专题02 有理数与数轴（原卷版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

专题02有理数与数轴1.知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类；2.能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；3.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数及数轴上点的运动；4.初步感受数形结合、分类讨论的思想。题型探究题型1、有理数的相关概念辨析 4题型2、有理数的分类 5题型3、有理数中的新定义集合 8题型4、数轴的三要素及其画法 10题型5、用数轴上的点与有理数的关系 12题型6、数轴上两点之间的距离 14题型7、数轴上的动点问题 16培优精练A组（能力提升） 18B组（培优拓展） 24【思考1】我们在小学和上一节已经学习过那些数？这些数能否写成分数的形式呢？【思考2】请读出右侧温度计的读数。【思考3】在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和2.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和1.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆。试画图表示这一情景。【课外作业】查阅收集有关有理数的历史资料，然后给大家讲一讲有理数的来历和发展。1.有理数的相关概念1）整数：正整数、、负整数统称为整数。2）分数：正分数、负分数统称为分数。正分数：像，，0.24，等这样的数叫作正分数；负分数：像，，－3.56等这样的数叫作负分数；有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数；整数和分数统称为有理数。注意：在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数。4）有理数的两种分类：5）常用数学概念的含义1）正整数：既是正数，又是整数2）负整数：既是负数，又是整数3）正分数：既是正数，又是分数4）负分数：既是负数，又是分数5）非正数：负数和06）非负数：正数和07）非正整数：负整数和08）非负整数：正整数和0数轴1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求：①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点．②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。2）数轴的画法①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。3）有理数与数轴的关系①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。题型1、有理数的相关概念辨析【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．例1．（23-24七年级上·广东·阶段练习）下列说法错误的是(

)A．任何分数都是有理数 B．不一定是负数C．一个数不是正数就是负数 D．没有最大的有理数例2．（23-24七年级上·广西·期中）下列关于有理数的说法正确的是（）A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合C．0既不属于整数也不属于分数D．整数和分数统称为有理数变式1．（2023·重庆·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3变式2．（23-24七年级上·山东·期末）下列说法正确的是（

）A．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数 B．正整数和负整数统称整数C．一个有理数不是整数就是分数 D．不是有理数题型2、有理数的分类【解题技巧】正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数；负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数；整数：正整数、0、负整数统称为整数；分数：正分数、负分数统称为分数；有理数：整数和分数统称为有理数。例1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）在0，，，，中，有理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．（23-24七年级上·山东青岛·期中）把下面的有理数填在相应的大括号里：，，，，，．（友情提示：将各数用逗号分开）正数集合___________…；负数集合____________…；非负整数集合____________…．例3．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：，，0，，，，，，(2)图中A区表示数集，B区表示数集．变式1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）在3.14，0，，，，，，中，正有理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列说法中，错误的是（

）A．是负有理数 B．不是整数 C．是正有理数 D．是负分数3．（22-23七年级上·山东济南·期中）把下列各数填在相应的大括号里：，，，，，，，，，．整数集合：{

…}正分数集合：{

…}负分数集合：{

…}题型3、有理数中的新定义集合【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。常见类型有：（1）定义一种新运算；（2）定义一种新法则。例1．（2023·贵州遵义·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．(1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数有理数（填“是”或“不是”）；(2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）；(3)在中，属于非负有理数的是．例2.（2024•重庆七年级期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（）A．23 B．24 C．24或25 D．26变式1.（2023•江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．变式2.（2023•山西七年级月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合．例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合．（1）集合{﹣4，8}（填“是”或“不是”）对偶集合．（2）集合{-112题型4、数轴的三要素及其画法【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….例1．（2023·广东·七年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示例2．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（

）A． B．C． D．变式1．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。其中正确的是（）A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④变式2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下图中是数轴的为（

）A．

B．

C．

D．

题型5、用数轴上的点与有理数的关系【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的中点表示的数为。例1．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D例2．（23-24七年级下·河南安阳·期中）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为，若在数轴上随意画一条长为线段，则线段盖住的整点的个数为(

)A．100 B．99 C．99或100 D．100或101例3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是变式1．（2024年湖南省长沙市中考月数学试题）数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点相距2024个单位长度，则数a为（

）A．2024 B． C． D．不确定变式2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为()A． B． C． D．变式3．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示6的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．题型6、数轴上两点之间的距离【解题技巧】若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的距离为b-a或a-b（关键：较大数减较小数）。如：数轴上点A、B代表的数分别为1和4，则线段AB的距离为3。在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。例1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段2=3-1；线段．问题：(1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段_______；(2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段_______；(3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数．例2．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）已知是数轴上的三个点，且在的右侧，点表示的数分别是1，3，如图所示，若，则点表示的数是．变式1．（2024·广东·七年级期中）数轴上点表示的数是6，则与点相距4个单位长度的点表示的数是．变式2．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）已知点、点、点是同一条数轴上的三个点，且，若点在数轴上表示的数是1，则点在数轴上表示的数是______．题型7、数轴上的动点问题【解题技巧】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们讲在专题18中重点介绍，本考点中只对数轴中点的简单移动作一些基础的认识。例1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上的A点与表示的是的点右边距离它5个单位长度的点，则A点表示的数为．例2．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有①对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式1．（23-24七年级上·河南许昌·期中）数轴上，点表示的数是，将点向右移动6个单位长度后，点表示的数是．变式2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（

）A． B． C． D．A组（能力提升）1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（

）A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）下列数轴表示正确的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·江苏·七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（23-24七年级上·云南文山·期末）在数，，，，，，中，其中整数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（23-24七年级·黑龙江·阶段练习）在数轴上，与表示和4的点距离相等的点所表示的数为（

）A． B．0 C．1 D．26．（23-24七年级上·广东广州·期中）下列7个数中：，，，0，，，，有理数的个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．77．（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）下列关于“0”的说法正确的有（

）①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8.（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（

）个①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数；③若是正数，则是负数；④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数．A．0 B．1 C．2 D．39．（23-24六年级下·上海崇明·期中）在，，，，，，，中，非负整数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为．11．（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数：．12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内．，，，0，，13，，，，，(1)正分数集合：{____________…}；(2)整数集合：{____________…}；(3)非负数集合：{____________…）．13．（2023·湖北·七年级校考期中）观察数轴，回答下列问题：(1)点、、表示的数分别为，，，请在数轴上标出点、、；(2)大于并且小于的整数有哪几个？(3)在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点表示的数是什么？14．（2023·广东·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的圈子内：，，，，0，B组（培优拓展）1．（23-24七年级上·云南·阶段练习）点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（）A． B．6 C．或6 D．或22．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（

）重合A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）将一刻度尺放置在数轴上，数轴上A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”，若点A，B在数轴上分别表示0，3，则点C在数轴上所表示的数为（

）A．2.1 B．2.7 C．4 D．4.54．（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数的点重合．5．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是．6．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）如图，A，B，C为数轴上的点，，点B为的中点，点P为数轴上的任意一点，