于（两点不重合），求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，设的面积为，试将表示为的函数式为【标准答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）根据距离最远时可得为直线的法向量，由此可得点法向式方程；（2）根据图象可确定，利用两点连线斜率公式求得临界值后即可得到所求范围；（3）将方程与直线方程联立可得两点坐标，由两点间距离公式可求得，利用点到直线距离公式可求得原点到直线距离，代入三角形面积公式，化简得到结果.【详解详析】（1）当点到直线距离最远时，，即是直线的法向量，直线的点法向式方程为：；（2）若直线与线段，均有交点且交点不重合，则由图象可知：，，，的取值范围为；（3）设直线，即，由（2）知：；又直线：；直线；由得：，即，同理可得：，，又原点到直线距离，，又，，；28．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）如图，一个湖的边界是圆心为0的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求∶线段PB、QA.上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位∶百米）.（1）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（2）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位∶百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离.【标准答案】（1）不能，理由见解析；（2）.【思路指引】设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，（1）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，求得点Q的坐